Изменения

Языком IND называют множество пар <tex>\langle G,k \rangle</tex>, где <math>G</math> - неориентированный граф, <math>k</math> - натуральное число. Слово принадлежит языку IND, если ли граф <math>G</math> содержит подграф <math>H</math> размером <math>k</math>, никакая пара вершин в котором не соединена ребром. Задача о независимом множестве является [[Понятие NP-трудной и NP-полной задачи|NP-полной]].

Для доказательства этого [[Сведение по Карпу|сведем по Карпу ]] задачу <math>3-SAT3SAT</math> к нашей:

<math>3-SAT 3SAT \le_{k} IND</math>

Пусть задана булева формула в <math>3-SAT3SAT</math>, в которой <math>k</math> скобок. Построим для нее неё соответствующий граф. Для каждой скобки нарисуем три вершины, соединим их попарно ребрами рёбрами и подпишем их именами соответствующих переменных. При этом если переменная входит в формулу с отрицанием, отобразим это в графелитералов. Так же соединим ребрами рёбрами пары вершин вида <math>x,\overline{neg x}</math>.

<math>(\overline{neg x}\lor y\lor z)\land (x \lor y \lor \overline{neg z}) \to</math>[[Файл:IND_GRAPH.png]]

Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из <math>k</math> вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы одна переменнаяодин литерал, принимающая принимающий значение “правда” (учитываем отрицание, если оно есть)“истина”. Выберем соответствующую переменную в качестве вершины ему вершину в графе. Полученное множество вершин является независимым, так как ребрами рёбрами соединены только те вершины, которые соответствуют переменным литералам из одной скобки(а мы выбирали только одну переменную один литерал из каждой скобки), а так же вершины вида <math>x,\overline{neg x}</math>, соответствующие переменные литералы которых не могут одновременно принимать значение “правда”“истина”. Пусть теперь в графе есть независимое множество, размера <math>k</math>. Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующей переменной “правда”(с учетом отрицания)соответствующего литерала “истина”. Это можно сделать, так как нет ребер рёбер между вершинами вида <math>x,\overline{neg x}</math>. Тогда в каждой скобке, будет хотя бы одна переменнаяодин литерал, имеющая имеющий значение “правда”“истина”, значит вся формула будет принимать значение “правда”“истина”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время.