NP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в графах — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Доказательство принадлежности к NPH)
Строка 1: Строка 1:
==Определения==
+
{{Определение
===Определение 1===
+
|definition = '''(Ориентированным) гамильтоновым путем''' в (ориентированном) графе <math>G</math> называется упорядочение всех узлов <math>n_{1}</math>, <math>n_{2}</math>, ..., <math>n_{k}</math>, при котором для каждого <math>i = 1, 2, ..., k - 1</math> существует ребро из <math>n_{i}</math> в <math>n_{i+1}</math>.
'''Гамильтоновым путем''' в графе <math>G</math> называется упорядочение всех узлов <math>n_{1}</math>, <math>n_{2}</math>, ..., <math>n_{k}</math>, при котором для каждого <math>i = 1, 2, ..., k - 1</math> существует ребро из <math>n_{i}</math> в <math>n_{i+1}</math>.
+
}}
  
'''Ориентированным гамильтоновым путем''' называется то же самое для ориентированного графа (должна существовать дуга из <math>n_{i}</math> в <math>n_{i+1}</math>).
+
{{Определение
 +
|definition = '''(Ориентированным) гамильтоновым циклом''' в (ориентированном) графе <math>G</math> называется гамильтонов путь <math>n_{1}</math>, <math>n_{2}</math>, ..., <math>n_{k}</math> такой, что существует ребро из <math>n_{k}</math> в <math>n_{1}</math>.
 +
}}
  
===Определение 2===
+
==Задача о гамильтоновом цикле в графе==
'''Гамильтоновым циклом''' в графе <math>G</math> называется упорядочение всех узлов <math>n_{1}</math>, <math>n_{2}</math>, ..., <math>n_{k}</math>, при котором для каждого <math>i = 1, 2, ..., k - 1</math> существует ребро из <math>n_{i}</math> в <math>n_{i+1}</math>, а также существует ребро из <math>n_{k}</math> в <math>n_{1}</math>.
+
{{Определение
 
+
|definition = '''[U]HAM''' - задача нахождения (ориентированного) гамильтонова цикла в заданном графе.
'''Ориентированным гамильтоновым циклом''' называется то же самое для ориентированного графа (должна существовать дуга из <math>n_{i}</math> в <math>n_{i+1}</math> и дуга из <math>n_{k}</math> в <math>n_{1}</math>).
+
}}
 
+
===Доказательство NP-полноты для неориентированного графа===
==Формулировка задачи о гамильтоновом цикле в графе==
+
Для доказательства того, что HAM <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:
В '''задаче об (ориентированном) гамильтоновом цикле в графе''' ([U]HAM) в качестве входных данных выступает (ориентированный) граф <math>G</math>. Требуется выяснить, есть ли в заданном (ориентированном) графе <math>G</math> (ориентированный) гамильтонов цикл.
 
 
 
==Доказательство NP-полноты задачи об ориентированном гамильтоновом цикле в графе (HAM)==
 
Для доказательства того, что HAMP <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:
 
 
*HAM <math>\in</math> [[NP]]  
 
*HAM <math>\in</math> [[NP]]  
 
*HAM <math>\in</math> [[NPH]]  
 
*HAM <math>\in</math> [[NPH]]  
===Доказательство принадлежности к NP===
+
====Доказательство принадлежности к NP====
 
В качестве сертификата возьмем ориентированный гамильтонов цикл в графе <math>G</math>. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.
 
В качестве сертификата возьмем ориентированный гамильтонов цикл в графе <math>G</math>. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.
===Доказательство принадлежности к NPH===
+
====Доказательство принадлежности к NPH<ref>Ахо, Альфред, В., Хопкрофт, Джон, Ульман, Джеффри, Д. "Структуры данных и алгоритмы" {{---}} Издательский дом «Вильямс», 2000. {{---}} С. 384. {{---}} ISBN 5-8459-0122-7 (рус.) / ISBN 0-201-00023-7 (англ.)</ref>====
  
Доказательство и иллюстрации взяты из книги <ref>[Ахо, Альфред, В., Хопкрофт, Джон, Ульман, Джеффри, Д. "Структуры данных и алгоритмы" — Издательский дом «Вильямс», 2000. — С. 384. — ISBN 5-8459-0122-7 (рус.) / ISBN 0-201-00023-7 (англ.)]</ref>.
+
[[Файл:HAM_fig1.png|200px|thumb|right|Рисунок 1]] [[Файл:HAM_fig2.png|200px|thumb|right|Рисунок 2‎]] [[Файл:HAM_fig3.png|200px|thumb|right|Рисунок 3‎]] [[Файл:HAM_fig4.png|200px|thumb|right|Рисунок 4]]
  
Сведем задачу о выполнимости булевых формул вида 3-КНФ (3CNF SAT) к HAM. Начнем построение экземпляра HAM по булевой формуле в 3КНФ. Пусть формула имеет вид <math>E = e_1 \land e_2 \land... \land e_k</math>, где каждое <math>e_i</math> - дизъюнкт, представляющий собой сумму трех литералов, скажем, <math>e_i = (\alpha_{i1} + \alpha_{i2} + \alpha_{i3})</math>. Пусть <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> - переменные в формуле <math>E</math>. Для всех дизъюнктов и переменных строятся подграфы, как показано на рисунках.
+
Сведем задачу о выполнимости булевых формул вида [[3CNFSAT | 3-КНФ]] к HAM. Начнем построение экземпляра HAM по булевой формуле в 3КНФ. Пусть формула имеет вид <math>E = e_1 \land e_2 \land... \land e_k</math>, где каждое <math>e_i</math> - дизъюнкт, представляющий собой сумму трех литералов, скажем, <math>e_i = (\alpha_{i1} + \alpha_{i2} + \alpha_{i3})</math>. Пусть <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> - переменные в формуле <math>E</math>. Для всех дизъюнктов и переменных строятся подграфы, как показано на рисунках.
  
