m-сводимость

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Множество [math]A[/math] m-сводится ко множеству [math]B[/math], если существует всюду определённая вычислимая функция [math]f:A\rightarrow B[/math] со свойством [math]\forall{x}:x\in A\Leftrightarrow f(x)\in B[/math]. Обозначение: [math]A\le_{m}B[/math].


Определение:
[math]A[/math] m-эквивалентно [math]B[/math], если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B\le_{m}A[/math]. Обозначение: [math]A\equiv_{m}B[/math].

Свойства

  1. [math]A\le_{m}A[/math].
  2. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B[/math] разрешимо, то [math]A[/math] разрешимо.
  3. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B[/math] перечислимо, то [math]A[/math] перечислимо.
  4. Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]B\le_{m}C[/math], то [math]A\le_{m}C[/math].
  5. Если [math]A\le_{m}B[/math], то [math]\overline{A}\le_{m}\overline{B}[/math].


Теорема:
Если [math]A\le_{m}B[/math] и [math]A[/math] неразрешимо, то [math]B[/math] неразрешимо.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Если [math]B[/math] неразрешимо, то для любого разрешимого [math]X: X\ne B[/math]. Пусть мы хотим найти точку, в которой [math]X[/math] отличается от [math]B[/math]. Рассмотрим [math]f[/math] которая m-сводит [math]A[/math] к [math]B[/math]. [math]f^{-1}(X)[/math] будет разрешимым, как прообраз разрешимого множества. Поэтому можно найти точку [math]x[/math], в которой [math]X[/math] отличается от [math]A[/math]. Тогда [math]B[/math] будет отличаться от [math]X[/math] в точке [math]f(x)[/math].

Покажем, как вычислить номер [math]f^{-1}(X)[/math] по номеру [math]X[/math]. Рассмотрим множество [math]V=\{(x,y)|(x,f(y))\in W\}[/math], где [math]W[/math]главная нумерация. Оно перечислимо, поскольку является прообразом перечислимого [math]W[/math] при вычислимом отображении [math](x,y)\rightarrow(x,f(y))[/math]. [math]V_n=f^{-1}(W_n)[/math]. По свойству главной нумерации, существует всюду определенная вычислимая функция [math]g[/math], для которой [math]\forall n:W_{g(n)}=V_n=f^{-1}(W_n)[/math], то есть [math]g[/math] даёт [math]W[/math]—номер его прообраза при отображении [math]f[/math], что и требовалось.
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  • Верещагин Н., Шень А.Вычислимые функции, 2-е изд. МЦНМО, 2002. ISBN 5-900916-36-7
  • P. OdifreddiClassical recursion theory. Elsivier, 1992. ISBN 0-444-87295-7