Изменения
→Способ хранения меток
* в нелистовых узлах {{---}} является ли узел переполненным.
<b>Переполненным</b> назовем узел, для которого для любой выбранного <tex>\alpha</tex> (<tex>1<\alpha<2</tex> ) выполнено <tex>\dfrac{\mathrm{weight(x)}}{\mathrm{size(x)}}>\dfrac{1}{\alpha^{\mathrm{height(x)}}}</tex>. В листьях не хранится наличие переполненности, так как в листьях не может быть переполнения. В крайнем случае для листа: <tex> \dfrac{\mathrm{weight(x)}}{\mathrm{size(x)}} = 1 \ngtr 1 = \dfrac{1}{\alpha^{0}} = \dfrac{1}{\alpha^{\mathrm{height(x)}}} </tex>.
==== Перераспределение меток ====
Получается, что за <tex>\dfrac{2\mathrm{size(y)}}{\alpha^{\mathrm{height(x)}}} </tex> операций перераспределения меток требуется сделать <tex>\mathrm{size(y)} \cdot \dfrac{\alpha - 1}{\alpha^{\mathrm{height(x)}}}</tex> операций добавления. Используя [[Амортизационный анализ | метод предоплаты]], видновидим, что, если за каждую операцию добавления брать <tex>\dfrac{2}{\alpha-1}</tex> монет, то за добавления накопится достаточное количество монет, чтобы расплатиться за следующую операцию перераспределения в узле <tex>x</tex>.
Однако таким образом требуется платить за каждый уровень, а количество уровней (бит) равно <tex>u</tex>. Тогда амортизированная стоимость добавления составляет <tex>O(u)</tex>.
Для того, чтобы на пути к корню точно встретился непереполненный узел, требуется уточнить границы <tex>u</tex>: <tex>\dfrac{\mathrm{weight(root)}}{\mathrm{size(root)}} < \dfrac{1}{\alpha^{\mathrm{height(root)}}} \Rightarrow \dfrac{n}{2^u} < \dfrac{1}{\alpha ^u} \Rightarrow u \geqslant \log_{\frac{ 2}{\alpha}} n</tex>. Тогда операция добавления работает за <tex>O(\log n)</tex>.
=== Алгоритм за O(1) ===
[[Файл:GlobalandLocalLabelstoConst.jpg|350px|thumb|right|y-fast-tree для меток.]]
Предыдущий алгоритм работает за логарифм из-за того, что слишком часто приходится делать перераспределение метокперераспределять метки. Используем <tex>\mathrm{y}{-}\mathrm{fast}{-}\mathrm{trie}</tex> (модифицированный цифровой бор), чтобы улучшить время работы операции добавления до <tex>O(1)</tex>.
У каждого элемента списка будет две метки: глобальная и локальная. Глобальная задает блок, локальная {{---}} положение элемента внутри блока. Описание взаимодействия с метками:
* <b>локальные метки</b> внутри каждого блока будут присвоены каждому элементу от <tex>0</tex> до <tex>2^{2u-1}</tex> будут жадноприсвоены. Стоит заметить, что внутри блока никогда не будет проблемы, что кому-то не хватит метки или придется сделать перераспределение меток, так как, если каждый раз в качестве метки брать среднее значение, то для того, чтобы был конфликт из-за меток, нужно больше, чем <tex>2u</tex> ключей (противоречит условию);
* <b>глобальные метки</b> будут организованы в структуру, использовавшуюся в реализации операции за логарифмическое время. Глобальные метки для блоков придется менять, когда один из блоков переполнился. Тогда блок будет разделен на два, метка второму будет присвоена методом, описанным выше (поднимемся до первого непереполненного). Каждый блок будет иметь <tex>u</tex> занятых меток. Аналогично, когда в каком-то блок становится слишком мало ключей, он будет слит с соседним.
Внутри блоков присваиваются ключи за <tex>O(1)</tex>, а, аналогичный приведенному выше анализ показывает, что, чтобы потребовалось перераспределение к перераспределению глобальных меток, требуется приводит<tex>\Omega(u)</tex> изменений локальных меток. За эти изменения будет накоплено <tex>O(u)</tex> монет для изменения глобальных меток, тогда операция добавления работает за константное время.
== Использование памяти ==
Выбор <tex>\alpha</tex> сильно влияет на реализацию структуры, так как <tex>u</tex> зависит от выбранной <tex>\alpha</tex>. Увеличивая С увеличением <tex>\alpha</tex>, уменьшается стоимость операции добавления (количество монет, которые надо брать: <tex>\dfrac{2}{\alpha-1}</tex>), но увеличивается <tex>u</tex>, значит, требуется больше памяти, а, уменьшая <tex>\alpha</tex>, возникает получаем выигрыш в памяти, но проигрыш во времени операции добавления. Так как для реализации структуры используется <tex>\mathrm{y}{-}\mathrm{fast}{-}\mathrm{trie}</tex>, требуется <tex>O(n)</tex> памяти.
== Послесловие ==
