Редактирование: Link-Cut Tree

'''Динамические деревья''' (англ.''dynamic tree'') используются в двух областях: [[Определение сети, потока|потоки]] и динамические графы.
В первом случае динамические деревья позволяют построить эффективные алгоритмы для задачи о поиске максимального потока.
В динамическом графе периодически происходят изменения: появляются и исчезают ребра, меняются их веса. Нужно быстро обрабатывать изменения, а также уметь [[Отношение связности, компоненты связности | проверять связность]], [[Алгоритмы на деревьях|искать диаметр]]. Динамические деревья являются инструментом, который позволяет легко решать эти задачи.  Динамические деревья особенно эффективны, когда нужно работать с большими деревьями и большим количеством запросов '''link''' и '''cut'''.

'''Link-cut tree'''  {{---}} это структура данных, которая хранит [[Дерево, эквивалентные определения |лес деревьев]] и позволяет выполнять следующие операции:
* '''<tex>\mathrm{min(v)}</tex>''' {{---}} искать минимум на пути от вершины до корня,
* '''<tex>\mathrm{add(v, c)}</tex>''' {{---}} прибавлять константу на пути от вершины до корня,
* '''<tex>\mathrm{link(u, w)}</tex>''' {{---}} подвешивать одно дерево на другое,
* '''<tex>\mathrm{cut(v)}</tex>''' {{---}} отрезать дерево с корнем в вершине <tex>\mathrm{v}</tex>.
Среднее время выполнения каждой операции {{---}} <tex>O(\log n)</tex>. Эта структура данных была придумана Робертом Тарьяном и Даниелем Слейтером в 1982 году.

==Решение задачи в частном случае==
Сначала рассмотрим частный случай, в котором все деревья {{---}} это пути, и мы хотим уметь:

[[Файл:Path_to_tree.png|250px|thumb|right|Пример построения дерева для пути]]
* '''<tex>\mathrm{add(v, c)}</tex>'''  и '''<tex>\mathrm{min(v)}</tex>''' {{---}} прибавлять константу и искать минимум на некотором суффиксе (то есть на пути от вершины до корня), 
* '''<tex>\mathrm{cut(v)}</tex>''' {{---}} разбить один путь на два,
* '''<tex>\mathrm{link(v, u)}</tex>''' {{---}} подвешивать голову одного пути к хвосту другого. 

Если бы не последние две операции, то можно было бы применить [[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления|дерево отрезков]], сложив в него вершины в том порядке в котором они идут в пути. Но непонятно, как сливать или разрезать деревья отрезков. Эту задачу можно решить при помощи [[Декартово дерево по неявному ключу|декартового дерева по неявному ключу]]. Также, если использовать какие-нибудь сливаемые деревья, то <tex>\mathrm{link}</tex> и <tex> \mathrm{cut}</tex> реализуются просто. Осталось научиться искать минимум и прибавлять константу на пути. Для этого, как и в деревьях отрезков, будем хранить дополнительные значения в вершинах.
В качестве сливаемых деревьев выберем [[Splay-дерево|splay-деревья]], в которых ключи выбираются равными глубине вершины. 

Тогда операции <tex>\mathrm{cut}</tex> будет соответствовать <tex>\mathrm{split}</tex>.

<tex>\mathrm{link(path1, path2)}</tex> соединяет голову первого пути с хвостом второго. Используем функцию <tex>\mathrm{merge(path2, path1)}</tex>, которая вызовет <tex>\mathrm{splay}</tex> от хвоста второго пути и сделает первый путь правым ребенком корня <tex>\mathrm{path2}</tex>, то есть теперь <tex>\mathrm{path1}</tex> находится ниже, чем <tex>\mathrm{path2}</tex>.

Чтобы прибавлять заданное число на пути от вершины до корня, будем в каждой вершине хранить величину <tex>\Delta w</tex>, которая равна разнице между весом вершины и весом её родителя. Для корня это значение равно весу самого корня. Поэтому вес вершины определятся следующим образом:

<tex>w(u) = \displaystyle \sum_v^{} \Delta w(v)</tex>, где <tex> v </tex> {{---}} все предки вершины <tex> u </tex>.

При прибавлении <tex>\alpha</tex> на пути от вершины <tex>v</tex> до корня, сначала вызывается <tex>\mathrm{splay(v)}</tex>, после чего в левом поддереве находятся вершины, которые лежат на пути к корню. Затем надо прибавить <tex>\alpha</tex> к <tex>\Delta w(v)</tex> и, чтобы сохранить веса вершин, которые находятся ниже в пути, вычесть <tex>\alpha</tex> от <tex>\Delta w(right(v))</tex>.


