Изменения

'''Динамические деревья''' (англ.''dynamic tree'') используются в двух областях: [[Определение сети, потока|потоки]] и динамические графы.В первом случае динамические деревья позволяют построить эффективные алгоритмы для задачи о поиске максимального потока.В динамическом графе периодически происходят изменения: появляются и исчезают ребра, меняются их веса. Нужно быстро обрабатывать изменения, а также уметь [[Отношение связности, компоненты связности | проверять связность]], [[Алгоритмы на деревьях|искать диаметр]]. Динамические деревья являются инструментом, который позволяет легко решать эти задачи. Динамические деревья особенно эффективны, когда нужно работать с большими деревьями и большим количеством запросов '''link''' и '''cut'''. '''Link-cut tree ''' {{---}} это структура данных, которая хранит [[Дерево, эквивалентные определения |лес деревьев ]] и позволяет выполнять следующие операции:* '''<tex>\mathrm{min(v)}</tex>''' {{---}} искать минимум на пути от вершины до корня;,* '''<tex>\mathrm{add(v, c)}</tex>''' {{---}} прибавлять константу на пути от вершины до корня;,* '''<tex>\mathrm{link(u,w) }</tex>''' {{-- -}} подвешивать одно дерево на другое;,* '''<tex>\mathrm{cut(v) }</tex>''' {{-- -}} отрезать дерево с корнем в вершине <tex>\mathrm{v}</tex>.Среднее время выполнения каждой операции {{---}} <tex>O(\log n)</tex>. Эта структура данных была придумана Робертом Тарьяном и Даниелем Слейтером в 1982 году.

Сначала научимся выполнять эти операции для частного случаярассмотрим частный случай, в котором все деревья {{- --}} это пути. Для этого представим путь в виде splay-дерева, в котором ключи выбираются равными глубине вершины. и мы хотим уметь: [[Файл:Path_to_tree.png|250px|thumb|right|Пример построения дерева для пути]]Тогда операциям * '''<tex>\mathrm{add(v, c)}</tex>''' и '''<tex>\mathrm{min(v)}</tex>''' {{---}} прибавлять константу и искать минимум на некотором суффиксе (то есть на пути от вершины до корня), * '''<tex>\mathrm{cut(v)}</tex>''' {{---}} разбить один путь на два,* '''<tex>\mathrm{link(v, u)}</tex>''' {{---}} подвешивать голову одного пути к хвосту другого.  Если бы не последние две операции, то можно было бы применить [[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления|дерево отрезков]], сложив в него вершины в том порядке в котором они идут в пути. Но непонятно, как сливать или разрезать деревья отрезков. Эту задачу можно решить при помощи [[Декартово дерево по неявному ключу|декартового дерева по неявному ключу]]. Также, если использовать какие-нибудь сливаемые деревья, то <tex>\mathrm{link }</tex> и <tex> \mathrm{cut}</tex> реализуются просто. Осталось научиться искать минимум и прибавлять константу на пути. Для этого, как и в деревьях отрезков, будем хранить дополнительные значения в вершинах.В качестве сливаемых деревьев выберем [[Splay-дерево|splay-деревья]], в которых ключи выбираются равными глубине вершины.  Тогда операции <tex>\mathrm{cut будут }</tex> будет соответствовать <tex>\mathrm{split}</tex>. <tex>\mathrm{link(path1, path2)}</tex> соединяет голову первого пути с хвостом второго. Используем функцию <tex>\mathrm{merge (path2, path1)}</tex>, которая вызовет <tex>\mathrm{splay}</tex> от хвоста второго пути и splitсделает первый путь правым ребенком корня <tex>\mathrm{path2}</tex>, то есть теперь <tex>\mathrm{path1}</tex> находится ниже, чем <tex>\mathrm{path2}</tex>.

сумма<tex>w(u) = \displaystyle \sum_v^{} \Delta w(v)</tex>, где <tex> v </tex> {{---}} все предки вершины <tex> u </tex>. При прибавлении <tex>\alpha</tex> на пути от вершины <tex>v</tex> до корня, сначала вызывается <tex>\mathrm{splay(v)}</tex>, после чего в левом поддереве находятся вершины, которые лежат на пути к корню. Затем надо прибавить <tex>\alpha</tex> к <tex>\Delta w(v)</tex> и, чтобы сохранить веса вершин, которые находятся ниже в пути, вычесть <tex>\alpha</tex> от <tex>\Delta w(right(v))</tex>.

