NP-полнота задачи BH1N — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «==Определение языка BH_{1N}== Языком <tex>BH_{1N}</tex>(от англ. bounded halting unary) называется множество трое…»)
 
 
(не показано 30 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
==Определение языка BH_{1N}==  
+
==Определение языка BH<sub>1N</sub>==  
Языком <tex>BH_{1N}</tex>(от англ. bounded halting unary) называется множество троек, где <tex>m</tex> - недетерминированная машина Тьюринга, <tex>x</tex> - входные данные и <tex>t</tex> - времея в унарной системе счисления, таких, что <tex>m(x)=1</tex> и время работы машины <tex>m</tex> на входе <tex>x</tex> <tex>T(m, x)\le t</tex>.
+
Языком '''BH<sub>1N</sub>''' (от англ. bounded halting unary) называется множество троек <tex>\langle m, x, 1^{t} \rangle</tex>, где <tex>m</tex> - недетерминированная машина Тьюринга (НМТ), <tex>x</tex> - входные данные и <tex>t</tex> - время в унарной системе счисления, таких, что <tex>m(x)=1</tex> и время работы машины <tex>m</tex> на входе <tex>x</tex> <tex>T(m, x)\le t</tex>:
<tex>BH_{1N} = {\langle m, x, 1^{t} \rangle | m </tex> - недетерменированная машина Тьюринга, <tex>m(x)=1, T(m, x)\le t}</tex>.
+
 
Так же существуют языки <tex>BH_{1D}</tex>, <tex>BH_{2N}</tex>, <tex>BH_{2D}</tex>, отличающиеся от <tex>BH_{1N}</tex> только детерменированностью машин Тьюринга (<tex>D</tex> - детерменированная, <tex>N</tex> - недетерменированная) или системой счисления, в которой представляется время (1 - унарная, 2 - бинарная).
+
'''BH<sub>1N</sub>''' = <tex>\{ \langle m, x, 1^{t} \rangle | m </tex> &mdash; НМТ, <tex> m(x)=1, T(m, x)\le t \}</tex>.
 +
 
 +
Также можно рассматривать языки '''BH<sub>1D</sub>''', '''BH<sub>2N</sub>''', '''BH<sub>2D</sub>''', отличающиеся от '''BH<sub>1N</sub>''' только детерминированностью машин Тьюринга (D - детерминированная, N - недетерминированная) или системой счисления, в которой представляется время (1 - унарная, 2 - бинарная).
 +
 
 
==Теорема==  
 
==Теорема==  
Язык <tex>BH_{1N}</tex> принадлежит классу <tex>NP</tex>-полных задач: <tex>BH_{1N}\in NPC</tex>.
+
Язык '''BH<sub>1N</sub>''' является '''NP'''-полным: '''BH<sub>1N</sub>''' ∈ '''NPC'''.
 +
 
 
==Доказательство==  
 
==Доказательство==  
Для начала докажем, что <tex>BH_{1N}</tex> принадлежит классу <tex>NP</tex>.
+
Для того, чтобы доказать [[Понятие_NP-трудной_и_NP-полной_задачи|'''NP'''-полноту]] '''BH<sub>1N</sub>''' необходимо установить следующие факты:
За время <tex>t</tex> машина Тьюринга может сделать не более <tex>t</tex> недетерминированных выборов. Сертификатом будет множество этих выборов. Проверяющая сертификаты программа <tex>R(\langle m, x, 1^{t}\rangle, y)</tex> эмулирует  работу недетерминированной машины Тьюринга <tex>m</tex> на слове <tex>x</tex>. Там, где у машины <tex>m</tex> было несколько выборов, она совершает действие согласно сертификату. При этом проверяется корректность всех действий и замеряется время работы <tex>m</tex>. Сертификатом выбираем недетерминированные выборы <tex>m</tex>. Длина сертификата по длине меньше, чем <tex>c*t^{2}</tex>. Проверяющая программа может проэмулировать <tex>m</tex>, затратив полиномиальное количество времени.
+
# '''BH<sub>1N</sub>''' ∈ '''NP''';
Если НМТ (Недетерминированная машина Тьюринга) <tex>m</tex> допускает слово <tex>x</tex> за время <tex>t</tex>, то существует последовательность действий, которые совершает машина <tex>m</tex>, среди которых могут быть и недетерминированные. Следовательно, существует сертификат <tex>y</tex>. Если же слово не допускается или допускается, но за время, большее <tex>t</tex>, то любая последовательность действий не ведет к допуску слова, а значит нет и последовательности недетерминированных выборов, которые могла бы сделать машина <tex>m</tex>.
+
# '''BH<sub>1N</sub>''' ∈ '''NPH'''.
Все условия принадлежности классу <tex>NP</tex> выполнены. Что и требовалось доказать.
+
 