Для каждой переменной <math>x_i</math> строится подграф <math>H_i</math>, структура которого показана на рисунке а). Здесь <math>m_i</math> - большее из чисел вхождений <math>\bar{x_i}</math> и <math>x_i</math> в <math>E</math>. Узлы <math>c_{ij}</math> и <math>b_{ij}</math>, расположенные в двух столбцах, соединены между собой дугами в обоих направлениях. Кроме того, каждое <math>b</math> имеет дугу, ведущую в <math>c</math>, расположенное на ступеньку ниже, т.е., если <math>j < m_i</math>, то <math>b_{ij}</math> имеет дугу, ведущую в <math>c_{i,j+1}</math>. Аналогично для <math>c_{ij}</math>. Наконец, есть верхний узел <math>a_i</math>, из которого дуги ведут в <math>b_{i0}</math> и <math>c_{i0}</math>, и нижний узел <math>d_i</math>, в который ведут дуги из <math>b_{im_i}</math> и <math>c_{im_i}</math>.
+
Для каждой переменной <math>x_i</math> строится подграф <math>H_i</math>, структура которого показана на рисунке 1. Здесь <math>m_i</math> - большее из чисел вхождений <math>\bar{x_i}</math> и <math>x_i</math> в <math>E</math>. Узлы <math>c_{ij}</math> и <math>b_{ij}</math>, расположенные в двух столбцах, соединены между собой дугами в обоих направлениях. Кроме того, каждое <math>b</math> имеет дугу, ведущую в <math>c</math>, расположенное на ступеньку ниже, т.е., если <math>j < m_i</math>, то <math>b_{ij}</math> имеет дугу, ведущую в <math>c_{i,j+1}</math>. Аналогично для <math>c_{ij}</math>. Наконец, есть верхний узел <math>a_i</math>, из которого дуги ведут в <math>b_{i0}</math> и <math>c_{i0}</math>, и нижний узел <math>d_i</math>, в который ведут дуги из <math>b_{im_i}</math> и <math>c_{im_i}</math>.
  
На рисунке б) показана структура графа в целом. Каждый шестиугольник представляет один подграф, построенный для переменной (его структура показана на рисунке а). Шестиугольники расположены циклически, и из нижнего узла каждого подграфа дуга ведет в верхний узел следующего.
+
На рисунке 2 показана структура графа в целом. Каждый пятиугольник представляет один подграф, построенный для переменной (его структура показана на рисунке 1. пятиугольники расположены циклически, и из нижнего узла каждого подграфа дуга ведет в верхний узел следующего.
  
[[Файл:Picture_aho_graph1.png‎]] [[Файл:Picture_aho_graph2.png‎]] [[Файл:Picture_aho_graph3.png‎]] [[Файл:Picture_gam_cycle1.gif]]
+
Допустим, граф на рисунке 2 имеет ориентированный гамильтонов цикл. Не ограничивая общности, можно считать, что этот цикл начинается в <math>a_1</math>. Если затем он переходит в <math>b_{10},</math>, то на следующем шаге он обязательно перейдет в <math>c_{10}</math> (иначе <math>c_{10}</math> не появится в цикле). В самом деле, если цикл переходит из <math>a_{1}</math> в <math>b_{10}</math>, а затем - в <math>c_{11}</math>, то <math>c_{10}</math> никогда не появится в цикле, поскольку оба его предшественника (<math>a_{0}</math> и <math>b_{10}</math>) уже содержатся в нем.
 
 
Допустим, граф на рисунке б) имеет ориентированный гамильтонов цикл. Не ограничивая общности, можно считать, что этот цикл начинается в <math>a_1</math>. Если затем он переходит в <math>b_{10},</math>, то на следующем шаге он обязательно перейдет в <math>c_{10}</math> (иначе <math>c_{10}</math> не появится в цикле). В самом деле, если цикл переходит из <math>a_{1}</math> в <math>b_{10}</math>, а затем - в <math>c_{11}</math>, то <math>c_{10}</math> никогда не появится в цикле, поскольку оба его предшественника (<math>a_{0}</math> и <math>b_{10}</math>) уже содержатся в нем.
 
  
 
Таким образом, если начало цикла имеет вид <math>a_{1}</math>, <math>b_{10}</math>, то далее он должен спускаться "лесенкой", переходя из стороны в сторону:
 
Таким образом, если начало цикла имеет вид <math>a_{1}</math>, <math>b_{10}</math>, то далее он должен спускаться "лесенкой", переходя из стороны в сторону:
Строка 45: Строка 41:
 
Закончив обход подграфа <math>H_1</math>, цикл должен перейти в <math>a_2</math>, где снова возникает выбор следующего перехода - в <math>b_{20}</math> или в <math>c_{20}</math>. Однако в силу тех же аргументов, которые приведены для <math>H_1</math>, после того, как сделан выбор направления вправо или влево от <math>a_{2}</math>, путь обхода <math>H_{2}</math> уже зафиксирован. Вообще, при входе в каждый <math>H_{i}</math>, есть выбор перехода влево или вправо, но никакого другого. Иначе некоторый узел обречен быть недоступным, т.е. он не сможет появиться в ориентированном гамильтоновом цикле, поскольку все его предшественники появились в нем ранее.
 
Закончив обход подграфа <math>H_1</math>, цикл должен перейти в <math>a_2</math>, где снова возникает выбор следующего перехода - в <math>b_{20}</math> или в <math>c_{20}</math>. Однако в силу тех же аргументов, которые приведены для <math>H_1</math>, после того, как сделан выбор направления вправо или влево от <math>a_{2}</math>, путь обхода <math>H_{2}</math> уже зафиксирован. Вообще, при входе в каждый <math>H_{i}</math>, есть выбор перехода влево или вправо, но никакого другого. Иначе некоторый узел обречен быть недоступным, т.е. он не сможет появиться в ориентированном гамильтоновом цикле, поскольку все его предшественники появились в нем ранее.
  