Для реализации <tex>\min</tex> будем хранить минимум уже для всего поддерева. Чтобы искать минимум от вершины <tex>v</tex>, надо вызвать <tex>\mathrm{splay(v)}</tex> и сравнить её вес с минимумом левого поддерева, в котором теперь находятся все вершины пути кроме <tex>v</tex>. Определим <tex>\Delta \min (v)</tex> таким образом, чтобы сохранялся следующий инвариант: <tex>\min (v) = \Delta \min (v) + w(v) </tex>. Пусть <tex>l</tex> и <tex>r</tex> дети <tex>v</tex>, тогда

<tex>\min (v) = \min \{w(v), \min(l), \min(r)\}</tex>

<tex>\Delta \min(v) = \min(v) - w(v) \\
= \min\{w(v) - w(v), \min(l) - w(v), \min(r) - w(v)\} \\
= \min\{0, \ (\Delta \min(l) + w(l)) - w(v), \ (\Delta \min(r) + w(r)) - w(v)\} \\
= \min\{0, \ \Delta \min(l) + \Delta w(l), \ \Delta \min(r) + \Delta w(r)\}</tex>

[[Файл:Linkcut_weights.png|500px]]

==Link-cut tree==
Чтобы обобщить, разобьем дерево на множество непересекающихся путей. Каждое ребро обозначим либо сплошным, либо пунктирным. Все пути в link-cut дереве хранятся в виде splay-деревьев. Корень каждого splay-дерева хранит указатель на вершину-родителя. В дальнейшем будем называть этот указатель <tex>pathparent</tex>.
[[Файл:Linkcut_paths.png|500px||center|Разбиение дерева на пути]]

===expose(u)===
Ключевая операция в link-cut-деревьях {{---}} <tex>\mathrm{expose(u)}</tex>. После её выполнения <tex>u</tex> лежит на одном пути с корнем link-cut дерева и при этом становится корнем в splay-дереве получившегося пути. Для этого она поднимается вверх по link-cut дереву, и если какой-нибудь путь пересекает путь от <tex>u</tex> до корня, то она его отрезает, разъединяя splay-дерево и делая соответствующее сплошное ребро пунктирным ребром.
[[Файл:Linkcut_expose.png|500px||center|Разбиение дерева на пути]]

 '''function''' expose(u: '''tree'''):
     splay(u)
     v <tex>=</tex> u
     '''while''' v <tex> \ne </tex> root
         p <tex>=</tex> pathparent(v)        <font color=green>//получаем указатель на ближайшую вершину пути, пересекающего путь от u до корня</font>
         splay(p)                  <font color=green>//теперь в правом поддереве p находятся вершины пути, которые находятся ниже чем p в link-cut-дереве,</font>
         parent(right(p)) <tex>=</tex> null  <font color=green>//поэтому правое поддерево p делаем новым путем</font>
         pathparent(right(p)) <tex>=</tex> p
         right(p) <tex>=</tex> v             <font color=green>//объединяем оставшийся и построенный пути</font>
         <tex>\vartriangle</tex>w(v) -= <tex>\vartriangle</tex>w(p)
         <tex>\vartriangle</tex>min(p) <tex>=</tex> min{0, <tex>\vartriangle</tex>min(left(p)) + <tex>\vartriangle</tex>w(left(p)), <tex>\vartriangle</tex>min(right(p)) + <tex>\vartriangle</tex>w(right(p))}
         pathparent(v) <tex>=</tex> null
         v <tex>=</tex> p
     splay(u)

===add(v, c)===
Чтобы прибавить константу на пути от <tex>v</tex> до корня link-cut-дерева вызовем <tex>\mathrm{expose(v)}</tex>, что построит запрашиваемый путь в виде splay-дерева, в котором <tex>v</tex> {{---}} корень, и в левом поддереве находятся вершины, которые находятся выше чем <tex>v</tex> в link-cut-дереве (то есть все вершины пути без <tex>v</tex>), а в правом {{---}} те, что ниже. Тогда прибавим <tex>c</tex> к <tex>\Delta w(v)</tex> и вычтем константу от правого ребенка <tex>v</tex>, чтобы скомпенсировать разницу и сохранить инвариант.

