Link-Cut Tree — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Исправлена описка)
 
(не показано 48 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''Link-cut tree''' (''dynamic tree'') {{---}} это структура данных, которая хранит лес деревьев и позволяет выполнять следующие операции:
+
'''Динамические деревья''' (англ.''dynamic tree'') используются в двух областях: [[Определение сети, потока|потоки]] и динамические графы.
* '''min(v)''' {{---}} искать минимум на пути от вершины до корня;
+
В первом случае динамические деревья позволяют построить эффективные алгоритмы для задачи о поиске максимального потока.
* '''add(v, c)''' {{---}} прибавлять константу на пути от вершины до корня;
+
В динамическом графе периодически происходят изменения: появляются и исчезают ребра, меняются их веса. Нужно быстро обрабатывать изменения, а также уметь [[Отношение связности, компоненты связности | проверять связность]], [[Алгоритмы на деревьях|искать диаметр]]. Динамические деревья являются инструментом, который позволяет легко решать эти задачи.  Динамические деревья особенно эффективны, когда нужно работать с большими деревьями и большим количеством запросов '''link''' и '''cut'''.
* '''link(u, w)''' {{---}} подвешивать одно дерево на другое;
+
 
* '''cut(v)''' {{---}} отрезать дерево с корнем в вершине v.
+
'''Link-cut tree'''  {{---}} это структура данных, которая хранит [[Дерево, эквивалентные определения |лес деревьев]] и позволяет выполнять следующие операции:
 +
* '''<tex>\mathrm{min(v)}</tex>''' {{---}} искать минимум на пути от вершины до корня,
 +
* '''<tex>\mathrm{add(v, c)}</tex>''' {{---}} прибавлять константу на пути от вершины до корня,
 +
* '''<tex>\mathrm{link(u, w)}</tex>''' {{---}} подвешивать одно дерево на другое,
 +
* '''<tex>\mathrm{cut(v)}</tex>''' {{---}} отрезать дерево с корнем в вершине <tex>\mathrm{v}</tex>.
 
Среднее время выполнения каждой операции {{---}} <tex>O(\log n)</tex>. Эта структура данных была придумана Робертом Тарьяном и Даниелем Слейтером в 1982 году.
 
Среднее время выполнения каждой операции {{---}} <tex>O(\log n)</tex>. Эта структура данных была придумана Робертом Тарьяном и Даниелем Слейтером в 1982 году.
  
Строка 10: Строка 14:
  
 
[[Файл:Path_to_tree.png|250px|thumb|right|Пример построения дерева для пути]]
 
[[Файл:Path_to_tree.png|250px|thumb|right|Пример построения дерева для пути]]
* прибавлять константу и искать минимум на некотором суффиксе (то есть на пути от вершины до корня),  
+
* '''<tex>\mathrm{add(v, c)}</tex>'''  и '''<tex>\mathrm{min(v)}</tex>''' {{---}} прибавлять константу и искать минимум на некотором суффиксе (то есть на пути от вершины до корня),  
* разбить один путь на два,
+
* '''<tex>\mathrm{cut(v)}</tex>''' {{---}} разбить один путь на два,
* подвешивать голову одного пути к хвосту другого.  
+
* '''<tex>\mathrm{link(v, u)}</tex>''' {{---}} подвешивать голову одного пути к хвосту другого.  
  
Если бы не последние две операции, то можно было бы применить [[Дерево отрезков. Построение|дерево отрезков]], сложив в него вершины в том порядке в котором они идут в пути. Но непонятно, как сливать или разрезать деревья отрезков. Если использовать какие-нибудь сливаемые деревья, то <tex>\mathrm{link}</tex> и <tex> \mathrm{cut}</tex> реализуются просто, осталось научиться искать минимум и прибавлять константу на пути. Для этого, как и в деревьях отрезков, будем хранить дополнительные значения в вершинах.
+
Если бы не последние две операции, то можно было бы применить [[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления|дерево отрезков]], сложив в него вершины в том порядке в котором они идут в пути. Но непонятно, как сливать или разрезать деревья отрезков. Эту задачу можно решить при помощи [[Декартово дерево по неявному ключу|декартового дерева по неявному ключу]]. Также, если использовать какие-нибудь сливаемые деревья, то <tex>\mathrm{link}</tex> и <tex> \mathrm{cut}</tex> реализуются просто. Осталось научиться искать минимум и прибавлять константу на пути. Для этого, как и в деревьях отрезков, будем хранить дополнительные значения в вершинах.
 
В качестве сливаемых деревьев выберем [[Splay-дерево|splay-деревья]], в которых ключи выбираются равными глубине вершины.  
 
В качестве сливаемых деревьев выберем [[Splay-дерево|splay-деревья]], в которых ключи выбираются равными глубине вершины.  
  
Строка 23: Строка 27:
 
Чтобы прибавлять заданное число на пути от вершины до корня, будем в каждой вершине хранить величину <tex>\Delta w</tex>, которая равна разнице между весом вершины и весом её родителя. Для корня это значение равно весу самого корня. Поэтому вес вершины определятся следующим образом:
 
Чтобы прибавлять заданное число на пути от вершины до корня, будем в каждой вершине хранить величину <tex>\Delta w</tex>, которая равна разнице между весом вершины и весом её родителя. Для корня это значение равно весу самого корня. Поэтому вес вершины определятся следующим образом:
  
<tex>w(u) = \displaystyle \sum_v^{} \Delta w(v)</tex>, где v все предки вершины u.
+
<tex>w(u) = \displaystyle \sum_v^{} \Delta w(v)</tex>, где <tex> v </tex> {{---}} все предки вершины <tex> u </tex>.
  