В дальнейшем это позволит нам считать, что выбор перехода из <math>a_{i}</math> в <math>b_{i0}</math> означает приписывание переменной <math>x_{i}</math> значения "истина", а перехода в <math>c_{i0}</math> - значения "ложь". Поэтому граф на рисунке б) имеет <math>2^n</math> ориентированных гамильтоновых циклов, соответствующих <math>2^n</math> возможным подстановкам для <math>n</math> переменных.
+
В дальнейшем это позволит нам считать, что выбор перехода из <math>a_{i}</math> в <math>b_{i0}</math> означает приписывание переменной <math>x_{i}</math> значения "истина", а перехода в <math>c_{i0}</math> - значения "ложь". Поэтому граф на рисунке 2 имеет <math>2^n</math> ориентированных гамильтоновых циклов, соответствующих <math>2^n</math> возможным подстановкам для <math>n</math> переменных.
  
Однако на рисунке б) изображен лишь скелет графа, порождаемого по формуле <math>E</math>, находящейся в 3-КНФ. Каждому дизъюнкту <math>e_{i}</math> ставится в соответствие подграф <math>I_{j}</math> (рисунок в). Он обладает тем свойством, что если цикл входит в <math>r_{j}</math>, то должен выходить из <math>u_{j}</math>. Аналогично для <math>s, v</math> и <math>t, w</math> (доказательство этого утверждения см. в книге "Введение в теорию автоматов, языков и вычислений", Дж. Хопкрофт, Р. Мотвани, Дж. Ульман).
+
Однако на рисунке 2 изображен лишь скелет графа, порождаемого по формуле <math>E</math>, находящейся в 3-КНФ. Каждому дизъюнкту <math>e_{i}</math> ставится в соответствие подграф <math>I_{j}</math> (рисунок 3). Он обладает тем свойством, что если цикл входит в <math>r_{j}</math>, то должен выходить из <math>u_{j}</math><ref>Хопкрофт Дж., Мотвани Р., Ульман Дж. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений. 2-е издание. {{---}} М.: Издательский дом "Вильямс", 2002. {{---}} 528 с. {{---}} ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)</ref>. Аналогично для <math>s, v</math> и <math>t, w</math>.
 
В завершение построения графа <math>G</math> для формулы <math>E</math> соединяем подграфы <math>I</math> и <math>H</math> следующим образом. Допустим, у дизъюнкта <math>e_i</math> первым литералом является <math>x_i</math>, переменная без отрицания. Выберем некоторый узел <math>c_{ip}</math>, где <math>p</math> от 0 до  <math>m_{i}</math> - 1, ранее не использованный для соединения с подграфами <math>I</math>. Введем дуги, ведущие из  <math>c_{ip}</math> в <math>r_{j}</math> и из <math>u_{j}</math> в <math>b_{i,p+1}</math>. Если же первым литералом дизъюнкта <math>e_j</math> является отрицание <math>\bar{x_i}</math>, то нужно отыскать неиспользованный узел  <math>b_{ip}</math>, а затем соединить <math>b_{ip}</math> с <math>r_{j}</math> и <math>u_{j}</math> с <math>c_{i,p+1}</math>
 
В завершение построения графа <math>G</math> для формулы <math>E</math> соединяем подграфы <math>I</math> и <math>H</math> следующим образом. Допустим, у дизъюнкта <math>e_i</math> первым литералом является <math>x_i</math>, переменная без отрицания. Выберем некоторый узел <math>c_{ip}</math>, где <math>p</math> от 0 до  <math>m_{i}</math> - 1, ранее не использованный для соединения с подграфами <math>I</math>. Введем дуги, ведущие из  <math>c_{ip}</math> в <math>r_{j}</math> и из <math>u_{j}</math> в <math>b_{i,p+1}</math>. Если же первым литералом дизъюнкта <math>e_j</math> является отрицание <math>\bar{x_i}</math>, то нужно отыскать неиспользованный узел  <math>b_{ip}</math>, а затем соединить <math>b_{ip}</math> с <math>r_{j}</math> и <math>u_{j}</math> с <math>c_{i,p+1}</math>
  
Строка 54: Строка 50:
 
Мы утверждаем, что построенный таким образом граф <math>G</math> имеет ориентированный гамильтонов цикл тогда и только тогда, когда формула <math>E</math> выполнима.
 
Мы утверждаем, что построенный таким образом граф <math>G</math> имеет ориентированный гамильтонов цикл тогда и только тогда, когда формула <math>E</math> выполнима.
  
====Доказательство достаточности====
+
=====Доказательство достаточности=====
 
Предположим, существует подстановка <math>T</math>, удовлетворяющая формуле <math>E</math>. Построим ориентированный гамильтонов цикл следующим образом.
 
Предположим, существует подстановка <math>T</math>, удовлетворяющая формуле <math>E</math>. Построим ориентированный гамильтонов цикл следующим образом.
# Вначале выберем путь, обходящий только подграфы <math>H</math> (т.е. граф, изображенный на рисунке б) в соответствии с подстановкой <math>T</math>. Таким образом, если <math>T(x_{i}) = 1</math>, то цикл переходит из <math>a_{i}</math> в <math>b_{i0}</math>, а если <math>T(x_{i}) = 0</math>, то он переходит из <math>a_i</math> в <math>c_{i0}</math>.
+
# Вначале выберем путь, обходящий только подграфы <math>H</math> (т.е. граф, изображенный на рисунке 2 в соответствии с подстановкой <math>T</math>. Таким образом, если <math>T(x_{i}) = 1</math>, то цикл переходит из <math>a_{i}</math> в <math>b_{i0}</math>, а если <math>T(x_{i}) = 0</math>, то он переходит из <math>a_i</math> в <math>c_{i0}</math>.
 
#Однако цикл, построенный к данному моменту, может содержать дугу из <math>b_{ip}</math> в <math>c_{i,p+1}</math>, причем у <math>b_{ip}</math> есть еще одна дуга в один из подграфов в <math>I_{j}</math>, который пока не включен в цикл. Тогда к циклу добавляется "крюк", который начинается в <math>b_{ip}</math>, обходит все шесть узлов подграфа <math>I_{j}</math> и возвращается в <math>c_{i,p+1}</math>. Дуга из <math>b_{ip}</math> в <math>c_{i,p+1}</math> исключается из цикла, но узлы на ее концах остаются в нем.
 