Теперь докажем, что <tex>BH_{1N}</tex> принадлежит классу <tex>NPH</tex>.
+
===Доказательство принадлежности BH<sub>1N</sub> классу NP===
Рассмотрим произвольный язык <tex>L</tex> из класса <tex>NP</tex>. Для него существует машина Тьюринга <tex>m</tex>, такая что <tex>T(m, x)\le p(|x|), L(m) = L</tex>.
+
Будем использовать в качестве сертификата <tex>y</tex> последовательность недетерминированных выборов, которые должна сделать машина <tex>m</tex>, чтобы допустить слово <tex>x</tex>. Длина сертификата меньше, чем <tex>Ct</tex> для некоторого <tex>C</tex>.  
Докажем, что <tex>L</tex> сводится по Карпу к <tex>ВH_{1N}</tex>. Рассмотрим функцию <tex>f(x) = \langle m, x, 1^{p|x|)}\rangle</tex> по входным данным возвращающей тройку из машины Тьюринга, попадающую под описанные выше условия, входных данных и времени <tex>p(|x|)</tex> в унарной системе счисления. Эта функция существует, она своя для каждого языка. Проверим, что x \in L \Leftrightarrow f(x) \in BH_{1N}.
+
 
Пусть <tex>x \in L</tex>. Тогда <tex>m(x) = 1</tex>. Время работы <tex>m</tex> не больше <tex>p(|x|)</tex>, а значит слово <tex>x</tex> будет допущено машиной <tex>m</tex> за время не больше, чем <tex>p(|x|)</tex>. А тогда тройка <tex>\langle m,x, 1^{p(|x|)}\rangle = f(x)</tex> будет входить в <tex>BH_{1N}</tex> согласно его определению. , так как <tex>T(m, x)\le p(|x|)</tex> значит для какого-то <tex>t: T(m, x)\le t</tex>.
+
Для проверки сертификата используется программа <tex>R(\langle m, x, 1^{t}\rangle, y)</tex>, эмулирующая работу недетерминированной машины Тьюринга <tex>m</tex> на слове <tex>x</tex>. Там, где у машины <tex>m</tex> было несколько выборов, <tex>R</tex> совершает действие согласно сертификату. При этом замеряется время работы машины <tex>t</tex>. Проверяющая программа может проэмулировать <tex>m</tex>, затратив полиномиальное количество времени.
Пусть <tex>x \not\in L</tex>. Тогда <tex>m(x) = 0</tex>. Но тогда тройка <tex>\langle m, x, 1^{t}\rangle</tex> не принадлежит <tex>BH_{1N}</tex> при любом <tex>t</tex>, а значит и при <tex>t = p(|x|)</tex>.
+
 
Значит произвольный язык из класса <tex>NP</tex> сводится по Карпу к <tex>BH_{1N}</tex>, и <tex>BH_{1N}</tex> принадлежит <tex>NPC</tex>, что и требовалось доказать.
+
Если НМТ <tex>m</tex> допускает слово <tex>x</tex> за время <tex>t</tex>, то существует последовательность действий, которые совершает машина <tex>m</tex>, среди которых могут быть и недетерминированные. Следовательно, существует сертификат <tex>y</tex>. Если же слово не допускается или допускается, но за время, большее <tex>t</tex>, то любая последовательность действий не ведет к допуску слова, а значит нет и последовательности недетерминированных выборов, которые могла бы сделать машина <tex>m</tex>.
 +
 
 +
Все условия принадлежности классу '''NP''' выполнены.
 +
 
 +
===Доказательство принадлежности BH<sub>1N</sub> классу NPH===
 +
Теперь докажем, что '''BH<sub>1N</sub>''' принадлежит классу '''NPH'''.
 +
Рассмотрим произвольный язык <tex>L</tex> из класса '''NP'''. Для него существует машина Тьюринга <tex>m</tex>, такая что <tex>T(m, x)\le p(|x|), L(m) = L</tex>.
 +
Докажем, что <tex>L</tex> сводится по Карпу к '''BH<sub>1N</sub>'''. Рассмотрим функцию <tex>f(x) = \langle m, x, 1^{p(|x|)}\rangle</tex> по входным данным возвращающую тройку из машины Тьюринга, попадающую под описанные выше условия, входных данных и времени <tex>p(|x|)</tex> в унарной системе счисления. Эта функция существует, она своя для каждого языка. Проверим, что <tex>x \in L \Leftrightarrow f(x)</tex> ∈ '''BH<sub>1N</sub>'''.
 +
 