 
При прибавлении <tex>\alpha</tex> на пути от вершины <tex>v</tex> до корня, сначала вызывается <tex>\mathrm{splay(v)}</tex>, после чего в левом поддереве находятся вершины, которые лежат на пути к корню. Затем надо прибавить <tex>\alpha</tex> к <tex>\Delta w(v)</tex> и, чтобы сохранить веса вершин, которые находятся ниже в пути, вычесть <tex>\alpha</tex> от <tex>\Delta w(right(v))</tex>.
 
При прибавлении <tex>\alpha</tex> на пути от вершины <tex>v</tex> до корня, сначала вызывается <tex>\mathrm{splay(v)}</tex>, после чего в левом поддереве находятся вершины, которые лежат на пути к корню. Затем надо прибавить <tex>\alpha</tex> к <tex>\Delta w(v)</tex> и, чтобы сохранить веса вершин, которые находятся ниже в пути, вычесть <tex>\alpha</tex> от <tex>\Delta w(right(v))</tex>.
[[Файл:Linkcut_weights.png|250px|thumb|right|]]
+
 
  
 
Для реализации <tex>\min</tex> будем хранить минимум уже для всего поддерева. Чтобы искать минимум от вершины <tex>v</tex>, надо вызвать <tex>\mathrm{splay(v)}</tex> и сравнить её вес с минимумом левого поддерева, в котором теперь находятся все вершины пути кроме <tex>v</tex>. Определим <tex>\Delta \min (v)</tex> таким образом, чтобы сохранялся следующий инвариант: <tex>\min (v) = \Delta \min (v) + w(v) </tex>. Пусть <tex>l</tex> и <tex>r</tex> дети <tex>v</tex>, тогда
 
Для реализации <tex>\min</tex> будем хранить минимум уже для всего поддерева. Чтобы искать минимум от вершины <tex>v</tex>, надо вызвать <tex>\mathrm{splay(v)}</tex> и сравнить её вес с минимумом левого поддерева, в котором теперь находятся все вершины пути кроме <tex>v</tex>. Определим <tex>\Delta \min (v)</tex> таким образом, чтобы сохранялся следующий инвариант: <tex>\min (v) = \Delta \min (v) + w(v) </tex>. Пусть <tex>l</tex> и <tex>r</tex> дети <tex>v</tex>, тогда
Строка 36: Строка 40:
 
= \min\{0, \ (\Delta \min(l) + w(l)) - w(v), \ (\Delta \min(r) + w(r)) - w(v)\} \\
 
= \min\{0, \ (\Delta \min(l) + w(l)) - w(v), \ (\Delta \min(r) + w(r)) - w(v)\} \\
 
= \min\{0, \ \Delta \min(l) + \Delta w(l), \ \Delta \min(r) + \Delta w(r)\}</tex>
 
= \min\{0, \ \Delta \min(l) + \Delta w(l), \ \Delta \min(r) + \Delta w(r)\}</tex>
 +
 +
[[Файл:Linkcut_weights.png|500px]]
  
 
==Link-cut tree==
 
==Link-cut tree==
Чтобы обобщить, разобьем дерево на множество непересекающихся путей. Каждое ребро обозначим либо solid-ребром, либо dashed-ребром. Все пути в link-cut дереве хранятся в виде splay-деревьев. Корень каждого splay-дерева хранит указатель на вершину-родителя. В дальнейшем будем называть этот указатель <tex>pathparent</tex>.
+
Чтобы обобщить, разобьем дерево на множество непересекающихся путей. Каждое ребро обозначим либо сплошным, либо пунктирным. Все пути в link-cut дереве хранятся в виде splay-деревьев. Корень каждого splay-дерева хранит указатель на вершину-родителя. В дальнейшем будем называть этот указатель <tex>pathparent</tex>.
 
[[Файл:Linkcut_paths.png|500px||center|Разбиение дерева на пути]]
 
[[Файл:Linkcut_paths.png|500px||center|Разбиение дерева на пути]]
  
 
===expose(u)===
 
===expose(u)===
Ключевая операция в link-cut-деревьях {{---}} <tex>\mathrm{expose(u)}</tex>. После её выполнения <tex>u</tex> лежит на одном пути с корнем link-cut дерева и при этом становится корнем в splay-дереве получившегося пути. Для этого она поднимается вверх по link-cut дереву, и если какой-нибудь путь пересекает путь от <tex>u</tex> до корня, то она его отрезает, разъединяя splay-дерево и делая соответствующее solid-ребро dashed-ребром.
+
Ключевая операция в link-cut-деревьях {{---}} <tex>\mathrm{expose(u)}</tex>. После её выполнения <tex>u</tex> лежит на одном пути с корнем link-cut дерева и при этом становится корнем в splay-дереве получившегося пути. Для этого она поднимается вверх по link-cut дереву, и если какой-нибудь путь пересекает путь от <tex>u</tex> до корня, то она его отрезает, разъединяя splay-дерево и делая соответствующее сплошное ребро пунктирным ребром.
 
[[Файл:Linkcut_expose.png|500px||center|Разбиение дерева на пути]]
 
[[Файл:Linkcut_expose.png|500px||center|Разбиение дерева на пути]]
  
  '''function''' expose(u : '''tree'''):
+
  '''function''' expose(u: '''tree'''):
 
     splay(u)
 
     splay(u)
     v <tex>\leftarrow</tex> u
+
     v <tex>=</tex> u
     '''while''' v != root
+
     '''while''' v <tex> \ne </tex> root
         p <tex>\leftarrow</tex> pathparent(v)        <font color=green>//получаем указатель на ближайшую вершину пути, пересекающего путь от u до корня</font>
+
         p <tex>=</tex> pathparent(v)        <font color=green>//получаем указатель на ближайшую вершину пути, пересекающего путь от u до корня</font>
 
         splay(p)                  <font color=green>//теперь в правом поддереве p находятся вершины пути, которые находятся ниже чем p в link-cut-дереве,</font>
 
         splay(p)                  <font color=green>//теперь в правом поддереве p находятся вершины пути, которые находятся ниже чем p в link-cut-дереве,</font>
         parent(right(p)) <tex>\leftarrow</tex> null  <font color=green>//поэтому правое поддерево p делаем новым путем</font>
+
         parent(right(p)) <tex>=</tex> null  <font color=green>//поэтому правое поддерево p делаем новым путем</font>
         pathparent(right(p)) <tex>\leftarrow</tex> p
+
         pathparent(right(p)) <tex>=</tex> p
         right(p) <tex>\leftarrow</tex> v            <font color=green>//объединяем оставшийся и построенный пути</font>
+
         right(p) <tex>=</tex> v            <font color=green>//объединяем оставшийся и построенный пути</font>
 
         <tex>\vartriangle</tex>w(v) -= <tex>\vartriangle</tex>w(p)
 
         <tex>\vartriangle</tex>w(v) -= <tex>\vartriangle</tex>w(p)
         <tex>\vartriangle</tex>min(p) <tex>\leftarrow</tex> min{0, <tex>\vartriangle</tex>min(left(p)) + <tex>\vartriangle</tex>w(left(p)), <tex>\vartriangle</tex>min(right(p)) + <tex>\vartriangle</tex>w(right(p))}
+
         <tex>\vartriangle</tex>min(p) <tex>=</tex> min{0, <tex>\vartriangle</tex>min(left(p)) + <tex>\vartriangle</tex>w(left(p)), <tex>\vartriangle</tex>min(right(p)) + <tex>\vartriangle</tex>w(right(p))}
         pathparent(v) <tex>\leftarrow</tex> null
+
         pathparent(v) <tex>=</tex> null
         v <tex>\leftarrow</tex> p
+
         v <tex>=</tex> p
 
     splay(u)
 
     splay(u)
  
Строка 63: Строка 69:
 
Чтобы прибавить константу на пути от <tex>v</tex> до корня link-cut-дерева вызовем <tex>\mathrm{expose(v)}</tex>, что построит запрашиваемый путь в виде splay-дерева, в котором <tex>v</tex> {{---}} корень, и в левом поддереве находятся вершины, которые находятся выше чем <tex>v</tex> в link-cut-дереве (то есть все вершины пути без <tex>v</tex>), а в правом {{---}} те, что ниже. Тогда прибавим <tex>c</tex> к <tex>\Delta w(v)</tex> и вычтем константу от правого ребенка <tex>v</tex>, чтобы скомпенсировать разницу и сохранить инвариант.
 
Чтобы прибавить константу на пути от <tex>v</tex> до корня link-cut-дерева вызовем <tex>\mathrm{expose(v)}</tex>, что построит запрашиваемый путь в виде splay-дерева, в котором <tex>v</tex> {{---}} корень, и в левом поддереве находятся вершины, которые находятся выше чем <tex>v</tex> в link-cut-дереве (то есть все вершины пути без <tex>v</tex>), а в правом {{---}} те, что ниже. Тогда прибавим <tex>c</tex> к <tex>\Delta w(v)</tex> и вычтем константу от правого ребенка <tex>v</tex>, чтобы скомпенсировать разницу и сохранить инвариант.
  
  '''function''' add(v : '''tree''', c : '''int'''):
+
  '''function''' add(v: '''tree''', c: '''int'''):
 
     expose(v)
 
     expose(v)
 
     <tex>\vartriangle</tex>w(v) += c
 
     <tex>\vartriangle</tex>w(v) += c
Строка 69: Строка 75:
  
 
===min(v)===
 
===min(v)===
Построим splay-дерево для пути и сравним минимум корня <tex>v</tex> c минимумом в левом поддереве:
+
Построим splay-дерево для пути и сравним вес корня <tex>v</tex> c минимумом в левом поддереве:
  '''int''' min(v : '''tree'''):
+
  '''function''' min(v: '''tree'''): '''int'''
 
     expose(v)
 
     expose(v)
 
     '''if''' <tex>\vartriangle</tex>min(left(v)) + <tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) < <tex>\vartriangle</tex>w(v)
 
     '''if''' <tex>\vartriangle</tex>min(left(v)) + <tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) < <tex>\vartriangle</tex>w(v)
Строка 80: Строка 86:
 
Если <tex>v</tex> {{---}} корень, а <tex>u</tex> {{---}} вершина в другом дереве, то <tex>\mathrm{link(v, u)}</tex> соединяет два дерева добавлением ребра <tex>(v, u)</tex>, причем <tex>u</tex> становится родителем <tex>v</tex>.
 
Если <tex>v</tex> {{---}} корень, а <tex>u</tex> {{---}} вершина в другом дереве, то <tex>\mathrm{link(v, u)}</tex> соединяет два дерева добавлением ребра <tex>(v, u)</tex>, причем <tex>u</tex> становится родителем <tex>v</tex>.
  
