Изменения

Даны граф <mathtex> G = <\langle V, E> \rangle </mathtex> и число <mathtex> k </mathtex>. Нужно Необходимо проверить, правда ли, что можно раскрасить вершины графа в <mathtex> k </mathtex> цветов так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, имели разные цвета.

Сформулированная выше задача [[NP-полнота|NP-полна]].

Сертификатом для решения данной задачи будет последовательность <mathtex> \{c_i\}_ {i=1}^{n}</mathtex>, где <mathtex> n = |V| </mathtex>, а <mathtex> c_i </mathtex> обозначает цвет <tex>i</tex>-ой вершины. Проверку корректности такого сертификата легко осуществить за полиномиальное время, например, перебором всех пар вершин и проверкой того, что в случае, когда они соединены ребром, они имеют разные цвета, лежащие на отрезке <mathtex> [1, k] </mathtex>. С другой стороны, очевидно, что если задача имеет решение, то такой сертификат существует.

[[Файл:3cnfsat.png|thumb|350px|Граф, построенный по формуле <tex refresh dpi=100> (x_1 \lor \lnot x_2 \lor \lnot x_3) \land (\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_3) \land (\lnot x_1 \lor \lnot x_2 \lor x_3)</tex>]]Сведем задачу [[3CNFSAT ]] к данной.<br/>Пусть дана формула <mathtex> \varphi = (a_1 \lor b_1 \lor c_1) \land (a_2 \lor b_2 \lor c_2) \land ... \land (a_m \lor b_m \lor c_m) </mathtex>, где <mathtex>a_i</mathtex>, <mathtex>b_i</mathtex> и <mathtex>c_i</mathtex> - &mdash; переменные или их отрицания (возможно, с повторениями). Сами переменные будем обозначать <mathtex> \{x_i\}_{i=1}^n </mathtex>.<br/> Заметим следующие тривиальные факты, которые будут использованы при построении графа:# Ровно одно выражение из <tex> \{x_i, \lnot {x_i}\} </tex> истинно;# <tex> \varphi \in 3CNFSAT </tex> тогда и только тогда, когда существует набор, обращающий каждую скобку в истину.Построим множества V и E будущего графа следующим образом:* <tex> V = \{c_i\}_{i=0}^n </tex>;* <tex> E = \{\langle c_i, c_j \rangle \}_{i,j=0, i \ne j}^n </tex>.Будем интерпретировать <tex> c_i </tex> как цвет (соотвественно, вершина <tex> c_i </tex> всегда покрашена в цвет <tex> c_i </tex>), причем <tex>c_0</tex> &mdash; цвет, обозначающий истину, а все остальные цвета означают ложь).* Для всех <tex> i \in \{1 .. n\} </tex> добавим в V вершины <tex> v_i, \tilde{v_i} </tex>, отвечающие <tex> x_i </tex> и <tex> \lnot {x_i} </tex> соответственно, и соединим каждую такую пару ребром;* Каждую вершину из <tex> \{v_i, \tilde{v_i}\} </tex> соединим рёбрами со всеми <tex>c_j </tex>, кроме <tex> c_0 </tex> и <tex> c_i </tex>.Этим мы обеспечили выполнение первого условия из приведённых выше, так как теперь ровно одна вершина из <tex> \{v_i, \tilde{v_i}\} </tex> окрашена в цвет <tex> c_0 </tex>, а другая &mdash; в цвет <tex> c_i </tex>. <br/>Осталось сделать так, чтобы возможность сделать истинной каждую скобку соответствовала необходимости покрасить хотя бы одну из вершин, соответствующих переменным в ней, в цвет <tex> c_0 </tex>.* Для этого для каждой скобки вида <tex> ([\lnot]x_i \lor [\lnot] x_j \lor [\lnot] x_k)_l </tex> добавим вершину <tex> d_l </tex>, соединив её с соответствующими <tex> v_i (\tilde{v_i}), v_j(\tilde{v_j}), v_k(\tilde{v_k}) </tex>, а также со всеми <tex> c_i </tex>, кроме <tex> c_i, c_j, c_k </tex>. Тем самым, <tex> d_l </tex> «не даёт» покрасить все три вершины, отвечающие термам в скобке, в «ложный» цвет (напомним, что все цвета, кроме <tex> c_0 </tex>, мы условились называть «ложными»).<br/>==== Доказательство корректности сведения ====Покажем теперь, что такой граф будет <tex>(n+1)</tex>-раскрашиваемым тогда и только тогда, когда исходная формула принадлежит <tex> 3CNFSAT </tex>.# <tex> \Rightarrow </tex>. Из построения ясно, что можно покрасить вершины полученного графа, соответствующие истинным термам набора, обращающего формулу в истину, в цвет <tex>c_0</tex>, а вершины, соответствующие ложным термам, &mdash; в соответствующие "ложные" цвета.# <tex> \Leftarrow </tex>. Построим по раскраске графа набор переменных <tex> \{x_i\}_{i=1}^n </tex>, в котором <tex> x_i </tex> истинно тогда и только тогда, когда <tex> v_i </tex> покрашена в цвет <tex> c_0 </tex>. Этот набор непротиворечив (мы не попытались одну и ту же переменную сделать и истинной, и ложной одновременно). Он также обращает формулу в истинную, так как по постронию в каждой скобке есть хотя бы один истинный терм.