Для поиска минимума поступим аналогичнореализации <tex>\min</tex> будем хранить минимум уже для всего поддерева. Чтобы искать минимум от вершины <tex>v</tex>, надо вызвать <tex>\mathrm{splay(v)}</tex> и сравнить её вес с минимумом левого поддерева, в котором теперь находятся все вершины пути кроме <tex>v</tex>. Определим <tex>\Delta \min(v)</tex> таким образом, чтобы сохранялся следующий инвариант: <tex>\min(v) = \Delta \min(v) + w(v) </tex>. Пусть <tex>l</tex> и <tex>r</tex> дети <tex>v</tex>, тогда

<tex>\min(v) = \min\{w(v), \ min(l), \ min(r)\}</tex>

<tex>\Delta \min(v) = \min(v) - w(v) \\= \min\{w(v) - w(v), \ min(l) - w(v), \ min(r) - w(v)\} \\= \min\{0, \ (\Delta \min(l) + w(l)) - w(v), \ (\Delta \min(r) + w(r)) - w(v)\} \\= \min\{0, \ \Delta \min(l) + \Delta w(l), \ \Delta \min(r) + \Delta w(r)\}</tex>

Чтобы найти минимум на пути, надо вызвать <tex>splay(v)</tex>, а затем сравнить минимум <tex>v</tex> и минимум её левого ребенка[[Файл:Linkcut_weights.png|500px]]

Чтобы обобщить, разобьем дерево на множество непересекающихся путей. Каждое ребро обозначим либо solid-ребромсплошным, либо dashed-ребромпунктирным. Все пути в представляемом link-cut дереве хранятся в виде splay-деревьев. Корень каждого splay-дерева хранит указатель на вершину-родителя. В дальнейшем будем называть этот указатель <tex>pathparent</tex>.

Ключевая операция в link-cut-деревьях {{---}} <tex>\mathrm{expose(u)}</tex>. После её выполнения <tex>u</tex> лежит на одном пути с корнем представляемого link-cut дерева и при этом становится корнем в splay-дереве получившегося пути. Для этого она поднимается вверх по link-cut дереву, и если какой-нибудь путь пересекает путь от <tex>u</tex> до корня, то она его отрезает, разъединяя splay-дерево и делая соответствующее сплошное ребро пунктирным ребром.

'''function''' expose(u: '''tree'''):

v <- tex>=</tex> u '''while (''' v != <tex> \ne </tex> root) p <- tex>=</tex> pathparent(v) <font color=green>//получаем указатель на ближайшую вершину пути, пересекающего путь от u до корня</font> splay(p) <font color=green>//теперь в правом поддереве p находятся вершины пути, которые находятся ниже чем p в link-cut-дереве,</font> parent(right(p)) <- tex>=</tex> null <font color=green>//поэтому правое поддерево p делаем новым путем</font> pathparent(right(p)) <- tex>=</tex> p right(p) <- tex>=</tex> v <font color=green>//объединяем оставшийся и построенный пути</font> Δw<tex>\vartriangle</tex>w(v) -= Δw<tex>\vartriangle</tex>w(p) Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(p) <tex>= </tex> min{0, Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(left(p)) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w(left(p)), Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(right(p)) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w(right(p))} pathparent(v) <- tex>=</tex> null v <- tex>=</tex> p

Чтобы прибавить константу на пути от <tex>v</tex> до корня link-cut-дерева вызовем <tex>\mathrm{expose(v)}</tex>, что построит запрашиваемый путь в виде splay-дерева, в котором <tex>v</tex> {{- --}} корень, и в левом поддереве находятся вершины, которые находятся выше чем <tex>v</tex> в link-cut-дереве (то есть все вершины пути без <tex>v</tex>), а в правом {{--- }} те, что ниже. Тогда прибавим <tex>c</tex> к <tex>\Delta w(v)</tex> и вычтем константу от правого ребенка <tex>v</tex>, чтобы скомпенсировать разницу и сохранить инвариант.