  '''tree''' link(v : '''tree''', u : '''tree'''):
+
  '''function''' link(v: '''tree''', u: '''tree'''): '''tree'''
 
     expose(v) <font color=green>    //теперь v {{---}} корень в splay-дереве пути и не имеет левого ребенка(так как ключ равен глубине в link-cut дереве)</font>
 
     expose(v) <font color=green>    //теперь v {{---}} корень в splay-дереве пути и не имеет левого ребенка(так как ключ равен глубине в link-cut дереве)</font>
 
     expose(u)
 
     expose(u)
 
     <tex>\vartriangle</tex>w(u) -= <tex>\vartriangle</tex>w(v) <font color=green>//чтобы сделать u родителем v в link-cut дереве 1. делаем путь, содержащий u, левым ребенком v в splay-дереве</font>
 
     <tex>\vartriangle</tex>w(u) -= <tex>\vartriangle</tex>w(v) <font color=green>//чтобы сделать u родителем v в link-cut дереве 1. делаем путь, содержащий u, левым ребенком v в splay-дереве</font>
     parent(u) <tex>\leftarrow</tex> v <font color=green>//                                              2. обновляем <tex>\vartriangle</tex>w, <tex>\vartriangle</tex>min</font>
+
     parent(u) <tex>=</tex> v <font color=green>//                                              2. обновляем <tex>\vartriangle</tex>w, <tex>\vartriangle</tex>min</font>
     left(v) <tex>\leftarrow</tex> u
+
     left(v) <tex>=</tex> u
     <tex>\vartriangle</tex>min(v) <tex>\leftarrow</tex> min{0, <tex>\vartriangle</tex>min(u) + <tex>\vartriangle</tex>w(u), <tex>\vartriangle</tex>min(right(v)) + <tex>\vartriangle</tex>w((right(v)))}
+
     <tex>\vartriangle</tex>min(v) <tex>=</tex> min{0, <tex>\vartriangle</tex>min(u) + <tex>\vartriangle</tex>w(u), <tex>\vartriangle</tex>min(right(v)) + <tex>\vartriangle</tex>w((right(v)))}
 
     '''return''' v
 
     '''return''' v
  
 
===cut(v)===
 
===cut(v)===
Отрезает дерево с корнем <tex>v</tex>. После вызова <tex>\mathrm{expose(v)}</tex> вершина <tex>v</tex> станет корнем splay-дерева, и в правом поддереве будут содержатся все вершины, которые были ниже <tex>v</tex> в link-cut дереве, а в левом {{---}} те что выше. Обнулив указатель на левого ребенка <tex>v</tex> и на родителя в левом поддереве, получим требуемое.
+
Отрезает дерево с корнем <tex>v</tex>. После вызова <tex>\mathrm{expose(v)}</tex> вершина <tex>v</tex> станет корнем splay-дерева, и в правом поддереве будут содержаться все вершины, которые были ниже <tex>v</tex> в link-cut дереве, а в левом {{---}} те что выше. Обнулив указатель на левого ребенка <tex>v</tex> и на родителя в левом поддереве, получим требуемое.
  
  '''function''' cut(v : '''tree'''):
+
  '''function''' cut(v: '''tree'''):
 
     expose(v)
 
     expose(v)
 
     <tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) += <tex>\vartriangle</tex>w(v)
 
     <tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) += <tex>\vartriangle</tex>w(v)
     <tex>\vartriangle</tex>min(v) <tex>\leftarrow</tex> min{0, <tex>\vartriangle</tex>min(right(v)) + <tex>\vartriangle</tex>w(right(v))}
+
     <tex>\vartriangle</tex>min(v) <tex>=</tex> min{0, <tex>\vartriangle</tex>min(right(v)) + <tex>\vartriangle</tex>w(right(v))}
     left(v) <tex>\leftarrow</tex> null
+
     parent(left(v)) <tex>=</tex> null
     parent(left(v)) <tex>\leftarrow</tex> null
+
     left(v) <tex>=</tex> null
  
 
==Оценка времени работы==
 
==Оценка времени работы==
Назовем ребро из <tex>u</tex> в её родителя <tex>v</tex> тяжелым, если количество детей <tex>u</tex> равное <tex>d(u) > \frac{1}{2} d(v)</tex>.
+
Назовем ребро из <tex>u</tex> в её родителя <tex>v</tex> тяжелым, если количество детей <tex>u</tex> равное <tex>d(u) > \dfrac{1}{2} d(v)</tex>.
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|id = Lemma1
 
|id = Lemma1
Строка 108: Строка 114:
 
}}
 
}}
  
Операция <tex>u</tex> осуществляется с помощью последовательности преобразований dashed-ребра в solid-ребро и другого solid-ребра в dashed-ребро. Обозначим количество таких преобразований за <tex>M</tex>. Найдем количество преобразований сделанных в течение <tex>\mathrm{expose(u)}</tex>. Пусть <tex>H</tex> {{---}} множество всех тяжелых ребер, <tex>L</tex> {{---}} все легкие ребра, <tex>S \rightarrow D</tex> {{---}} множество solid-ребер, преобразованных в dashed в течение одного <tex>\mathrm{expose}</tex>, <tex>D \rightarrow S</tex> {{---}} множество dashed-ребер, преобразованных в solid.
+
Операция <tex>u</tex> осуществляется с помощью последовательности преобразований пунктирного ребра в сплошное ребро и другого сплошного ребра в пунктирное ребро. Обозначим количество таких преобразований за <tex>M</tex>. Найдем количество преобразований сделанных в течение <tex>\mathrm{expose(u)}</tex>. Пусть <tex>H</tex> {{---}} множество всех тяжелых ребер, <tex>L</tex> {{---}} все легкие ребра, <tex>S \rightarrow D</tex> {{---}} множество сплошных ребер, преобразованных в пунктирные в течение одного <tex>\mathrm{expose}</tex>, <tex>D \rightarrow S</tex> {{---}} множество пунктирных ребер, преобразованных в сплошные.
  
 
<tex>M = |\{D \rightarrow S\}| = |\{L \cap D \rightarrow S\}| + |\{H \cap D \rightarrow S\}|</tex>
 
<tex>M = |\{D \rightarrow S\}| = |\{L \cap D \rightarrow S\}| + |\{H \cap D \rightarrow S\}|</tex>
  
По лемме, количество легких dashed-ребер, преобразованных в solid, будет не больше, чем <tex>\log n</tex>.
+
По лемме, количество легких пунктирных ребер, преобразованных в сплошные, будет не больше, чем <tex>\log n</tex>.
  
Обозначим за <tex>F</tex> лес деревьев, в которых каждое ребро либо solid, либо dashed, a <tex>F'</tex> {{---}} лес, получившийся из <tex>F</tex> после одного вызова <tex>\mathrm{expose}</tex>. Определим потенциал <tex>\Phi _{a}(F) = n - 1 - |\{H \cap solid-edges\}|</tex>, <tex>\Delta \Phi _{a}</tex> {{---}} увеличение <tex>\Phi _{a}</tex> после одной операции <tex>\mathrm{expose}</tex>.
+
Обозначим за <tex>F</tex> лес деревьев, в которых каждое ребро либо сплошное, либо пунктирное, a <tex>F'</tex> {{---}} лес, получившийся из <tex>F</tex> после одного вызова <tex>\mathrm{expose}</tex>. Определим потенциал <tex>\Phi _{a}(F) = n - 1 - |\{H \cap solid-edges\}|</tex>, <tex>\Delta \Phi _{a}</tex> {{---}} увеличение <tex>\Phi _{a}</tex> после одной операции <tex>\mathrm{expose}</tex>.
  
 
{{Лемма
 
{{Лемма
Строка 131: Строка 137:
  
  
Теперь проанализируем <tex>M</tex>. Используя тот факт, что начальное значение <tex>\Phi _{a}</tex> не превосходит <tex>n - 1</tex>, приходим к тому, что для деревьев с <tex>n</tex> вершинами, по крайней мере за <tex>n - 1</tex> операцию <tex>\mathrm{expose}</tex>, среднее <tex>M</tex> на одну операцию будет не больше, чем <tex>1 + 2\log n</tex>
+
Теперь проанализируем <tex>M</tex>. Используя тот факт, что начальное значение <tex>\Phi _{a}</tex> не превосходит <tex>n - 1</tex>, приходим к тому, что для деревьев с <tex>n</tex> вершинами, по крайней мере за <tex>n - 1</tex> операцию <tex>\mathrm{expose}</tex>, среднее <tex>M</tex> на одну операцию будет не больше, чем <tex>1 + 2\log n</tex>.
  
Докажем, что амортизационная стоимость операции <tex>\mathrm{expose}</tex> равна <tex>O(\log n)</tex>
+
Докажем, что [[Амортизационный анализ|амортизационная стоимость операции]] <tex>\mathrm{expose}</tex> равна <tex>O(\log n)</tex>.
  
Пусть <tex>s(v)</tex> {{---}} количество вершин в поддеревьях <tex>v</tex> ( здесь имеется в виду splay-дерево пути, котоый строится в ходе выполнения <tex>\mathrm{expose}</tex>), <tex>r(v) = \log s(v)</tex>. По  [[Splay-дерево#Lemma1|лемме]] стоимость ''i''-той операции <tex>\mathrm{splay}</tex> не превосходит <tex>1 + 3 \cdot (r(t) - r(v))</tex>. Это приводит к тому, что амортизационная стоимость <tex>\mathrm{expose}</tex> ограничена следующим значением:
+
Пусть <tex>s(v)</tex> {{---}} количество вершин в поддеревьях <tex>v</tex> ( здесь имеется в виду splay-дерево пути, который строится в ходе выполнения <tex>\mathrm{expose}</tex>), <tex>r(v) = \log s(v)</tex>. По  [[Splay-дерево#Lemma1|лемме]] стоимость ''i''-той операции <tex>\mathrm{splay}</tex> не превосходит <tex>1 + 3 \cdot (r(t) - r(v))</tex>. Это приводит к тому, что амортизационная стоимость <tex>\mathrm{expose}</tex> ограничена следующим значением:
  
 
<tex>3 \cdot \log n - 3 \cdot \log (s(v)) + M</tex>
 
<tex>3 \cdot \log n - 3 \cdot \log (s(v)) + M</tex>
  
Здесь <tex>M = O(\log n)</tex>, поэтому амортизационная стоимость <tex>\mathrm{expose}</tex> равна <tex>O(\log n)</tex>
+
Здесь <tex>M = O(\log n)</tex>, поэтому амортизационная стоимость <tex>\mathrm{expose}</tex> равна <tex>O(\log n)</tex>.
  
 
==Применение==
 
==Применение==
 
===LCA===
 
===LCA===
 
C помощью link-cut-дерева можно найти наименьшего общего предка:
 
C помощью link-cut-дерева можно найти наименьшего общего предка:
  '''tree''' lca(u : '''tree''', v : '''tree'''):
+
  '''function''' lca(u: '''tree''', v: '''tree'''): '''tree'''
 
     expose(u)
 
     expose(u)
 
     expose(v)
 
     expose(v)
Строка 151: Строка 157:
 
Первый вызов <tex>\mathrm{expose}</tex> построит путь от <tex>u</tex> до корня. Второй пересечет этот путь в наименьшем общем предке, поэтому в splay-дереве, которому принадлежит <tex>u</tex>, хранится указатель <tex>pathparent</tex> на <tex>\mathrm{lca}</tex>, после <tex>\mathrm{splay}(u)</tex> он будет находиться в <tex>u</tex>.
 
