Изменения

<tex>\mathrm{PCP}</tex>'''-системой''' (системой вероятностно проверяемых доказательств) с полнотой <tex>c(n)</tex> и обоснованностью <tex>s(n)</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex> для языка <tex>L</tex>, где <tex>0 \le s(n) \le c(n) \le 1</tex>, называется верификатор <tex>V</tex> {{---}} [[Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга#Основные определения|вероятностная машина Тьюринга]], имеющая доступ к цепочке доказательству <tex>\pi \in \Sigma^{*} : |\pi| \le 2^{poly(|input|)}</tex> {{---}} доказательствуцепочке из <tex>\Sigma^{*}</tex>, удовлетворяющая следующим свойствам:* '''Полнота''': если <tex>x \in L</tex>, то вероятность того, что <tex>V^{\pi}</tex> допустит <tex>x</tex>, не меньше <tex>c(n)</tex> для некоторой некоторого <tex>\pi</tex>,* '''Обоснованность''': если <tex>x \notin L</tex>, то вероятность того, что <tex>V^{\pi}</tex> допустит <tex>x</tex>, не больше <tex>s(n)</tex> для любой любого <tex>\pi</tex>.

Верификатор <tex>V</tex> называется '''non-adaptive''' (неадаптивным), если при отправке запроса не использует ответы на предыдущие. Иными словами, его работа не изменится, если все свои запросы он отправит отправить одновременно.

Сложностный класс <tex>\mathrm{PCP}_{c(n), s(n)}[r(n), q(n)]</tex> {{---}} это объединение всех языков, для которых существует <tex>\mathrm{PCP}</tex>-система над бинарным алфавитом с полнотой <tex>c(n)</tex> и обоснованностью <tex>s(n)</tex>, в которой неадаптивный верификатор <tex>V</tex> работает за полиномиальное время и имеет вероятностную и запросную сложности соответственно <tex>r(n)</tex> и <tex>q(n)</tex>, а доказательства имеют экспоненциальную длину.<br/>Часто <tex>\mathrm{PCP}_{1, \frac{1}^1/{2}_2}[r(n), q(n)]</tex> обозначают как <tex>\mathrm{PCP}[r(n), q(n)]</tex>.

|statement = <tex>\mathrm{PCP}[0, 0]</tex> = <tex>\mathrm{PCP}[O(\log(n)), 0]</tex> = <tex>\mathrm{PCP}[0, O(\log(n))]</tex> = <tex>\mathrm{P}</tex>.

* <tex>\mathrm{PCP}[0, 0]</tex> = <tex>\mathrm{P}</tex>: вероятностная МТ не использует случайные биты и не обращается к доказательству, то есть работает как обычная детерминированной детерминированная МТ, работающей работающая за полиномиальное время.* <tex>\mathrm{PCP}[O(\log(n)), 0]</tex> = <tex>\mathrm{P}</tex>: доступ к <tex>O(\log(n))</tex> случайных бит не меняет ситуации, так как все возможные битовые цепочки логарифмической длины детерминированная МТ может сгенерировать и проверить за полиномиальное время.* <tex>\mathrm{PCP}[0, O(\log(n))]</tex> = <tex>\mathrm{P}</tex>: так как доступа к случайным битам нет, <tex>\pi</tex> можно рассматривать как битовую цепочку логарифмической длины. Все возможные такие цепочки детерминированная МТ может сгенерировать и проверить за полиномиальное время.

Очевидно следует из [[Вероятностные вычисления. Вероятностная машина ТьюрингаКлассы RP и coRP#Вероятностные сложностные классыОпределения|определения coRP]].

Очевидно следует из [[Недетерминированные вычисленияКлассы_NP_и_Σ₁|определения Σ₁]]. Классы }}{{Теорема|id=pcp_th|about=[[PCP-теорема]]|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>|proof=В одну сторону включение тривиально <tex>\mathrm{PCP}(\log n, 1) \subseteq \mathrm{NTIME}(2^{O(\log n)}) = NP и Σ₁#Классы </tex>. Обратное включение <tex>NP \subseteq \mathrm{PCP}(\log n, 1)</tex> нетривиально и Σ₁рассматривается в [[PCP-теорема |определения Σ₁PCP-теореме]].

<tex>G_1</tex> и <tex>G_2</tex> {{---}} графы на <tex>n</tex> вершинах. Требуется проверить, изоморфны неизоморфны ли они друг другу. <br/>

if (// <tex>\pi[\#H]</tex> == i) { return 1; }

* '''Обоснованность''': если графы изоморфны, то фиксируем <tex>\pi</tex>. Пусть <tex>\Omega</tex> {{---}} это множество всех конфигураций случайной ленты, с которой работает <tex>V</tex>. Заметим, что все конфигурации из <tex>\Omega</tex> с равной вероятностью будут переданы <tex>V</tex>с равными вероятностями. Теперь рассмотрим произвольную конфигурацию типа <tex>\psi</tex> из <tex>\Omega</tex>, то есть конфигурацию, на которой <tex>V</tex> допускает <tex>\langle G_1, G_2 \rangle</tex>. Заметим, что для каждой такой конфигурации существует однозначно определяемая конфигурация типа <tex>\overline \psi</tex>, отличающаяся от <tex>\psi</tex> только первым битом и также принадлежащая <tex>\Omega</tex>. Запустившись на <tex>\overline \psi</tex>, <tex>V</tex>, очевидно, отвергнет <tex>\langle G_1, G_2 \rangle</tex>. Таким образом, конфигураций типа <tex>\psi</tex> в <tex>\Omega</tex> не больше половины. Как уже отмечалось, конфигурации из <tex>\Omega</tex> подаются <tex>V</tex> с равными вероятностями, а конфигураций не из <tex>\Omega</tex>, по определению, <tex>V</tex> не подаётся. Таким образом, вероятность ошибки не превышает <tex>\frac{1}^1/{2}_2</tex>.