 '''function''' add(v: '''tree''', c: '''int'''):
     expose(v)
     <tex>\vartriangle</tex>w(v) += c
     <tex>\vartriangle</tex>w(right(v)) -= c

===min(v)===
Построим splay-дерево для пути и сравним вес корня <tex>v</tex> c минимумом в левом поддереве:
 '''function''' min(v: '''tree'''): '''int'''
     expose(v)
     '''if''' <tex>\vartriangle</tex>min(left(v)) + <tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) < <tex>\vartriangle</tex>w(v)
         '''return''' <tex>\vartriangle</tex>min(left(v)) + <tex>\vartriangle</tex>w(left(v))
     '''else'''
         '''return''' <tex>\vartriangle</tex>w(v)

===link(v, u)===
Если <tex>v</tex> {{---}} корень, а <tex>u</tex> {{---}} вершина в другом дереве, то <tex>\mathrm{link(v, u)}</tex> соединяет два дерева добавлением ребра <tex>(v, u)</tex>, причем <tex>u</tex> становится родителем <tex>v</tex>.

 '''function''' link(v: '''tree''', u: '''tree'''): '''tree'''
     expose(v) <font color=green>     //теперь v {{---}} корень в splay-дереве пути и не имеет левого ребенка(так как ключ равен глубине в link-cut дереве)</font>
     expose(u)
     <tex>\vartriangle</tex>w(u) -= <tex>\vartriangle</tex>w(v) <font color=green>//чтобы сделать u родителем v в link-cut дереве 1. делаем путь, содержащий u, левым ребенком v в splay-дереве</font>
     parent(u) <tex>=</tex> v <font color=green>//                                              2. обновляем <tex>\vartriangle</tex>w, <tex>\vartriangle</tex>min</font>
     left(v) <tex>=</tex> u
     <tex>\vartriangle</tex>min(v) <tex>=</tex> min{0, <tex>\vartriangle</tex>min(u) + <tex>\vartriangle</tex>w(u), <tex>\vartriangle</tex>min(right(v)) + <tex>\vartriangle</tex>w((right(v)))}
     '''return''' v

===cut(v)===
Отрезает дерево с корнем <tex>v</tex>. После вызова <tex>\mathrm{expose(v)}</tex> вершина <tex>v</tex> станет корнем splay-дерева, и в правом поддереве будут содержатся все вершины, которые были ниже <tex>v</tex> в link-cut дереве, а в левом {{---}} те что выше. Обнулив указатель на левого ребенка <tex>v</tex> и на родителя в левом поддереве, получим требуемое.

 '''function''' cut(v: '''tree'''):
     expose(v)
     <tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) += <tex>\vartriangle</tex>w(v)
     <tex>\vartriangle</tex>min(v) <tex>=</tex> min{0, <tex>\vartriangle</tex>min(right(v)) + <tex>\vartriangle</tex>w(right(v))}
     parent(left(v)) <tex>=</tex> null
     left(v) <tex>=</tex> null

==Оценка времени работы==
Назовем ребро из <tex>u</tex> в её родителя <tex>v</tex> тяжелым, если количество детей <tex>u</tex> равное <tex>d(u) > \dfrac{1}{2} d(v)</tex>.
{{Лемма
|id = Lemma1
|statement= На пути от вершины до корня не больше <tex>\log n</tex> легких ребер. 

|proof = Пусть <tex>m</tex> {{---}} количество вершин в дереве с корнем в вершине, в которой мы сейчас находимся. Поднимаясь по легкому ребру, <tex>m</tex> увеличивается в два раза, поэтому, пройдя больше <tex>\log n</tex> легких ребер, получим <tex>m > n</tex>. Значит, в дереве не больше <tex>\log n</tex> легких ребер. 
}}

Операция <tex>u</tex> осуществляется с помощью последовательности преобразований пунктирного ребра в сплошное ребро и другого сплошного ребра в пунктирное ребро. Обозначим количество таких преобразований за <tex>M</tex>. Найдем количество преобразований сделанных в течение <tex>\mathrm{expose(u)}</tex>. Пусть <tex>H</tex> {{---}} множество всех тяжелых ребер, <tex>L</tex> {{---}} все легкие ребра, <tex>S \rightarrow D</tex> {{---}} множество сплошных ребер, преобразованных в пунктирные в течение одного <tex>\mathrm{expose}</tex>, <tex>D \rightarrow S</tex> {{---}} множество пунктирных ребер, преобразованных в сплошные.