Первый вызов <tex>\mathrm{expose}</tex> построит путь от <tex>u</tex> до корня. Второй пересечет этот путь в наименьшем общем предке, поэтому в splay-дереве, которому принадлежит <tex>u</tex>, хранится указатель <tex>pathparent</tex> на <tex>\mathrm{lca}</tex>, после <tex>\mathrm{splay}(u)</tex> он будет находиться в <tex>u</tex>.
  
==Ссылки==
+
==См. также==
*[http://www.cs.cmu.edu/~sleator/papers/dynamic-trees.pdf ''D. Sleator and R. Tarjan''. A Data Structure for Dynamic Trees]
+
* [[Метод двоичного подъема]]
*[http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/teaching/datastructures/2006/notes/07-linkcut.pdf Jeff Erickson. Lecture 7. Link-Cut Trees]
+
* [[Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн]]
*[http://planarity.org/Klein_splay_trees_and_link-cut_trees.pdf Optimization Algorithms for Planar Graphs. Splay trees and link-cut trees]
+
* [[Алгоритм Шибера-Вишкина]]
*[http://en.wikipedia.org/?title=Link/cut_tree Wikipedia {{---}} Link/cut tree]
+
 
 +
==Источники информации==
 +
* [http://www.lektorium.tv/lecture/14464 А.С. Станкевич, "Дополнительные главы алгоритмов"]
 +
* [https://sites.google.com/site/indy256/algo/link-cut-tree-lca Реализация LCA на link-cut дереве]
 +
* [http://www.cs.cmu.edu/~sleator/papers/dynamic-trees.pdf D. Sleator and R. Tarjan, "A Data Structure for Dynamic Trees"]
 +
* [http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/teaching/datastructures/2006/notes/07-linkcut.pdf Jeff Erickson. Lecture 7. Link-Cut Trees]
 +
* [http://planarity.org/Klein_splay_trees_and_link-cut_trees.pdf Optimization Algorithms for Planar Graphs. Splay trees and link-cut trees]
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Link/cut_tree Wikipedia {{---}} Link/cut tree]
  
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
  
 +
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]
 
[[Категория: Задача о наименьшем общем предке]]

Текущая версия на 22:50, 5 сентября 2019

Динамические деревья (англ.dynamic tree) используются в двух областях: потоки и динамические графы. В первом случае динамические деревья позволяют построить эффективные алгоритмы для задачи о поиске максимального потока. В динамическом графе периодически происходят изменения: появляются и исчезают ребра, меняются их веса. Нужно быстро обрабатывать изменения, а также уметь проверять связность, искать диаметр. Динамические деревья являются инструментом, который позволяет легко решать эти задачи. Динамические деревья особенно эффективны, когда нужно работать с большими деревьями и большим количеством запросов link и cut.

Link-cut tree — это структура данных, которая хранит лес деревьев и позволяет выполнять следующие операции:

  • [math]\mathrm{min(v)}[/math] — искать минимум на пути от вершины до корня,
  • [math]\mathrm{add(v, c)}[/math] — прибавлять константу на пути от вершины до корня,
  • [math]\mathrm{link(u, w)}[/math] — подвешивать одно дерево на другое,
  • [math]\mathrm{cut(v)}[/math] — отрезать дерево с корнем в вершине [math]\mathrm{v}[/math].

Среднее время выполнения каждой операции — [math]O(\log n)[/math]. Эта структура данных была придумана Робертом Тарьяном и Даниелем Слейтером в 1982 году.

Решение задачи в частном случае[править]

Сначала рассмотрим частный случай, в котором все деревья — это пути, и мы хотим уметь:

Пример построения дерева для пути
  • [math]\mathrm{add(v, c)}[/math] и [math]\mathrm{min(v)}[/math] — прибавлять константу и искать минимум на некотором суффиксе (то есть на пути от вершины до корня),
  • [math]\mathrm{cut(v)}[/math] — разбить один путь на два,
  • [math]\mathrm{link(v, u)}[/math] — подвешивать голову одного пути к хвосту другого.

Если бы не последние две операции, то можно было бы применить дерево отрезков, сложив в него вершины в том порядке в котором они идут в пути. Но непонятно, как сливать или разрезать деревья отрезков. Эту задачу можно решить при помощи декартового дерева по неявному ключу. Также, если использовать какие-нибудь сливаемые деревья, то [math]\mathrm{link}[/math] и [math] \mathrm{cut}[/math] реализуются просто. Осталось научиться искать минимум и прибавлять константу на пути. Для этого, как и в деревьях отрезков, будем хранить дополнительные значения в вершинах. В качестве сливаемых деревьев выберем splay-деревья, в которых ключи выбираются равными глубине вершины.

Тогда операции [math]\mathrm{cut}[/math] будет соответствовать [math]\mathrm{split}[/math].

[math]\mathrm{link(path1, path2)}[/math] соединяет голову первого пути с хвостом второго. Используем функцию [math]\mathrm{merge(path2, path1)}[/math], которая вызовет [math]\mathrm{splay}[/math] от хвоста второго пути и сделает первый путь правым ребенком корня [math]\mathrm{path2}[/math], то есть теперь [math]\mathrm{path1}[/math] находится ниже, чем [math]\mathrm{path2}[/math].

Чтобы прибавлять заданное число на пути от вершины до корня, будем в каждой вершине хранить величину [math]\Delta w[/math], которая равна разнице между весом вершины и весом её родителя. Для корня это значение равно весу самого корня. Поэтому вес вершины определятся следующим образом:

[math]w(u) = \displaystyle \sum_v^{} \Delta w(v)[/math], где [math] v [/math] — все предки вершины [math] u [/math].