'''function''' add(v: '''tree''', c: '''int'''):

Δw<tex>\vartriangle</tex>w(v) += c Δw<tex>\vartriangle</tex>w(right(v)) -= c 

Построим splay-дерево для пути и сравним минимум вес корня <tex>v</tex> c минимумом в левом поддереве: '''function''' min(v: '''tree'''): '''int'''

'''if (Δmin''' <tex>\vartriangle</tex>min(left(v)) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) < Δw<tex>\vartriangle</tex>w(v)) then '''return Δmin''' <tex>\vartriangle</tex>min(left(v)) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) '''else''' '''return Δw''' <tex>\vartriangle</tex>w(v)

Если <tex>v</tex> {{- --}} корень, а <tex>u</tex> {{--- }} вершина в другом дереве, то <tex>\mathrm{link(v, u)}</tex> соединяет два дерева добавлением ребра <tex>(v, u)</tex>, причем <tex>u</tex> становится родителем <tex>v</tex>.

'''function''' link(v: '''tree''', u: '''tree'''): '''tree''' expose(v) <font color=green> //теперь v {{- --}} корень в splay-дереве пути и не имеет левого ребенка(так как ключ равен глубине в представляемом link-cut дереве)</font>

Δw<tex>\vartriangle</tex>w(u) -= Δw<tex>\vartriangle</tex>w(v) <font color=green>//чтобы сделать u родителем v в представляемом link-cut дереве 1. делаем путь, содержащий u, левым ребенком v в splay-дереве</font> parent(u) <tex>= </tex> v <font color=green>// 2. обновляем Δw<tex>\vartriangle</tex>w, Δmin<tex>\vartriangle</tex>min</font> left(v) <tex>= </tex> u Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(v) <tex>= </tex> min{0, Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(u) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w(u), Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(right(v)) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w((right(v)))} '''return''' v

Отрезает дерево с корнем <tex>v</tex>. После вызова <tex>\mathrm{expose(v) \ }</tex> вершина <tex>v</tex> станет корнем splay-дерева, и в правом поддереве будут содержатся содержаться все вершины, которые были ниже <tex>v</tex> в представляемом link-cut дереве, а в левом {{--- }} те что выше. Обнулив указатель на левого ребенка <tex>v</tex> и на родителя в левом поддереве, получим требуемое.

'''function''' cut(v: '''tree'''):

Δw<tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) += Δw<tex>\vartriangle</tex>w(v) Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(v) <tex>= </tex> min{0, Δmin<tex>\vartriangle</tex>min(right(v)) + Δw<tex>\vartriangle</tex>w(right(v))} parent(left(v) ) <tex>= </tex> null parent(left(v)) <tex>= </tex> null

Назовем ребро из <tex>u</tex> в её родителя <tex>v</tex> тяжелым, если количество детей <tex>u</tex> равное <tex>d(u) > \fracdfrac{1}{2} d(v)</tex>.{{Лемма|id = Lemma1|statement= На пути от вершины до корня не больше <tex>\log n</tex> легких ребер.  |proof = Пусть <tex>m</tex> {{---}} количество вершин в дереве с корнем в вершине, в которой мы сейчас находимся. Каждая вершина имеет Поднимаясь по легкому ребру, <tex>m</tex> увеличивается в два раза, поэтому, пройдя больше <tex>\log n</tex> легких ребер, получим <tex>m > n</tex>. Значит, в дереве не более больше <tex>\log n</tex> легких ребер. }} Операция <tex>u</tex> осуществляется с помощью последовательности преобразований пунктирного ребра в сплошное ребро и другого сплошного ребра в пунктирное ребро. Обозначим количество таких преобразований за <tex>M</tex>. Найдем количество преобразований сделанных в течение <tex>\mathrm{expose(u)}</tex>. Пусть <tex>H</tex> {{---}} множество всех тяжелых ребер, <tex>L</tex> {{---}} все легкие ребра, <tex>S \rightarrow D</tex> {{---}} множество сплошных ребер, преобразованных в пунктирные в течение одного тяжелого ребра<tex>\mathrm{expose}</tex>, <tex>D \rightarrow S</tex> {{---}} множество пунктирных ребер, преобразованных в сплошные.

Операция <tex>u</tex> осуществляется с помощью последовательности преобразований dashed-ребра в solid-ребро и другого solid-ребра в dashed-ребро. Обозначим количество таких преобразований за <tex>M= |\{D \rightarrow S\}| = |\{L \cap D \rightarrow S\}| + |\{H \cap D \rightarrow S\}|</tex>. Найдем количество таких преобразований сделанных в течение <tex>expose(u)</tex>.

