Изменения

Перейти к: навигация, поиск
Нет описания правки
==Доказательство==
Для того, чтобы доказать <tex>[[Понятие_NP-трудной_и_NP-полной_задачи|NP</tex>-полноту ]] задачи, необходимо установить следующие факты:
# <tex> 3SAT \in NP </tex>.
# <tex> 3SAT \in NPH </tex>;
Покажем, что <tex>CNFSAT \le 3SAT</tex>, то есть <tex>CNFSAT</tex> [[Сведение_по_Куку|сводится по Куку]] к <tex>3SAT</tex>.
Рассмотрим один [[NP-полнота_задачи_о_выполнимости_булевой_формулы_в_форме_КНФ|дизъюнкт булевой формулы ]] в форме 3-КНФ. Он должен иметь вид <tex>(x \vee y \vee z)</tex>.
Научимся приводить члены вида <tex>(x)</tex>, <tex>(x \vee y)</tex>, <tex>(x_1 \vee x_{2} \vee \ldots \vee x_{m})</tex> к нужному виду.
* <tex>(x \vee y)</tex> заменим на <tex>(x \vee y \vee z) \wedge (x \vee y \vee \neg z)</tex>. Ясно, что последняя формула выполнима тогда и только тогда, когда выполнима исходная, при любых <tex>z</tex>;
* <tex>(x)</tex> заменим на <tex>(x \vee y) \wedge (x \vee \neg y)</tex> - свели задачу к предыдущей;
* Если встречается скобка дизъюнкт вида <tex>(x_1 \ldots x_k), k \ge 3</tex>, введем <tex>k-3</tex> новых переменных и заменим нашу скобку наш дизъюнкт на <tex>k-2</tex> скобкидизъюнкта: <tex>(x_1 \vee x_2 \vee z_1) \wedge (x_3 \vee \neg z_1 \vee z_2) \wedge (x_4 \vee \neg z_2 \vee z_3) \wedge \ldots \wedge (x_{k-1} \vee x_k \vee \neg z_{k-3})</tex>. Покажем, что эта замена корректна. Для этого, сделаем утверждение: Если <tex>(x_{1}^* \ldots x_{k}^*)</tex> - набор значений <tex>x_i</tex>, удовлетворяющий дизъюнкт <tex>(x_1 \vee \ldots \vee x_k)</tex>, то существует такой набор значений <tex>z_{1}^* \ldots z_{k-3}^*</tex>, что каждый из <tex>k-2</tex> новых дизъюнктов также удовлетворен. Действительно, среди значений <tex>(x_{1}^* \ldots x_{k}^*)</tex> хотя бы одно должно равняться <tex>true</tex>. Не умаляя общности, пусть для некоторого <tex>r: 1 \le r \le k, x_r = true</tex>. Тогда, пусть <tex>z_{s}^*=true</tex> для <tex>s \le r-2</tex> и <tex>z_{s}^*=false</tex> для <tex>s > r - 2</tex>. Тогда, все новые дизъюнкты также будут удовлетворены. Наоборот, пусть все новые дизъюнкты удовлетворяются некоторым набором значений <tex>x_i</tex> и <tex>z_i</tex>. Покажем, что тогда хотя бы один из <tex>x_i</tex> должен равняться <tex>true</tex>. Предположим, что это не так, и <tex>x_i = false, i = 1..k</tex>. Тогда, первые <tex>k-3</tex> дизъюнкта в <tex>3SAT</tex> удовлетворены только если <tex>z_i = true, i=1..k-3</tex>. Однако, если <tex>z_{k-3}=true</tex>, то последний дизъюнкт <tex>(x_{k-1} \vee x_k \vee \neg z_{k-3})</tex> не может быть удовлетворен. Пришли к противоречию, следовательно хотя бы один из <tex>x_i</tex> должен равняться <tex>true</tex>.
Таким образом, мы свели <tex>CNFSAT</tex> к <tex>3SAT</TEX>, следовательно <tex>3SAT \in NPH</tex>. Теорема доказана.
 
[[Категория:NP]]
202
правки

Навигация