Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Link-Cut Tree

4 байта убрано, 22:50, 5 сентября 2019
м
Исправлена описка
'''Динамические деревья''' (англ.''dynamic tree'') используются в двух областях: [[Определение сети, потока|потоки]] и динамические графы.
В первом случае динамические деревья позволяют построить эффективные алгоритмы для задачи о поиске максимального потока.
В динамическом графе периодически происходят изменения: появляются и исчезают ребра, меняются их веса. Изменения нужно Нужно быстро обрабатыватьизменения, а также уметь [[Отношение связности, компоненты связности | проверять связность]], [[Алгоритмы на деревьях|искать диаметр]]. Динамические деревья являются инструментом, который позволяет легко решать эти задачи. Динамические деревья особенно эффективны, когда нужно работать с большими деревьями и большим количеством запросов '''link''' и '''cut'''.
'''Link-cut tree''' {{---}} это структура данных, которая хранит [[Дерево, эквивалентные определения |лес деревьев]] и позволяет выполнять следующие операции:
===min(v)===
Построим splay-дерево для пути и сравним минимум вес корня <tex>v</tex> c минимумом в левом поддереве:
'''function''' min(v: '''tree'''): '''int'''
expose(v)
===cut(v)===
Отрезает дерево с корнем <tex>v</tex>. После вызова <tex>\mathrm{expose(v)}</tex> вершина <tex>v</tex> станет корнем splay-дерева, и в правом поддереве будут содержатся содержаться все вершины, которые были ниже <tex>v</tex> в link-cut дереве, а в левом {{---}} те что выше. Обнулив указатель на левого ребенка <tex>v</tex> и на родителя в левом поддереве, получим требуемое.
'''function''' cut(v: '''tree'''):
<tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) += <tex>\vartriangle</tex>w(v)
<tex>\vartriangle</tex>min(v) <tex>=</tex> min{0, <tex>\vartriangle</tex>min(right(v)) + <tex>\vartriangle</tex>w(right(v))}
parent(left(v)) <tex>=</tex> null
left(v) <tex>=</tex> null
parent(left(v)) <tex>=</tex> null
==Оценка времени работы==
Докажем, что [[Амортизационный анализ|амортизационная стоимость операции]] <tex>\mathrm{expose}</tex> равна <tex>O(\log n)</tex>.
Пусть <tex>s(v)</tex> {{---}} количество вершин в поддеревьях <tex>v</tex> ( здесь имеется в виду splay-дерево пути, котоый который строится в ходе выполнения <tex>\mathrm{expose}</tex>), <tex>r(v) = \log s(v)</tex>. По [[Splay-дерево#Lemma1|лемме]] стоимость ''i''-той операции <tex>\mathrm{splay}</tex> не превосходит <tex>1 + 3 \cdot (r(t) - r(v))</tex>. Это приводит к тому, что амортизационная стоимость <tex>\mathrm{expose}</tex> ограничена следующим значением:
<tex>3 \cdot \log n - 3 \cdot \log (s(v)) + M</tex>
24
правки

Навигация