1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
===link(v, u)===
Если <tex>v</tex> {{---}} корень, а <tex>u</tex> {{---}} вершина в другом дереве, то <tex>\mathrm{link(v, u)}</tex> соединяет два дерева добавлением ребра <tex>(v, u)</tex>, причем <tex>uv</tex> становится родителем <tex>vu</tex>.
'''function''' link(v: '''tree''', u: '''tree'''): '''tree'''
}}
Операция <tex>\mathrm{expose(u)}</tex> осуществляется с помощью последовательности преобразований пунктирного ребра в сплошное ребро и другого сплошного ребра в пунктирное ребро. Обозначим количество таких преобразований за <tex>M</tex>. Найдем количество преобразований сделанных в течение <tex>\mathrm{expose(u)}</tex>. Пусть <tex>H</tex> {{---}} множество всех тяжелых ребер, <tex>L</tex> {{---}} все легкие ребра, <tex>S \rightarrow D</tex> {{---}} множество сплошных ребер, преобразованных в пунктирные в течение одного <tex>\mathrm{expose}</tex>, <tex>D \rightarrow S</tex> {{---}} множество пунктирных ребер, преобразованных в сплошные.
<tex>M = |\{D \rightarrow S\}| = |\{L \cap D \rightarrow S\}| + |\{H \cap D \rightarrow S\}|</tex>
Докажем, что [[Амортизационный анализ|амортизационная стоимость операции]] <tex>\mathrm{expose}</tex> равна <tex>O(\log n)</tex>.
Пусть <tex>s(v)</tex> {{---}} количество вершин в поддеревьях <tex>v</tex> ( здесь имеется в виду splay-дерево пути, котоый который строится в ходе выполнения <tex>\mathrm{expose}</tex>), <tex>r(v) = \log s(v)</tex>. По [[Splay-дерево#Lemma1|лемме]] стоимость ''i''-той операции <tex>\mathrm{splay}</tex> не превосходит <tex>1 + 3 \cdot (r(t) - r(v))</tex>. Это приводит к тому, что амортизационная стоимость <tex>\mathrm{expose}</tex> ограничена следующим значением:
<tex>3 \cdot \log n - 3 \cdot \log (s(v)) + M</tex>