 +
Пусть <tex>x \in L</tex>. Тогда <tex>m(x) = 1</tex>. Время работы <tex>m</tex> не больше <tex>p(|x|)</tex>, а значит слово <tex>x</tex> будет допущено машиной <tex>m</tex> за время не больше, чем <tex>p(|x|)</tex>. А тогда тройка <tex>\langle m,x, 1^{p(|x|)}\rangle = f(x)</tex> будет входить в '''BH<sub>1N</sub>''' согласно его определению.
 +
Пусть <tex>x \not\in L</tex>. Тогда <tex>m(x) = 0</tex>. Но тогда тройка <tex>\langle m, x, 1^{t}\rangle</tex> не принадлежит '''BH<sub>1N</sub>''' при любом <tex>t</tex>, а значит и при <tex>t = p(|x|)</tex>.
 +
 
 +
Значит произвольный язык из класса '''NP''' сводится по Карпу к '''BH<sub>1N</sub>''', то есть '''BH<sub>1N</sub>''' ∈ '''NPC'''. Что и требовалось доказать.
 +
 
 +
[[Категория:NP]]

Текущая версия на 00:54, 11 октября 2019

Определение языка BH1N[править]

Языком BH1N (от англ. bounded halting unary) называется множество троек [math]\langle m, x, 1^{t} \rangle[/math], где [math]m[/math] - недетерминированная машина Тьюринга (НМТ), [math]x[/math] - входные данные и [math]t[/math] - время в унарной системе счисления, таких, что [math]m(x)=1[/math] и время работы машины [math]m[/math] на входе [math]x[/math] [math]T(m, x)\le t[/math]:

BH1N = [math]\{ \langle m, x, 1^{t} \rangle | m [/math] — НМТ, [math] m(x)=1, T(m, x)\le t \}[/math].

Также можно рассматривать языки BH1D, BH2N, BH2D, отличающиеся от BH1N только детерминированностью машин Тьюринга (D - детерминированная, N - недетерминированная) или системой счисления, в которой представляется время (1 - унарная, 2 - бинарная).

Теорема[править]

Язык BH1N является NP-полным: BH1NNPC.

Доказательство[править]

Для того, чтобы доказать NP-полноту BH1N необходимо установить следующие факты:

  1. BH1NNP;
  2. BH1NNPH.

Доказательство принадлежности BH1N классу NP[править]

Будем использовать в качестве сертификата [math]y[/math] последовательность недетерминированных выборов, которые должна сделать машина [math]m[/math], чтобы допустить слово [math]x[/math]. Длина сертификата меньше, чем [math]Ct[/math] для некоторого [math]C[/math].

Для проверки сертификата используется программа [math]R(\langle m, x, 1^{t}\rangle, y)[/math], эмулирующая работу недетерминированной машины Тьюринга [math]m[/math] на слове [math]x[/math]. Там, где у машины [math]m[/math] было несколько выборов, [math]R[/math] совершает действие согласно сертификату. При этом замеряется время работы машины [math]t[/math]. Проверяющая программа может проэмулировать [math]m[/math], затратив полиномиальное количество времени.

Если НМТ [math]m[/math] допускает слово [math]x[/math] за время [math]t[/math], то существует последовательность действий, которые совершает машина [math]m[/math], среди которых могут быть и недетерминированные. Следовательно, существует сертификат [math]y[/math]. Если же слово не допускается или допускается, но за время, большее [math]t[/math], то любая последовательность действий не ведет к допуску слова, а значит нет и последовательности недетерминированных выборов, которые могла бы сделать машина [math]m[/math].

Все условия принадлежности классу NP выполнены.

Доказательство принадлежности BH1N классу NPH[править]

Теперь докажем, что BH1N принадлежит классу NPH. Рассмотрим произвольный язык [math]L[/math] из класса NP. Для него существует машина Тьюринга [math]m[/math], такая что [math]T(m, x)\le p(|x|), L(m) = L[/math]. Докажем, что [math]L[/math] сводится по Карпу к BH1N. Рассмотрим функцию [math]f(x) = \langle m, x, 1^{p(|x|)}\rangle[/math] по входным данным возвращающую тройку из машины Тьюринга, попадающую под описанные выше условия, входных данных и времени [math]p(|x|)[/math] в унарной системе счисления. Эта функция существует, она своя для каждого языка. Проверим, что [math]x \in L \Leftrightarrow f(x)[/math]BH1N.

Пусть [math]x \in L[/math]. Тогда [math]m(x) = 1[/math]. Время работы [math]m[/math] не больше [math]p(|x|)[/math], а значит слово [math]x[/math] будет допущено машиной [math]m[/math] за время не больше, чем [math]p(|x|)[/math]. А тогда тройка [math]\langle m,x, 1^{p(|x|)}\rangle = f(x)[/math] будет входить в BH1N согласно его определению. Пусть [math]x \not\in L[/math]. Тогда [math]m(x) = 0[/math]. Но тогда тройка [math]\langle m, x, 1^{t}\rangle[/math] не принадлежит BH1N при любом [math]t[/math], а значит и при [math]t = p(|x|)[/math].

Значит произвольный язык из класса NP сводится по Карпу к BH1N, то есть BH1NNPC. Что и требовалось доказать.