При прибавлении [math]\alpha[/math] на пути от вершины [math]v[/math] до корня, сначала вызывается [math]\mathrm{splay(v)}[/math], после чего в левом поддереве находятся вершины, которые лежат на пути к корню. Затем надо прибавить [math]\alpha[/math] к [math]\Delta w(v)[/math] и, чтобы сохранить веса вершин, которые находятся ниже в пути, вычесть [math]\alpha[/math] от [math]\Delta w(right(v))[/math].


Для реализации [math]\min[/math] будем хранить минимум уже для всего поддерева. Чтобы искать минимум от вершины [math]v[/math], надо вызвать [math]\mathrm{splay(v)}[/math] и сравнить её вес с минимумом левого поддерева, в котором теперь находятся все вершины пути кроме [math]v[/math]. Определим [math]\Delta \min (v)[/math] таким образом, чтобы сохранялся следующий инвариант: [math]\min (v) = \Delta \min (v) + w(v) [/math]. Пусть [math]l[/math] и [math]r[/math] дети [math]v[/math], тогда

[math]\min (v) = \min \{w(v), \min(l), \min(r)\}[/math]

[math]\Delta \min(v) = \min(v) - w(v) \\ = \min\{w(v) - w(v), \min(l) - w(v), \min(r) - w(v)\} \\ = \min\{0, \ (\Delta \min(l) + w(l)) - w(v), \ (\Delta \min(r) + w(r)) - w(v)\} \\ = \min\{0, \ \Delta \min(l) + \Delta w(l), \ \Delta \min(r) + \Delta w(r)\}[/math]

Linkcut weights.png

Link-cut tree[править]

Чтобы обобщить, разобьем дерево на множество непересекающихся путей. Каждое ребро обозначим либо сплошным, либо пунктирным. Все пути в link-cut дереве хранятся в виде splay-деревьев. Корень каждого splay-дерева хранит указатель на вершину-родителя. В дальнейшем будем называть этот указатель [math]pathparent[/math].

Разбиение дерева на пути

expose(u)[править]

Ключевая операция в link-cut-деревьях — [math]\mathrm{expose(u)}[/math]. После её выполнения [math]u[/math] лежит на одном пути с корнем link-cut дерева и при этом становится корнем в splay-дереве получившегося пути. Для этого она поднимается вверх по link-cut дереву, и если какой-нибудь путь пересекает путь от [math]u[/math] до корня, то она его отрезает, разъединяя splay-дерево и делая соответствующее сплошное ребро пунктирным ребром.

Разбиение дерева на пути
function expose(u: tree):
    splay(u)
    v [math]=[/math] u
    while v [math] \ne [/math] root
        p [math]=[/math] pathparent(v)        //получаем указатель на ближайшую вершину пути, пересекающего путь от u до корня
        splay(p)                  //теперь в правом поддереве p находятся вершины пути, которые находятся ниже чем p в link-cut-дереве,
        parent(right(p)) [math]=[/math] null  //поэтому правое поддерево p делаем новым путем
        pathparent(right(p)) [math]=[/math] p
        right(p) [math]=[/math] v             //объединяем оставшийся и построенный пути
        [math]\vartriangle[/math]w(v) -= [math]\vartriangle[/math]w(p)
        [math]\vartriangle[/math]min(p) [math]=[/math] min{0, [math]\vartriangle[/math]min(left(p)) + [math]\vartriangle[/math]w(left(p)), [math]\vartriangle[/math]min(right(p)) + [math]\vartriangle[/math]w(right(p))}
        pathparent(v) [math]=[/math] null
        v [math]=[/math] p
    splay(u)

add(v, c)[править]

Чтобы прибавить константу на пути от [math]v[/math] до корня link-cut-дерева вызовем [math]\mathrm{expose(v)}[/math], что построит запрашиваемый путь в виде splay-дерева, в котором [math]v[/math] — корень, и в левом поддереве находятся вершины, которые находятся выше чем [math]v[/math] в link-cut-дереве (то есть все вершины пути без [math]v[/math]), а в правом — те, что ниже. Тогда прибавим [math]c[/math] к [math]\Delta w(v)[/math] и вычтем константу от правого ребенка [math]v[/math], чтобы скомпенсировать разницу и сохранить инвариант.

function add(v: tree, c: int):
    expose(v)
    [math]\vartriangle[/math]w(v) += c
    [math]\vartriangle[/math]w(right(v)) -= c

min(v)[править]

Построим splay-дерево для пути и сравним вес корня [math]v[/math] c минимумом в левом поддереве:

function min(v: tree): int
    expose(v)
    if [math]\vartriangle[/math]min(left(v)) + [math]\vartriangle[/math]w(left(v)) < [math]\vartriangle[/math]w(v)
        return [math]\vartriangle[/math]min(left(v)) + [math]\vartriangle[/math]w(left(v))
    else
        return [math]\vartriangle[/math]w(v)

link(v, u)[править]

Если [math]v[/math] — корень, а [math]u[/math] — вершина в другом дереве, то [math]\mathrm{link(v, u)}[/math] соединяет два дерева добавлением ребра [math](v, u)[/math], причем [math]u[/math] становится родителем [math]v[/math].

function link(v: tree, u: tree): tree
    expose(v)      //теперь v — корень в splay-дереве пути и не имеет левого ребенка(так как ключ равен глубине в link-cut дереве)
    expose(u)
    [math]\vartriangle[/math]w(u) -= [math]\vartriangle[/math]w(v) //чтобы сделать u родителем v в link-cut дереве 1. делаем путь, содержащий u, левым ребенком v в splay-дереве
    parent(u) [math]=[/math] v //                                              2. обновляем [math]\vartriangle[/math]w, [math]\vartriangle[/math]min
    left(v) [math]=[/math] u
    [math]\vartriangle[/math]min(v) [math]=[/math] min{0, [math]\vartriangle[/math]min(u) + [math]\vartriangle[/math]w(u), [math]\vartriangle[/math]min(right(v)) + [math]\vartriangle[/math]w((right(v)))}
    return v

cut(v)[править]

