Содержимое страницы заменено на «Страница находится в разработке»
{{Определение|definition='''Meet-in-the-middle''' (Встреча Страница находится в середине) — способ оптимизации перебора. }}Алгоритм Meet-in-the-middle разбивает задачу пополам и решает всю задачу через частичный расчет половинок.== Задача о рюкзаке ==Классической задачей является задача о наиболее эффективной упаковке рюкзака. Каждый предмет характеризуется весом (<tex> {w_{i} <= 10^{9}} </tex> ) и ценностью (<tex>{cost_{i} <= 10^{9}} </tex>). В рюкзак, ограниченный по весу, необходимо набрать вещей с максимальной суммарной стоимостью. Для ее решения изначальное множество вещей N разбивается на два равных(или примерно равных) подмножества, для которых за приемлемое время, можно перебрать все варианты и подсчитать суммарный вес и стоимость, а затем для каждого из них найти группу вещей из первого подмножества с максимальной стоимостью, укладывающуюся в ограничение по весу рюкзака. Сложность алгоритма <tex>O({2^{n/2}}\times{n})</tex>. Память <tex> O({2^{n/2}})</tex>=== Реализация ===Реализуем данный алгоритм: // N - количество всех вещей, w[] - массив весов всех вещей, cost[] - массив стоимостей всех вещей, R - ограничение по весу рюкзака. sn = N / 2, fn = N - sn; for mask = 0 to 2 ** sn - 1 for j = 0 to sn if j-ый бит mask = 1 first[i].w += w[j]; first[i].c += cost[j]; for mask = 0 to 2 ** fn - 1 for j = 0 to fn if j-ый бит mask = 1 curw += w[j + sn]; curcost += cost[j + sn]; p = findmax(); // Находим маску вещей из первой половины с макcимальной стоимостью и подходящей по весу if (curw + first[p].w <= R && curcost + first[p].c > ans) ans = curcost + first[p].c; print ans== Задача о нахождении кратчайшего расстояния между двумя вершинами в графе ==[[Файл:bfs.png|600px|thumb|right|Нахождение кратчайшего расстояния между двумя вершинами]]Еще одна задача, решаемая алгоритмом Meet-in-the-middle — это нахождение кратчайшего расстояния между двумя вершинами, зная начальное состояние, конечное состояние и то, что длина оптимального пути не превышает '''N'''.Стандартным подходом для решения данной задачи, является применение алгоритма [[Обход в ширину|обхода в ширину]]. Пусть из каждого состояния у нас есть '''K''' переходов, тогда бы мы сгенерировали <tex> {K^{n}} </tex> состояний. Асимптотика данного решения составила бы <tex> {O({K^{n}})} </tex>. '''Meet-in-the-middle''' помогает снизить асимптотику до <tex> {O({K^{n/2}})} </tex>. <br>=== Алгоритм решения === 1. Сгенерируем bfs-ом все состояния, доступные из начала и конца за <tex> {n/2} </tex> или меньше ходов.2. Найдем состояний, которые достижимы из начала и из конца.3. Найдем среди них наилучшее по сумме длин путей. Таким образом, bfs-ом из двух концов, мы сгенерируем максимум <tex> {O({K^{n/2}})} </tex> состояний.== См. также ==* [[Обход в ширину]][[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Динамическое программирование ]]разработке