#Однако цикл, построенный к данному моменту, может содержать дугу из <math>b_{ip}</math> в <math>c_{i,p+1}</math>, причем у <math>b_{ip}</math> есть еще одна дуга в один из подграфов в <math>I_{j}</math>, который пока не включен в цикл. Тогда к циклу добавляется "крюк", который начинается в <math>b_{ip}</math>, обходит все шесть узлов подграфа <math>I_{j}</math> и возвращается в <math>c_{i,p+1}</math>. Дуга из <math>b_{ip}</math> в <math>c_{i,p+1}</math> исключается из цикла, но узлы на ее концах остаются в нем.
 
#Аналогично, если в цикле есть дуга из <math>c_{ip}</math> в <math>b_{i,p+1}</math> и у <math>c_{ip}</math> есть еще одна дуга в один из <math>I_{j}</math>, пока не включенных в цикл, то к циклу добавляется "крюк", проходящий через все шесть узлов <math>I_{j}</math>.
 
#Аналогично, если в цикле есть дуга из <math>c_{ip}</math> в <math>b_{i,p+1}</math> и у <math>c_{ip}</math> есть еще одна дуга в один из <math>I_{j}</math>, пока не включенных в цикл, то к циклу добавляется "крюк", проходящий через все шесть узлов <math>I_{j}</math>.
Строка 62: Строка 58:
 
Тот факт, что <math>T</math> удовлетворяет формуле <math>E</math>, гарантирует, что исходный путь, построенный на шаге 1, будет содержать, по крайней мере, одну дугу, которая на шаге 2 или 3 позволит включить в цикл подграф <math>I_j</math> для каждого дизъюнкта <math>e_i</math>. Таким образом, цикл включает в себя все подграфы <math>I_j</math> и является ориентированным гамильтоновым.
 
Тот факт, что <math>T</math> удовлетворяет формуле <math>E</math>, гарантирует, что исходный путь, построенный на шаге 1, будет содержать, по крайней мере, одну дугу, которая на шаге 2 или 3 позволит включить в цикл подграф <math>I_j</math> для каждого дизъюнкта <math>e_i</math>. Таким образом, цикл включает в себя все подграфы <math>I_j</math> и является ориентированным гамильтоновым.
  
====Доказательство необходимости====
+
=====Доказательство необходимости=====
 
Предположим, что граф <math>G</math> имеет ориентированный гамильтонов цикл, и покажем, что формула <math>E</math> выполнима. Напомним два важных пункта из предыдущего анализа.
 
Предположим, что граф <math>G</math> имеет ориентированный гамильтонов цикл, и покажем, что формула <math>E</math> выполнима. Напомним два важных пункта из предыдущего анализа.
 
# Если гамильтонов цикл входит в некоторый <math>I_j</math> в узле <math>r_{j}</math>, <math>s_{j}</math> или <math>t_{j}</math>, то он должен выходить из него в узле <math>u_{j}</math>, <math>v_{j}</math> или <math>w_{j}</math> соответственно.
 
# Если гамильтонов цикл входит в некоторый <math>I_j</math> в узле <math>r_{j}</math>, <math>s_{j}</math> или <math>t_{j}</math>, то он должен выходить из него в узле <math>u_{j}</math>, <math>v_{j}</math> или <math>w_{j}</math> соответственно.
Строка 71: Строка 67:
 
Причина в том, что если цикл переходит из <math>a_{i}</math> в <math>b_{i0}</math>, то экскурсия в <math>I_{j}</math> может быть совершена только тогда, когда <math>j</math>-й дизъюнкт содержит <math>x_i</math> в качестве одного из литералов. Если цикл переходит из <math>a_i</math> в <math>c_{i0}</math>, то экскурсия в <math>I_{j}</math> может быть совершена только тогда, когда <math>\bar{x_i}</math> является литералом в <math>j</math>-ом дизъюнкте. Таким образом, из того, что все подграфы <math>I_j</math> могут быть включены в граф, следует, что при данной подстановке хотя бы один из литералов в каждом дизъюнкте истинен, т.е. формула <math>E</math> выполнима.
 
Причина в том, что если цикл переходит из <math>a_{i}</math> в <math>b_{i0}</math>, то экскурсия в <math>I_{j}</math> может быть совершена только тогда, когда <math>j</math>-й дизъюнкт содержит <math>x_i</math> в качестве одного из литералов. Если цикл переходит из <math>a_i</math> в <math>c_{i0}</math>, то экскурсия в <math>I_{j}</math> может быть совершена только тогда, когда <math>\bar{x_i}</math> является литералом в <math>j</math>-ом дизъюнкте. Таким образом, из того, что все подграфы <math>I_j</math> могут быть включены в граф, следует, что при данной подстановке хотя бы один из литералов в каждом дизъюнкте истинен, т.е. формула <math>E</math> выполнима.
  
==Доказательство NP-полноты задачи о гамильтоновом цикле в графе (UHAM)==
+
===Доказательство NP-полноты для ориентированного графа===
 
Для доказательства того, что UHAM <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:
 
Для доказательства того, что UHAM <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:
 
*UHAM <math>\in</math> [[NP]]  
 
*UHAM <math>\in</math> [[NP]]  
 
*UHAM <math>\in</math> [[NPH]]  
 
*UHAM <math>\in</math> [[NPH]]  
===Доказательство принадлежности к NP===
+
====Доказательство принадлежности к NP====
 
В качестве сертификата возьмем гамильтонов цикл в графе <math>G</math>. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.
 
В качестве сертификата возьмем гамильтонов цикл в графе <math>G</math>. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.
===Доказательство принадлежности к NPH===
+
====Доказательство принадлежности к NPH====
Сведем задачу о гамильтоновом цикле (HAM) к UHAM. Пусть дан ориентированный граф <math>G</math>. Построим по нему неориентированный граф <math>H</math>. Для этого каждой вершине из графа <math>G</math> поставим в соответствие 3 вершины в графе <math>H</math>, соединив в <math>H</math> ребром первую получившуюся со второй, а вторую - с третьей. Для каждой дуги, инцидентной исходной вершине в <math>G</math> поставим в соответствие ребро в <math>H</math>. В случае, если дуга исходит из этой вершины, то соединим ребро с последней из получившихся вершин в <math>H</math>, а если она входит в вершину, то соединим с первой из получившихся (см. рисунок г). Таким образом, в построенном графе <math>H</math> гамильтонов путь будет тогда и только тогда, когда в исходном графе <math>G</math> будет ориентированный гамильтонов путь.
+
Сведем задачу о гамильтоновом цикле (HAM) к UHAM. Пусть дан ориентированный граф <math>G</math>. Построим по нему неориентированный граф <math>H</math>. Для этого каждой вершине из графа <math>G</math> поставим в соответствие 3 вершины в графе <math>H</math>, соединив в <math>H</math> ребром первую получившуюся со второй, а вторую - с третьей. Для каждой дуги, инцидентной исходной вершине в <math>G</math> поставим в соответствие ребро в <math>H</math>. В случае, если дуга исходит из этой вершины, то соединим ребро с последней из получившихся вершин в <math>H</math>, а если она входит в вершину, то соединим с первой из получившихся (см. рисунок 4). Таким образом, в построенном графе <math>H</math> гамильтонов путь будет тогда и только тогда, когда в исходном графе <math>G</math> будет ориентированный гамильтонов путь.
  
==Формулировка задачи о гамильтоновом пути в графе==
+
==Задача о гамильтоновом пути в графе==
В '''задаче об (ориентированном) гамильтоновом пути в графе''' ([U]HAMP) в качестве входных данных выступает (ориентированный) граф <math>G</math>. Требуется выяснить, есть ли в заданном (ориентированном) графе <math>G</math> (ориентированный) гамильтонов путь.
+
{{Определение
 +
|definition = '''[U]HAMP''' - задача нахождения (ориентированного) гамильтонова пути в заданном графе.
 +
}}
  
==Доказательство NP-полноты задачи об ориентированном гамильтоновом пути в графе (HAMP)==
+
===Доказательство NP-полноты для ориентированного графа===
 
Для доказательства того, что HAMP <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:
 
Для доказательства того, что HAMP <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:
 
*HAMP <math>\in</math> [[NP]]  
 
*HAMP <math>\in</math> [[NP]]  
 
*HAMP <math>\in</math> [[NPH]]  
 
*HAMP <math>\in</math> [[NPH]]  
===Доказательство принадлежности к NP===
+
====Доказательство принадлежности к NP====
 
В качестве сертификата возьмем ориентированный гамильтонов путь в графе <math>G</math>. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.
 
В качестве сертификата возьмем ориентированный гамильтонов путь в графе <math>G</math>. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.
===Доказательство принадлежности к NPH===
+
====Доказательство принадлежности к NPH====
 
Сведем задачу об ориентированном гамильтоновом цикле (HAM) к HAMP. Пусть дан граф <math>G</math>. Выберем произвольную вершину графа <math>G</math> и раздвоим ее, и входящие дуги направим в одну из полученных вершин, а исходящие пустим из другой. Теперь, если в исходном графе был ориентированный гамильтонов цикл, то в полученном будет ориентированный гамильтонов путь. В обратную сторону, если в полученном графе будет ориентированный гамильтонов путь, то на первом и последнем местах в этом пути окажутся новые вершины, соответствующие раздвоенной, поскольку ни одна из них не может оказаться в середине пути (у неё есть либо входящие, либо исходящие дуги). Таким образом, если в полученном графе будет гамильтонов путь, то в исходном графе <math>G</math> был гамильтонов цикл.
 
Сведем задачу об ориентированном гамильтоновом цикле (HAM) к HAMP. Пусть дан граф <math>G</math>. Выберем произвольную вершину графа <math>G</math> и раздвоим ее, и входящие дуги направим в одну из полученных вершин, а исходящие пустим из другой. Теперь, если в исходном графе был ориентированный гамильтонов цикл, то в полученном будет ориентированный гамильтонов путь. В обратную сторону, если в полученном графе будет ориентированный гамильтонов путь, то на первом и последнем местах в этом пути окажутся новые вершины, соответствующие раздвоенной, поскольку ни одна из них не может оказаться в середине пути (у неё есть либо входящие, либо исходящие дуги). Таким образом, если в полученном графе будет гамильтонов путь, то в исходном графе <math>G</math> был гамильтонов цикл.
  
==Доказательство NP-полноты задачи о гамильтоновом пути в графе (UHAMP)==
+
===Доказательство NP-полноты для неориентированного графа===
 
Для доказательства того, что UHAMP <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:
 
Для доказательства того, что UHAMP <math>\in</math> [[NPC]], необходимо доказать два факта:
 
*UHAMP <math>\in</math> [[NP]]  
 
*UHAMP <math>\in</math> [[NP]]  
 
*UHAMP <math>\in</math> [[NPH]]  
 
*UHAMP <math>\in</math> [[NPH]]  
===Доказательство принадлежности к NP===
+
====Доказательство принадлежности к NP====
 
В качестве сертификата возьмем гамильтонов путь в графе <math>G</math>. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.
 
В качестве сертификата возьмем гамильтонов путь в графе <math>G</math>. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.
===Доказательство принадлежности к NPH===
+
====Доказательство принадлежности к NPH====
 
Сведем задачу о гамильтоновом цикле (HAMP) к UHAMP. Пусть дан ориентированный граф <math>G</math>. Построим по нему неориентированный граф <math>H</math>. Для этого каждой вершине из графа <math>G</math> поставим в соответствие 3 вершины в графе <math>H</math>, соединив в <math>H</math> ребром первую получившуюся со второй, а вторую - с третьей. Для каждой дуги, инцидентной исходной вершине в <math>G</math> поставим в соответствие ребро в <math>H</math>. В случае, если дуга исходит из этой вершины, то соединим ребро с последней из получившихся вершин в <math>H</math>, а если она входит в вершину, то соединим с первой из получившихся. Таким образом, в построенном графе <math>H</math> гамильтонов путь будет тогда и только тогда, когда в исходном графе <math>G</math> будет ориентированный гамильтонов путь.
 
Сведем задачу о гамильтоновом цикле (HAMP) к UHAMP. Пусть дан ориентированный граф <math>G</math>. Построим по нему неориентированный граф <math>H</math>. Для этого каждой вершине из графа <math>G</math> поставим в соответствие 3 вершины в графе <math>H</math>, соединив в <math>H</math> ребром первую получившуюся со второй, а вторую - с третьей. Для каждой дуги, инцидентной исходной вершине в <math>G</math> поставим в соответствие ребро в <math>H</math>. В случае, если дуга исходит из этой вершины, то соединим ребро с последней из получившихся вершин в <math>H</math>, а если она входит в вершину, то соединим с первой из получившихся. Таким образом, в построенном графе <math>H</math> гамильтонов путь будет тогда и только тогда, когда в исходном графе <math>G</math> будет ориентированный гамильтонов путь.
  
==Ссылки==
+
==См. также==
 +
* [[Классы NP и Σ₁]]
 +
* [[3CNFSAT]]
 +
 
 +
==Источники информации==
 
<references/>
 
<references/>

Версия 18:05, 13 марта 2016

Определение:
(Ориентированным) гамильтоновым путем в (ориентированном) графе [math]G[/math] называется упорядочение всех узлов [math]n_{1}[/math], [math]n_{2}[/math], ..., [math]n_{k}[/math], при котором для каждого [math]i = 1, 2, ..., k - 1[/math] существует ребро из [math]n_{i}[/math] в [math]n_{i+1}[/math].


Определение:
(Ориентированным) гамильтоновым циклом в (ориентированном) графе [math]G[/math] называется гамильтонов путь [math]n_{1}[/math], [math]n_{2}[/math], ..., [math]n_{k}[/math] такой, что существует ребро из [math]n_{k}[/math] в [math]n_{1}[/math].


Задача о гамильтоновом цикле в графе

Определение:
[U]HAM - задача нахождения (ориентированного) гамильтонова цикла в заданном графе.

Доказательство NP-полноты для неориентированного графа

Для доказательства того, что HAM [math]\in[/math] NPC, необходимо доказать два факта:

  • HAM [math]\in[/math] NP
  • HAM [math]\in[/math] NPH

Доказательство принадлежности к NP

В качестве сертификата возьмем ориентированный гамильтонов цикл в графе [math]G[/math]. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.

Доказательство принадлежности к NPH[1]

Рисунок 1
Рисунок 2‎
Рисунок 3‎
Рисунок 4

Сведем задачу о выполнимости булевых формул вида 3-КНФ к HAM. Начнем построение экземпляра HAM по булевой формуле в 3КНФ. Пусть формула имеет вид [math]E = e_1 \land e_2 \land... \land e_k[/math], где каждое [math]e_i[/math] - дизъюнкт, представляющий собой сумму трех литералов, скажем, [math]e_i = (\alpha_{i1} + \alpha_{i2} + \alpha_{i3})[/math]. Пусть [math]x_1, x_2, ..., x_n[/math] - переменные в формуле [math]E[/math]. Для всех дизъюнктов и переменных строятся подграфы, как показано на рисунках.

Для каждой переменной [math]x_i[/math] строится подграф [math]H_i[/math], структура которого показана на рисунке 1. Здесь [math]m_i[/math] - большее из чисел вхождений [math]\bar{x_i}[/math] и [math]x_i[/math] в [math]E[/math]. Узлы [math]c_{ij}[/math] и [math]b_{ij}[/math], расположенные в двух столбцах, соединены между собой дугами в обоих направлениях. Кроме того, каждое [math]b[/math] имеет дугу, ведущую в [math]c[/math], расположенное на ступеньку ниже, т.е., если [math]j \lt m_i[/math], то [math]b_{ij}[/math] имеет дугу, ведущую в [math]c_{i,j+1}[/math]. Аналогично для [math]c_{ij}[/math]. Наконец, есть верхний узел [math]a_i[/math], из которого дуги ведут в [math]b_{i0}[/math] и [math]c_{i0}[/math], и нижний узел [math]d_i[/math], в который ведут дуги из [math]b_{im_i}[/math] и [math]c_{im_i}[/math].

На рисунке 2 показана структура графа в целом. Каждый пятиугольник представляет один подграф, построенный для переменной (его структура показана на рисунке 1. пятиугольники расположены циклически, и из нижнего узла каждого подграфа дуга ведет в верхний узел следующего.

Допустим, граф на рисунке 2 имеет ориентированный гамильтонов цикл. Не ограничивая общности, можно считать, что этот цикл начинается в [math]a_1[/math]. Если затем он переходит в [math]b_{10},[/math], то на следующем шаге он обязательно перейдет в [math]c_{10}[/math] (иначе [math]c_{10}[/math] не появится в цикле). В самом деле, если цикл переходит из [math]a_{1}[/math] в [math]b_{10}[/math], а затем - в [math]c_{11}[/math], то [math]c_{10}[/math] никогда не появится в цикле, поскольку оба его предшественника ([math]a_{0}[/math] и [math]b_{10}[/math]) уже содержатся в нем.

Таким образом, если начало цикла имеет вид [math]a_{1}[/math], [math]b_{10}[/math], то далее он должен спускаться "лесенкой", переходя из стороны в сторону:

[math]a_1, b_{10}, c_{10}, b_{11}, c_{11}, ..., d_1[/math].

Если начало цикла имеет вид [math]a_{1}[/math], [math]c_{10}[/math], то в лесенке меняется порядок предшествования [math]c[/math] и [math]b[/math].

[math]a_1, c_{10}, b_{10}, c_{11}, b_{11}, ..., d_1[/math].

Решающим пунктом в доказательстве является то, что порядок, при котором спуск совершается от [math]c[/math] к [math]b[/math], можно трактовать как приписывание переменной, соответствующей данному подграфу, значения "истина", а порядок, при котором спуск совершается от [math]b[/math] к [math]c[/math], соответствует приписыванию этой переменной значения "ложь".

Закончив обход подграфа [math]H_1[/math], цикл должен перейти в [math]a_2[/math], где снова возникает выбор следующего перехода - в [math]b_{20}[/math] или в [math]c_{20}[/math]. Однако в силу тех же аргументов, которые приведены для [math]H_1[/math], после того, как сделан выбор направления вправо или влево от [math]a_{2}[/math], путь обхода [math]H_{2}[/math] уже зафиксирован. Вообще, при входе в каждый [math]H_{i}[/math], есть выбор перехода влево или вправо, но никакого другого. Иначе некоторый узел обречен быть недоступным, т.е. он не сможет появиться в ориентированном гамильтоновом цикле, поскольку все его предшественники появились в нем ранее.

В дальнейшем это позволит нам считать, что выбор перехода из [math]a_{i}[/math] в [math]b_{i0}[/math] означает приписывание переменной [math]x_{i}[/math] значения "истина", а перехода в [math]c_{i0}[/math] - значения "ложь". Поэтому граф на рисунке 2 имеет [math]2^n[/math] ориентированных гамильтоновых циклов, соответствующих [math]2^n[/math] возможным подстановкам для [math]n[/math] переменных.

Однако на рисунке 2 изображен лишь скелет графа, порождаемого по формуле [math]E[/math], находящейся в 3-КНФ. Каждому дизъюнкту [math]e_{i}[/math] ставится в соответствие подграф [math]I_{j}[/math] (рисунок 3). Он обладает тем свойством, что если цикл входит в [math]r_{j}[/math], то должен выходить из [math]u_{j}[/math][2]. Аналогично для [math]s, v[/math] и [math]t, w[/math]. В завершение построения графа [math]G[/math] для формулы [math]E[/math] соединяем подграфы [math]I[/math] и [math]H[/math] следующим образом. Допустим, у дизъюнкта [math]e_i[/math] первым литералом является [math]x_i[/math], переменная без отрицания. Выберем некоторый узел [math]c_{ip}[/math], где [math]p[/math] от 0 до [math]m_{i}[/math] - 1, ранее не использованный для соединения с подграфами [math]I[/math]. Введем дуги, ведущие из [math]c_{ip}[/math] в [math]r_{j}[/math] и из [math]u_{j}[/math] в [math]b_{i,p+1}[/math]. Если же первым литералом дизъюнкта [math]e_j[/math] является отрицание [math]\bar{x_i}[/math], то нужно отыскать неиспользованный узел [math]b_{ip}[/math], а затем соединить [math]b_{ip}[/math] с [math]r_{j}[/math] и [math]u_{j}[/math] с [math]c_{i,p+1}[/math]

Для второго и третьего литералов [math]e_{j}[/math] граф дополняется точно так же, за одним исключением. Для второго литерала и используются узлы [math]s_{j}[/math] и [math]v_{j}[/math], а для третьего - [math]t_{j}[/math] и [math]w_{j}[/math]. Таким образом, каждый [math]I_{j}[/math] имеет три соединения с подграфами типа [math]H[/math], которые представляют переменные, присутствующие в дизъюнкте [math]e_{j}[/math]. Если литерал не содержит отрицания, то соединение выходит из [math]c[/math]-узла и входит в [math]b[/math]-узел, расположенный ниже, а если содержит - то наоборот.

Мы утверждаем, что построенный таким образом граф [math]G[/math] имеет ориентированный гамильтонов цикл тогда и только тогда, когда формула [math]E[/math] выполнима.

Доказательство достаточности

Предположим, существует подстановка [math]T[/math], удовлетворяющая формуле [math]E[/math]. Построим ориентированный гамильтонов цикл следующим образом.

  1. Вначале выберем путь, обходящий только подграфы [math]H[/math] (т.е. граф, изображенный на рисунке 2 в соответствии с подстановкой [math]T[/math]. Таким образом, если [math]T(x_{i}) = 1[/math], то цикл переходит из [math]a_{i}[/math] в [math]b_{i0}[/math], а если [math]T(x_{i}) = 0[/math], то он переходит из [math]a_i[/math] в [math]c_{i0}[/math].
  2. Однако цикл, построенный к данному моменту, может содержать дугу из [math]b_{ip}[/math] в [math]c_{i,p+1}[/math], причем у [math]b_{ip}[/math] есть еще одна дуга в один из подграфов в [math]I_{j}[/math], который пока не включен в цикл. Тогда к циклу добавляется "крюк", который начинается в [math]b_{ip}[/math], обходит все шесть узлов подграфа [math]I_{j}[/math] и возвращается в [math]c_{i,p+1}[/math]. Дуга из [math]b_{ip}[/math] в [math]c_{i,p+1}[/math] исключается из цикла, но узлы на ее концах остаются в нем.
  3. Аналогично, если в цикле есть дуга из [math]c_{ip}[/math] в [math]b_{i,p+1}[/math] и у [math]c_{ip}[/math] есть еще одна дуга в один из [math]I_{j}[/math], пока не включенных в цикл, то к циклу добавляется "крюк", проходящий через все шесть узлов [math]I_{j}[/math].

Тот факт, что [math]T[/math] удовлетворяет формуле [math]E[/math], гарантирует, что исходный путь, построенный на шаге 1, будет содержать, по крайней мере, одну дугу, которая на шаге 2 или 3 позволит включить в цикл подграф [math]I_j[/math] для каждого дизъюнкта [math]e_i[/math]. Таким образом, цикл включает в себя все подграфы [math]I_j[/math] и является ориентированным гамильтоновым.

Доказательство необходимости

Предположим, что граф [math]G[/math] имеет ориентированный гамильтонов цикл, и покажем, что формула [math]E[/math] выполнима. Напомним два важных пункта из предыдущего анализа.

  1. Если гамильтонов цикл входит в некоторый [math]I_j[/math] в узле [math]r_{j}[/math], [math]s_{j}[/math] или [math]t_{j}[/math], то он должен выходить из него в узле [math]u_{j}[/math], [math]v_{j}[/math] или [math]w_{j}[/math] соответственно.
  2. Таким образом, рассматривая данный гамильтонов цикл как обход подграфов типа [math]H[/math], можно характеризовать "экскурсию", совершаемую в некоторое [math]I_j[/math], как переход цикла по дуге, "параллельной" одной из дуг [math]b_{ip} \rightarrow с_{i,p+1}[/math] или [math]c_{ip} \rightarrow b_{i,p+1}[/math].

