202
правки
Изменения
Нет описания правки
==Доказательство== Для того, чтобы доказать <tex>[[Понятие_NP-трудной_и_NP-полной_задачи|NP</tex>-полноту ]] задачи, необходимо установить следующие факты:
# <tex> 3SAT \in NP </tex>.
# <tex> 3SAT \in NPH </tex>;
===Доказательство принадлежности 3SAT классу NP===
Возьмем в качестве сертификата набор <tex>x_1 \ldots x_{n}</tex>, где <tex>x_i \in \{0,1\}</tex>.
Верификатор подставляет <tex>x_1 \ldots x_n</tex> в формулу и проверяет её на равенство единице.
Время работы верификатора и длина сертификата, очевидно, полиномиальны. Итак, <tex>3SAT \in NP</tex>.
Научимся приводить члены вида <tex>(x)</tex>, <tex>(x \vee y)</tex>, <tex>(x_1 \vee x_{2} \vee \ldots \vee x_{m})</tex> к нужному виду.
* <tex>(x \vee y)</tex> заменим на <tex>(x \vee y \vee z) \wedge (x \vee y \vee \neg z)</tex>. Ясно, что последняя формула выполнима тогда и только тогда, когда выполнима исходная, при любых <tex>z</tex>;
* <tex>(x)</tex> заменим на <tex>(x \vee y) \wedge (x \vee \neg y)</tex> - свели задачу к предыдущей;
* Если встречается дизъюнкт вида <tex>(x_1 \ldots x_k), k \ge 3</tex>, введем <tex>k-3</tex> новых переменных и заменим наш дизъюнкт на <tex>k-2</tex> дизъюнкта: <tex>(x_1 \vee x_2 \vee z_1) \wedge (x_3 \vee \neg z_1 \vee z_2) \wedge (x_4 \vee \neg z_2 \vee z_3) \wedge \ldots \wedge (x_{k-1} \vee x_k \vee \neg z_{k-3})</tex>. Покажем, что эта замена корректна.
Для этого, сделаем утверждение:
Если <tex>(x_{1}^* \ldots x_{k}^*)</tex> - набор значений <tex>x_i</tex>, удовлетворяющий дизъюнкт <tex>(x_1 \vee \ldots \vee x_k)</tex>, то существует такой набор значений <tex>z_{1}^* \ldots z_{k-3}^*</tex>, что каждый из <tex>k-2</tex> новых дизъюнктов также удовлетворен.
Действительно, среди значений <tex>(x_{1}^* \ldots x_{k}^*)</tex> хотя бы одно должно равняться <tex>true</tex>. Не умаляя общности, пусть для некоторого <tex>r: 1 \le r \le k, x_r = true</tex>. Тогда, пусть <tex>z_{s}^*=true</tex> для <tex>s \le r-2</tex> и <tex>z_{s}^*=false</tex> для <tex>s > r - 2</tex>. Тогда, все новые дизъюнкты также будут удовлетворены.
Наоборот, пусть все новые дизъюнкты удовлетворяются некоторым набором значений <tex>x_i</tex> и <tex>z_i</tex>. Покажем, что тогда хотя бы один из <tex>x_i</tex> должен равняться <tex>true</tex>.
Предположим, что это не так, и <tex>x_i = false, i = 1..k</tex>. Тогда, первые <tex>k-3</tex> дизъюнкта в <tex>3SAT</tex> удовлетворены только если <tex>z_i = true, i=1..k-3</tex>. Однако, если <tex>z_{k-3}=true</tex>, то последний дизъюнкт <tex>(x_{k-1} \vee x_k \vee \neg z_{k-3})</tex> не может быть удовлетворен. Пришли к противоречию, следовательно хотя бы один из <tex>x_i</tex> должен равняться <tex>true</tex>.
Таким образом, мы свели <tex>CNFSAT</tex> к <tex>3SAT</TEX>, следовательно <tex>3SAT \in NPH</tex>. Теорема доказана.
[[Категория:NP]]