M = |{все ребраПо лемме, преобразованные из dashed количество легких пунктирных ребер, преобразованных в solid}| = |{легкие dashed-ребрасплошные, преобразованные в solid}| + |{тяжелые dashed-ребрабудет не больше, преобразованные в solid}|чем <tex>\log n</tex>.

По леммеОбозначим за <tex>F</tex> лес деревьев, количество легких в которых каждое ребро либо сплошное, либо пунктирное, a <tex>dashedF'</tex>{{--ребер-}} лес, преобразованных в получившийся из <tex>F</tex> после одного вызова <tex>\mathrm{expose}</tex>. Определим потенциал <tex>\Phi _{a}(F) = n - 1 - |\{H \cap solid-edges\}|</tex>, будет не больше, чем <tex>\log nDelta \Phi _{a}</tex> {{---}} увеличение <tex>\Phi _{a}</tex> после одной операции <tex>\mathrm{expose}</tex>.

Обозначим за <tex>F</tex> лес деревьев, в которых каждое ребро либо solid, либо dashed, a <tex>F'</tex> - лес, получившийся из <tex>F</tex> после одного вызова <tex>expose</tex>. Определим потенциал <tex>\Phi _{a}(F) {Лемма|id = n - 1 - |\{heavy solid-edges\}Lemma2|</tex>. Пусть <tex>H</tex> - множество всех тяжелых ребер, <tex>L</tex> - все легкие ребра, <tex>S \rightarrow D</tex> - множество solid-ребер, преобразованных в dashed в течение одного <tex>expose</tex>, <tex>D \rightarrow S</tex> - множество dashed-ребер, преобразованных в solid, statement= <tex>V = M + \Delta \Phi _{a}</tex> - увеличение <tex>\Phi _{a}</tex> после одной операции <tex>exposeleqslant 1 + 2\log n </tex>.

Лемма2. <tex>V |proof= M + \Delta \Phi _{a}<= 1 + 2\log n </tex>

= 2 * \cdot |L \cap D \rightarrow S| \\=2 * \cdot \log n

Теперь проанализируем <tex>M</tex>. Используя тот факт, что начальное значение Первый вызов <tex>\Phi _mathrm{aexpose}</tex> не превосходит построит путь от <tex>n - 1u</tex>до корня. Второй пересечет этот путь в наименьшем общем предке, приходим к томупоэтому в splay-дереве, что для деревьев с которому принадлежит <tex>nu</tex> вершинами, по крайней мере за хранится указатель <tex>n - 1pathparent</tex> операцию на <tex>expose\mathrm{lca}</tex>, среднее после <tex>M\mathrm{splay}(u)</tex> на одну операцию он будет не больше, чем находиться в <tex>1 + 2\log nu</tex>.

Докажем, что амортизационная стоимость операции <tex>expose</tex> равна <tex>==См. также==* [[Метод двоичного подъема]]* [[Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(log(n)1)</tex>в оффлайн]]* [[Алгоритм Шибера-Вишкина]]

Пусть <tex>s(v)<==Источники информации==* [http://www.lektorium.tv/lecture/14464 А.С. Станкевич, "Дополнительные главы алгоритмов"]* [https://sites.google.com/site/indy256/algo/tex> link-cut- количество вершин в поддеревьях <tex>v<tree-lca Реализация LCA на link-cut дереве]* [http://www.cs.cmu.edu/~sleator/tex> (здесь имеется в виду splaypapers/dynamic-дерево путиtrees.pdf D. Sleator and R. Tarjan, котоый строится в ходе выполнения <tex>expose<"A Data Structure for Dynamic Trees"]* [http://tex>)compgeom.cs. Нам известно, что стоимость iuiuc.edu/~jeffe/teaching/datastructures/2006/notes/07-linkcut.pdf Jeff Erickson. Lecture 7. Link-Cut Trees]* [http://planarity.org/Klein_splay_trees_and_link-cut_trees.pdf Optimization Algorithms for Planar Graphs. Splay trees and link-той операции splay не превосходит 1 + 3cut trees]*(r'(v_[http://en.wikipedia.org/wiki/Link/cut_tree Wikipedia {i{---} - r(v_{i})) (лемма). Это приводит к тому, что амортизационная стоимость <tex>expose<Link/tex> ограничена следующим значениемcut tree]