<tex>M = |\{D \rightarrow S\}| = |\{L \cap D \rightarrow S\}| + |\{H \cap D \rightarrow S\}|</tex>

По лемме, количество легких пунктирных ребер, преобразованных в сплошные, будет не больше, чем <tex>\log n</tex>.

Обозначим за <tex>F</tex> лес деревьев, в которых каждое ребро либо сплошное, либо пунктирное, a <tex>F'</tex> {{---}} лес, получившийся из <tex>F</tex> после одного вызова <tex>\mathrm{expose}</tex>. Определим потенциал <tex>\Phi _{a}(F) = n - 1 - |\{H \cap solid-edges\}|</tex>, <tex>\Delta \Phi _{a}</tex> {{---}} увеличение <tex>\Phi _{a}</tex> после одной операции <tex>\mathrm{expose}</tex>.

{{Лемма
|id = Lemma2
|statement= <tex>V = M + \Delta \Phi _{a} \leqslant 1 + 2\log n </tex>

|proof=

<tex>V = M + \Delta \Phi _{a}\\
= M + |H \cap S \rightarrow D| - |H \cap D \rightarrow S| \\
\leqslant M + |L \cap D \rightarrow S| - |H \cap D \rightarrow S| \\
= 2 \cdot |L \cap D \rightarrow S| \\
=2 \cdot \log n
</tex> 
}}


Теперь проанализируем <tex>M</tex>. Используя тот факт, что начальное значение <tex>\Phi _{a}</tex> не превосходит <tex>n - 1</tex>, приходим к тому, что для деревьев с <tex>n</tex> вершинами, по крайней мере за <tex>n - 1</tex> операцию <tex>\mathrm{expose}</tex>, среднее <tex>M</tex> на одну операцию будет не больше, чем <tex>1 + 2\log n</tex>.

Докажем, что [[Амортизационный анализ|амортизационная стоимость операции]] <tex>\mathrm{expose}</tex> равна <tex>O(\log n)</tex>.

Пусть <tex>s(v)</tex> {{---}} количество вершин в поддеревьях <tex>v</tex> ( здесь имеется в виду splay-дерево пути, который строится в ходе выполнения <tex>\mathrm{expose}</tex>), <tex>r(v) = \log s(v)</tex>. По  [[Splay-дерево#Lemma1|лемме]] стоимость ''i''-той операции <tex>\mathrm{splay}</tex> не превосходит <tex>1 + 3 \cdot (r(t) - r(v))</tex>. Это приводит к тому, что амортизационная стоимость <tex>\mathrm{expose}</tex> ограничена следующим значением:

<tex>3 \cdot \log n - 3 \cdot \log (s(v)) + M</tex>

Здесь <tex>M = O(\log n)</tex>, поэтому амортизационная стоимость <tex>\mathrm{expose}</tex> равна <tex>O(\log n)</tex>.

==Применение==
===LCA===
C помощью link-cut-дерева можно найти наименьшего общего предка:
 '''function''' lca(u: '''tree''', v: '''tree'''): '''tree'''
     expose(u)
     expose(v)
     '''return''' pathparent(splay(u))

Первый вызов <tex>\mathrm{expose}</tex> построит путь от <tex>u</tex> до корня. Второй пересечет этот путь в наименьшем общем предке, поэтому в splay-дереве, которому принадлежит <tex>u</tex>, хранится указатель <tex>pathparent</tex> на <tex>\mathrm{lca}</tex>, после <tex>\mathrm{splay}(u)</tex> он будет находиться в <tex>u</tex>.

==См. также==
* [[Метод двоичного подъема]]
* [[Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн]]
* [[Алгоритм Шибера-Вишкина]]

==Источники информации==
* [http://www.lektorium.tv/lecture/14464 А.С. Станкевич, "Дополнительные главы алгоритмов"]
* [https://sites.google.com/site/indy256/algo/link-cut-tree-lca Реализация LCA на link-cut дереве]
* [http://www.cs.cmu.edu/~sleator/papers/dynamic-trees.pdf D. Sleator and R. Tarjan, "A Data Structure for Dynamic Trees"]
* [http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/teaching/datastructures/2006/notes/07-linkcut.pdf Jeff Erickson. Lecture 7. Link-Cut Trees]
* [http://planarity.org/Klein_splay_trees_and_link-cut_trees.pdf Optimization Algorithms for Planar Graphs. Splay trees and link-cut trees]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Link/cut_tree Wikipedia {{---}} Link/cut tree]


[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]