Редактирование: Meet-in-the-middle

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 16: Строка 16:
 
=== Реализация ===
 
=== Реализация ===
 
   <font color=darkgreen>// sum — массив сумм a + b, cnt — счетчик массива sum</font>
 
   <font color=darkgreen>// sum — массив сумм a + b, cnt — счетчик массива sum</font>
   '''function''' findsum('''int['''N''']''' A): String
+
   '''function''' findsum('''int[]''' A): String
 
     '''for''' a = 0..N - 1
 
     '''for''' a = 0..N - 1
 
       '''for''' b = 0..N - 1
 
       '''for''' b = 0..N - 1
Строка 42: Строка 42:
  
 
=== Реализация ===
 
=== Реализация ===
   <font color=darkgreen>// N — количество всех вещей, w[N] — массив весов всех вещей, cost[N] — массив стоимостей всех вещей, R — ограничение по весу рюкзака.</font>
+
   <font color=darkgreen>// N — количество всех вещей, w[] — массив весов всех вещей, cost[] — массив стоимостей всех вещей, R — ограничение по весу рюкзака.</font>
   '''function''' knapsack('''int['''N''']''' w, '''int['''N''']''' cost, '''int''' R): '''int'''
+
   '''function''' knapsack('''int[]''' w, '''int[]''' cost, '''int''' R): '''int'''
 +
    '''int''' N = w.length()
 
     sn = N / 2
 
     sn = N / 2
 
     fn = N - sn
 
     fn = N - sn
Строка 76: Строка 77:
 
Наивное решение — перебор всех возможных подграфов и проверка для каждого, что он является кликой, сложность — <tex>O(2^N \times N^2)</tex>
 
Наивное решение — перебор всех возможных подграфов и проверка для каждого, что он является кликой, сложность — <tex>O(2^N \times N^2)</tex>
  
Этот алгоритм можно улучшить до <tex>O(2^N \times N)</tex>. Для этого нужно в функции перебора хранить маску вершин, которые мы ещё можем добавить. Поддерживая эту маску, можно добавлять только «нужные» вершины, и тогда не нужно будет в конце проверять подграф на то что он — клика. Добавлять вершину можно за <tex>O(1)</tex>, используя [[Побитовые_операции#Побитовое И | побитовое И]] текущей маски и строчки матрицы смежности добавляемой вершины.
+
Этот алгоритм можно улучшить до <tex>O(2^N \times N)</tex>. Для этого нужно в функции перебора хранить маску вершин, которые мы ещё можем добавить. Поддерживая эту маску, можно добавлять только «нужные» вершины, и тогда не нужно будет в конце проверять подграф на то что он — клика. Добавлять вершину можно за <tex>O(1)</tex>, используя побитовое «и» текущей маски и строчки матрицы смежности добавляемой вершины.
  
 
===Алгоритм решения===
 
===Алгоритм решения===
Разбиваем граф <tex>G</tex> на <tex>2</tex> графа <tex>{G}_1</tex> и <tex>{G}_2</tex> по <tex>\dfrac{N}{2}</tex> вершин. Находим за <tex>O(2^{\frac{N}{2}})</tex> все клики в каждом из них.
+
Разбиваем граф <tex>G</tex> на <tex>2</tex> графа <tex>{G}_1</tex> и <tex>{G}_2</tex> по <tex>N/2</tex> вершин. Находим за <tex>O(2^{\frac{N}{2}})</tex> все клики в каждом из них.
  
 
Теперь надо узнать для каждой клики графа <tex>{G}_1</tex> количество клик графа <tex>{G}_2</tex>, таких, что их объединение — клика. Их сумма и есть итоговый ответ.
 
Теперь надо узнать для каждой клики графа <tex>{G}_1</tex> количество клик графа <tex>{G}_2</tex>, таких, что их объединение — клика. Их сумма и есть итоговый ответ.
  
Для одной клики <tex>K</tex> графа <tex>{G}_1</tex> может быть несколько подходящих клик в <tex>{G}_2</tex>. О клике <tex>K</tex> мы ''"знаем"'' только маску вершин графа <tex>{G}_2</tex>, которые ещё можно добавить. Для каждой такой маски в <tex>{G}_2</tex> нужно предподсчитать ответ.  
+
Для одной клики <tex>K</tex> графа <tex>{G}_1</tex> может быть несколько подходящих клик в <tex>{G}_2</tex>. О клике <tex>K</tex> мы "знаем" только маску вершин графа <tex>{G}_2</tex>, которые ещё можно добавить. Для каждой такой маски в <tex>{G}_2</tex> нужно предподсчитать ответ.  
 
С помощью динамического программирования предподсчитаем для каждой маски вершин графа <tex>{G}_2</tex> количество клик, вершины которых являются подмножеством выбранной маски. Количество состояний — <tex>2^{\frac{N}{2}}</tex>. Количество переходов:<tex>N</tex> . Асимптотика — <tex>O(2^{\frac{N}{2}} \times N)</tex>.
 
С помощью динамического программирования предподсчитаем для каждой маски вершин графа <tex>{G}_2</tex> количество клик, вершины которых являются подмножеством выбранной маски. Количество состояний — <tex>2^{\frac{N}{2}}</tex>. Количество переходов:<tex>N</tex> . Асимптотика — <tex>O(2^{\frac{N}{2}} \times N)</tex>.
  
Для каждой клики <tex>K</tex> (в том числе и пустой) графа <tex>{G}_1</tex> прибавим к глобальному ответу предподсчитанное количество клик, которые можно добавить к <tex>K</tex> (в том числе и пустых). Асимптотика: <tex>O(2^{\frac{N}{2}})</tex>.
+
Для каждой клики <tex>K</tex> (в том числе и пустой) графа <tex>{G}_1</tex> прибавим к глобальному ответу предподсчитанное количество клик, которые можно добавить к <tex>K</tex> (В том числе и пустых). Асимптотика: <tex>O(2^{\frac{N}{2}})</tex>.
  
 
Итоговая сложность: <tex>O(2^{\frac{N}{2}} \times N)</tex>
 
Итоговая сложность: <tex>O(2^{\frac{N}{2}} \times N)</tex>
Строка 96: Строка 97:
 
=== Алгоритм решения ===  
 
=== Алгоритм решения ===  
  
1. Сгенерируем '''BFS'''-ом все состояния, доступные из начала и конца за <tex> {\dfrac{N}{2}} </tex> или меньше ходов.
+
1. Сгенерируем '''BFS'''-ом все состояния, доступные из начала и конца за <tex> {N/2} </tex> или меньше ходов.
  
 
2. Найдем состояния, которые достижимы из начала и из конца.
 
2. Найдем состояния, которые достижимы из начала и из конца.

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: