1632
правки
Изменения
м
==Описание алгоритма==Отсортируем Рассмотрим какое-то паросочетание <tex>M</tex> в этом графе. Оно соответствует корректному расписанию работ на одной машине: ни одна работа не выполняется два раза и ни в один момент времени не выполняется более одной работы в порядке невозрастания дедлайнов.
Введем тайм-слот для каждого момента времени Сложность последней фазы зависит от <tex>0</tex> до <tex>d_n</tex>того, каким алгоритмом граф разбивается на паросочетания.Каждую работу будем пытаться сделать как Использовав, например, алгоритм Куна, можно позже. Будет рассматривать работы в порядке невозрастания дедлайнов. добиться сложности <tex>iO(m \cdot M) = O(m \cdot n^3m^3)</tex>. Итоговая сложность алгоритма {{-ю работу попытаемся добавить в тайм-слоты с <tex>d_i - m + 1</tex> по }} <tex>d_i</tex>. После добавления некоторые тайм-слоты могли переполниться O(тайм-слот переполнился, если в нём уже находилось<tex>mn^3m^4)</tex> работ, и в него добавили <tex>m+1</tex>-ю). Для переполнившегося тайм-слота найдём найдем самый правый левее него, который ещё не переполнился и перекинем работу, которой там еще нет, в него. Так как в нем меньше элементов, то, по принципу Дирихле, это можно сделать.
{{Утверждение==См. также==* [[Opij1di|statement<tex>O \mid p_{ij} =Следуя этому алгоритму1, первый таймd_i \mid -слот переполнится тогдаи только тогда, когда переполнилнилсянулевой тайм-слот.|proof=?}}</tex>]]
Опираясь на это утверждение==Источники информации==* Peter Brucker «Scheduling Algorithms», можно найти максимальное количество работfifth edition, которое можно выполнить. Обозначим его за <tex>k</tex>Springer {{---}} с.179 ISBN 978-3-540-69515-8
Сведем задачу построения распинания по построенным тайм-слотам к задаче о покрытии двудольного графа минимальным [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]количеством паросочетаний.[[Категория: Теория расписаний]]
rollbackEdits.php mass rollback
<tex dpi ="200">O \mid p_{ij} =Описание задачи=1 \mid \sum U_i</tex>{{Задача|definition=Дано <tex>m</tex> одинаковых станков, которые работают параллельно и <tex>n</tex> работ, котороые необходимо выполнитьв произвольном порядке на всех станках. Время выполнения каждой работы на любом станке одинаково и равно одному. Для каждой работы известно время, до которого её необходимо выполнить. Необходимо успеть выполнить как можно больше работ. }}==Алгоритм=====Описание алгоритма==={{Определение|definition=Обозначим за '''тайм-слот''' <tex>t</tex> множество из не более, чем <tex>m</tex> различных чисел {{---}} номера работ, которые мы хотим выполнить в момент времени <tex>t</tex>.}} Введем тайм-слот для каждого момента времени от <tex>0</tex> до <tex>d_n</tex>.Каждую работу будем пытаться сделать как можно позже. Будем рассматривать работы в порядке невозрастания дедлайнов. <tex>i</tex>-ю работу попытаемся добавить в тайм-слоты с номерами от <tex>d_i - m + 1</tex> по <tex>d_i</tex>. После добавления некоторые тайм-слоты могли переполниться (тайм-слот переполнился, если в нём уже находилось<tex>m</tex> работ, и в него добавили <tex>m+1</tex>-ю). Для переполнившегося тайм-слота найдём найдем самый правый левее него тайм-слот, который ещё не переполнился и перекинем работу, которой там еще нет, в него. Так как в нем меньше элементов, то по принципу Дирихле, это можно сделать. Сведем задачу построения распинания по построенным тайм-слотам к задаче о покрытии двудольного [[Основные_определения_теории_графов|графа]] минимальным количеством [[Паросочетания:_основные_определения,_теорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях|паросочетаний]]. Определим <tex>k</tex> как максимальное число работ, которые можно успеть выполнить. Построим двудольный граф. В левой доле вершинам будут соответствовать работы, в правой {{---}} времена. Соответственно, в левой доле будет <tex>n</tex> вершин, в правой {{---}} <tex>d_{max}</tex>. Ребро между работой <tex>i</tex> и временем <tex>t</tex> будет, если работа <tex>i</tex> есть в тайм-слоте <tex>t</tex>.
Тогда, если мы сможем построить множество мощности <tex>m</tex> такое, что каждое ребро находится хотя бы в одном из паросочетаний, то оно будет соответствовать тому, что каждая работа обработана на каждом станке, а значит, составлено корректное расписание для этих <tex>k</tex> работ. Достроим граф до регулярного степени <tex>m</tex>. Достраивать будем следующим образом. Каждая вершина в левой доле имеет степень <tex>m</tex>, так как каждая работа представлена в <tex>m</tex> тайм-слотах. В правой доле степень каждой вершины не больше <tex>m</tex>, так как в тайм-слоте не может быть больше, чем <tex>m</tex> работ. Значит, в левой доле не больше вершин, чем в правой.Добавим в левую долю фиктивных вершин, чтобы количества вершин в левой и правой долях сравнялись. После чего просто будем добавлять ребра между вершинами, степень которых еще меньше <tex>m</tex>. Для покрытия этого графа паросочетаниями воспользуемся тем фактом, что регулярный двудольный граф степени <tex>d</tex> можно покрыть <tex>d</tex> паросочетаниями. При помощи построения паросочетаний было построено расписание для тех <tex>k</tex> работ, которые можно успеть сделать. Так как остальные работы уже нельзя успеть, расписание для них можно составить произвольное. Например, выполнять их по очереди после выполнения первых <tex>k</tex> работ. <!--{{УтверждениеТеорема
|statement=Если в оптимальном расписании можно сделать <tex>k</tex> работ, то можно сделать первые <tex>k</tex> работ.
|proof=Пусть в оптимальном расписании были сделаны работы <tex>i_1, i_2, \ldots, i_k</tex>. Докажем, что существует
оптимальное расписание, в котором сделаны работы <tex>1, 2, \ldots, k</tex>. Пусть работы <tex>i_1, i_2, \ldots, i_k</tex>
тоже отсортированы в порядке неубывания дедлайна. Тогда <tex>d_{i1} \le leqslant d_1, d_{i2}\le leqslant d_2, \ldots, d_{ik}\le leqslant d_{k}</tex>.
Тогда, если заменить во всём расписании работу <tex>i_j</tex> на работу <tex>j</tex>, то она, тем более, будет выполнена.
}}-->
===Существование решения===
{{Теорема
|statement=Следуя этому алгоритму, расписания не существует тогда и только тогда, когда
переполнился нулевой тайм-слот.
|proof=
<tex>\Rightarrow</tex>
Расписания не существует, а значит, никакой алгоритм его не найдет.
<tex>\Leftarrow</tex>
Введем понятие ''фронта'' расписания. ''Фронтом'' назовем вектор размеров тайм-слотов. Заметим, что от того, в каком порядке происходят перебрасывания из переполнившихся тайм-слотов, итоговый фронт не зависит. Поэтому, если мы сначала положим все работы в тайм-слоты, игнорируя ограничение на их размер, а потом в каком-то порядке перекинем, итоговый фронт окажется тем же. В случае, если при построении тайм-слотов игнорировалось ограничение на их размер, ни одну единицу работы нельзя назначить позже.
Будем также рассматривать тайм-слоты без номеров работ: в каждом тайм-слоте просто лежит сколько-то единиц работ. От этого итоговый фронт также не изменится. Заметим, что если нельзя составить корректную в плане наполненности конфигурацию тайм-слотов при данном ослаблении, то нельзя это сделать и в случае существования номера у каждой единицы работы. Будем рассматривать тайм-слоты по убыванию времени с <tex>d_1</tex> до <tex>0</tex>. В каждый момент времени будем хранить сколько работ ''необходимо'' перекинуть на более ранние тайм-слоты. Изначально это число равно нулю.
Рассмотрим очередной тайм-слот. Пусть в нем занято <tex>h</tex> ячеек из <tex>m</tex>, а также есть еще <tex>a</tex> нераспределяемых позже единиц работы. Здесь возможны два случая:
* <tex>h + a > m</tex>. В этом случае, так как более <tex>m</tex> единиц работы сейчас выполнить нельзя, а также ничего нельзя назначить позже, то оказывается, что невыполняемых сейчас или позже работ стало <tex>h + a - m</tex>.
* Если <tex>h + a \leqslant m</tex>. Здесь можно назначить все нераспределяемые позже работы на это время, и сбросить их счетчик.
Так как и этот, и изучаемый алгоритм получают в итоге одинаковый фронт, а в этом мы вышли из нулевого времени, а невыполненные единицы работы остались, то так как распределить их никак невозможно, то не существует расписания, в котором бы выполнились все работы.
}}
===Оценка сложности алгоритма===Рассмотрим добавление очередной работы в тайм-слоты. За <tex>O(t)</tex> найдём переполнившийся тайм-слот и за <tex>O(m)</tex> перекинем из него элемент. Так как <tex>t=O(nm)</tex>, итоговая сложность этой части {{Определение---}} <tex>O(n^2m)</tex>.|definitionДостроение графа до регулярного делается за <tex>O(E)</tex>, где <tex>E</tex> {{---}} количество ребер в нем. Количество ребер в регулярном двудольном графе <tex>E =Обозначим за ''таймVd</tex>, где <tex>V</tex> {{---слот t'' множество }} количество вершин в одной из не болеедолей, чем а <tex>md</tex> различных чисел {{---}} номера работ, которые мы хотим выполнить степень. Количество вершин в момент времени правой доле {{---}} <tex>O(t) = O(nm)</tex>.Значит граф будет построен за <tex>O(nm^2)</tex>, так как степень каждой вершины {{---}}<tex>m</tex>.