Если игнорировать экскурсии в подграфы [math]I_{j}[/math], то гамильтонов цикл должен быть одним из [math]2^n[/math] циклов, которые возможны с использованием только подграфов [math]H_i[/math] и соответствуют выборам переходов из [math]a_{i}[/math] либо в [math]b_{i0}[/math], либо в [math]c_{i0}[/math]. Каждый из этих выборов соответствует приписыванию значений переменным из [math]E[/math]. Если один из них дает гамильтонов цикл, включающий подграфы [math]I_j[/math], то подстановка, соответствующая этому выбору, должна удовлетворять формуле [math]E[/math].

Причина в том, что если цикл переходит из [math]a_{i}[/math] в [math]b_{i0}[/math], то экскурсия в [math]I_{j}[/math] может быть совершена только тогда, когда [math]j[/math]-й дизъюнкт содержит [math]x_i[/math] в качестве одного из литералов. Если цикл переходит из [math]a_i[/math] в [math]c_{i0}[/math], то экскурсия в [math]I_{j}[/math] может быть совершена только тогда, когда [math]\bar{x_i}[/math] является литералом в [math]j[/math]-ом дизъюнкте. Таким образом, из того, что все подграфы [math]I_j[/math] могут быть включены в граф, следует, что при данной подстановке хотя бы один из литералов в каждом дизъюнкте истинен, т.е. формула [math]E[/math] выполнима.

Доказательство NP-полноты для ориентированного графа

Для доказательства того, что UHAM [math]\in[/math] NPC, необходимо доказать два факта:

  • UHAM [math]\in[/math] NP
  • UHAM [math]\in[/math] NPH

Доказательство принадлежности к NP

В качестве сертификата возьмем гамильтонов цикл в графе [math]G[/math]. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.

Доказательство принадлежности к NPH

Сведем задачу о гамильтоновом цикле (HAM) к UHAM. Пусть дан ориентированный граф [math]G[/math]. Построим по нему неориентированный граф [math]H[/math]. Для этого каждой вершине из графа [math]G[/math] поставим в соответствие 3 вершины в графе [math]H[/math], соединив в [math]H[/math] ребром первую получившуюся со второй, а вторую - с третьей. Для каждой дуги, инцидентной исходной вершине в [math]G[/math] поставим в соответствие ребро в [math]H[/math]. В случае, если дуга исходит из этой вершины, то соединим ребро с последней из получившихся вершин в [math]H[/math], а если она входит в вершину, то соединим с первой из получившихся (см. рисунок 4). Таким образом, в построенном графе [math]H[/math] гамильтонов путь будет тогда и только тогда, когда в исходном графе [math]G[/math] будет ориентированный гамильтонов путь.

Задача о гамильтоновом пути в графе

Определение:
[U]HAMP - задача нахождения (ориентированного) гамильтонова пути в заданном графе.


Доказательство NP-полноты для ориентированного графа

Для доказательства того, что HAMP [math]\in[/math] NPC, необходимо доказать два факта:

  • HAMP [math]\in[/math] NP
  • HAMP [math]\in[/math] NPH

Доказательство принадлежности к NP

В качестве сертификата возьмем ориентированный гамильтонов путь в графе [math]G[/math]. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.

Доказательство принадлежности к NPH

Сведем задачу об ориентированном гамильтоновом цикле (HAM) к HAMP. Пусть дан граф [math]G[/math]. Выберем произвольную вершину графа [math]G[/math] и раздвоим ее, и входящие дуги направим в одну из полученных вершин, а исходящие пустим из другой. Теперь, если в исходном графе был ориентированный гамильтонов цикл, то в полученном будет ориентированный гамильтонов путь. В обратную сторону, если в полученном графе будет ориентированный гамильтонов путь, то на первом и последнем местах в этом пути окажутся новые вершины, соответствующие раздвоенной, поскольку ни одна из них не может оказаться в середине пути (у неё есть либо входящие, либо исходящие дуги). Таким образом, если в полученном графе будет гамильтонов путь, то в исходном графе [math]G[/math] был гамильтонов цикл.

Доказательство NP-полноты для неориентированного графа

Для доказательства того, что UHAMP [math]\in[/math] NPC, необходимо доказать два факта:

  • UHAMP [math]\in[/math] NP
  • UHAMP [math]\in[/math] NPH

Доказательство принадлежности к NP

В качестве сертификата возьмем гамильтонов путь в графе [math]G[/math]. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.

Доказательство принадлежности к NPH

Сведем задачу о гамильтоновом цикле (HAMP) к UHAMP. Пусть дан ориентированный граф [math]G[/math]. Построим по нему неориентированный граф [math]H[/math]. Для этого каждой вершине из графа [math]G[/math] поставим в соответствие 3 вершины в графе [math]H[/math], соединив в [math]H[/math] ребром первую получившуюся со второй, а вторую - с третьей. Для каждой дуги, инцидентной исходной вершине в [math]G[/math] поставим в соответствие ребро в [math]H[/math]. В случае, если дуга исходит из этой вершины, то соединим ребро с последней из получившихся вершин в [math]H[/math], а если она входит в вершину, то соединим с первой из получившихся. Таким образом, в построенном графе [math]H[/math] гамильтонов путь будет тогда и только тогда, когда в исходном графе [math]G[/math] будет ориентированный гамильтонов путь.

См. также

Источники информации

  1. Ахо, Альфред, В., Хопкрофт, Джон, Ульман, Джеффри, Д. "Структуры данных и алгоритмы" — Издательский дом «Вильямс», 2000. — С. 384. — ISBN 5-8459-0122-7 (рус.) / ISBN 0-201-00023-7 (англ.)
  2. Хопкрофт Дж., Мотвани Р., Ульман Дж. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений. 2-е издание. — М.: Издательский дом "Вильямс", 2002. — 528 с. — ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)