Отрезает дерево с корнем [math]v[/math]. После вызова [math]\mathrm{expose(v)}[/math] вершина [math]v[/math] станет корнем splay-дерева, и в правом поддереве будут содержаться все вершины, которые были ниже [math]v[/math] в link-cut дереве, а в левом — те что выше. Обнулив указатель на левого ребенка [math]v[/math] и на родителя в левом поддереве, получим требуемое.

function cut(v: tree):
    expose(v)
    [math]\vartriangle[/math]w(left(v)) += [math]\vartriangle[/math]w(v)
    [math]\vartriangle[/math]min(v) [math]=[/math] min{0, [math]\vartriangle[/math]min(right(v)) + [math]\vartriangle[/math]w(right(v))}
    parent(left(v)) [math]=[/math] null
    left(v) [math]=[/math] null

Оценка времени работы[править]

Назовем ребро из [math]u[/math] в её родителя [math]v[/math] тяжелым, если количество детей [math]u[/math] равное [math]d(u) \gt \dfrac{1}{2} d(v)[/math].

Лемма:
На пути от вершины до корня не больше [math]\log n[/math] легких ребер.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math]m[/math] — количество вершин в дереве с корнем в вершине, в которой мы сейчас находимся. Поднимаясь по легкому ребру, [math]m[/math] увеличивается в два раза, поэтому, пройдя больше [math]\log n[/math] легких ребер, получим [math]m \gt n[/math]. Значит, в дереве не больше [math]\log n[/math] легких ребер.
[math]\triangleleft[/math]

Операция [math]u[/math] осуществляется с помощью последовательности преобразований пунктирного ребра в сплошное ребро и другого сплошного ребра в пунктирное ребро. Обозначим количество таких преобразований за [math]M[/math]. Найдем количество преобразований сделанных в течение [math]\mathrm{expose(u)}[/math]. Пусть [math]H[/math] — множество всех тяжелых ребер, [math]L[/math] — все легкие ребра, [math]S \rightarrow D[/math] — множество сплошных ребер, преобразованных в пунктирные в течение одного [math]\mathrm{expose}[/math], [math]D \rightarrow S[/math] — множество пунктирных ребер, преобразованных в сплошные.

[math]M = |\{D \rightarrow S\}| = |\{L \cap D \rightarrow S\}| + |\{H \cap D \rightarrow S\}|[/math]

По лемме, количество легких пунктирных ребер, преобразованных в сплошные, будет не больше, чем [math]\log n[/math].

Обозначим за [math]F[/math] лес деревьев, в которых каждое ребро либо сплошное, либо пунктирное, a [math]F'[/math] — лес, получившийся из [math]F[/math] после одного вызова [math]\mathrm{expose}[/math]. Определим потенциал [math]\Phi _{a}(F) = n - 1 - |\{H \cap solid-edges\}|[/math], [math]\Delta \Phi _{a}[/math] — увеличение [math]\Phi _{a}[/math] после одной операции [math]\mathrm{expose}[/math].

Лемма:
[math]V = M + \Delta \Phi _{a} \leqslant 1 + 2\log n [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
[math]V = M + \Delta \Phi _{a}\\ = M + |H \cap S \rightarrow D| - |H \cap D \rightarrow S| \\ \leqslant M + |L \cap D \rightarrow S| - |H \cap D \rightarrow S| \\ = 2 \cdot |L \cap D \rightarrow S| \\ =2 \cdot \log n [/math]
[math]\triangleleft[/math]


Теперь проанализируем [math]M[/math]. Используя тот факт, что начальное значение [math]\Phi _{a}[/math] не превосходит [math]n - 1[/math], приходим к тому, что для деревьев с [math]n[/math] вершинами, по крайней мере за [math]n - 1[/math] операцию [math]\mathrm{expose}[/math], среднее [math]M[/math] на одну операцию будет не больше, чем [math]1 + 2\log n[/math].

Докажем, что амортизационная стоимость операции [math]\mathrm{expose}[/math] равна [math]O(\log n)[/math].

Пусть [math]s(v)[/math] — количество вершин в поддеревьях [math]v[/math] ( здесь имеется в виду splay-дерево пути, который строится в ходе выполнения [math]\mathrm{expose}[/math]), [math]r(v) = \log s(v)[/math]. По лемме стоимость i-той операции [math]\mathrm{splay}[/math] не превосходит [math]1 + 3 \cdot (r(t) - r(v))[/math]. Это приводит к тому, что амортизационная стоимость [math]\mathrm{expose}[/math] ограничена следующим значением:

[math]3 \cdot \log n - 3 \cdot \log (s(v)) + M[/math]

Здесь [math]M = O(\log n)[/math], поэтому амортизационная стоимость [math]\mathrm{expose}[/math] равна [math]O(\log n)[/math].

Применение[править]

LCA[править]

C помощью link-cut-дерева можно найти наименьшего общего предка:

function lca(u: tree, v: tree): tree
    expose(u)
    expose(v)
    return pathparent(splay(u))

Первый вызов [math]\mathrm{expose}[/math] построит путь от [math]u[/math] до корня. Второй пересечет этот путь в наименьшем общем предке, поэтому в splay-дереве, которому принадлежит [math]u[/math], хранится указатель [math]pathparent[/math] на [math]\mathrm{lca}[/math], после [math]\mathrm{splay}(u)[/math] он будет находиться в [math]u[/math].

См. также[править]

Источники информации[править]