Изменения
→Свойства
|definition =
Сложностный класс <tex>\mathrm{PCP}_{c(n), s(n)}[r(n), q(n)]</tex> {{---}} это объединение всех языков, для которых существует <tex>\mathrm{PCP}</tex>-система над бинарным алфавитом с полнотой <tex>c(n)</tex> и обоснованностью <tex>s(n)</tex>, в которой неадаптивный верификатор <tex>V</tex> работает за полиномиальное время и имеет вероятностную и запросную сложности соответственно <tex>r(n)</tex> и <tex>q(n)</tex>, а доказательства имеют экспоненциальную длину.<br/>
Часто <tex>\mathrm{PCP}_{1, \frac{1}^1/{2}_2}[r(n), q(n)]</tex> обозначают как <tex>\mathrm{PCP}[r(n), q(n)]</tex>.
}}
== Свойства ==
{{Теорема
|statement = <tex>\mathrm{PCP}[0, 0]</tex> = <tex>\mathrm{PCP}[O(\log(n)), 0]</tex> = <tex>\mathrm{PCP}[0, O(\log(n))]</tex> = <tex>\mathrm{P}</tex>.
|proof =
* <tex>\mathrm{PCP}[0, 0]</tex> = <tex>\mathrm{P}</tex>: вероятностная МТ не использует случайные биты и не обращается к доказательству, то есть работает как детерминированная МТ, работающая за полиномиальное время.
* <tex>\mathrm{PCP}[O(\log(n)), 0]</tex> = <tex>\mathrm{P}</tex>: доступ к <tex>O(\log(n))</tex> случайных бит не меняет ситуации, так как все возможные битовые цепочки логарифмической длины детерминированная МТ может сгенерировать и проверить за полиномиальное время.* <tex>\mathrm{PCP}[0, O(\log(n))]</tex> = <tex>\mathrm{P}</tex>: так как доступа к случайным битам нет, <tex>\pi</tex> можно рассматривать как битовую цепочку логарифмической длины. Все возможные такие цепочки детерминированная МТ может сгенерировать и проверить за полиномиальное время.
}}
{{Теорема
|statement = <tex>\mathrm{PCP}[poly(n), 0]</tex> = <tex>\mathrm{coRP}</tex>.
|proof =
Очевидно следует из [[Вероятностные вычисления. Вероятностная машина ТьюрингаКлассы RP и coRP#Вероятностные сложностные классыОпределения|определения coRP]].
}}
{{Теорема
|proof =
Очевидно следует из [[Классы_NP_и_Σ₁|определения Σ₁]].
}}
{{Теорема
|id=pcp_th
|about=[[PCP-теорема]]
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
|proof=
В одну сторону включение тривиально <tex>\mathrm{PCP}(\log n, 1) \subseteq \mathrm{NTIME}(2^{O(\log n)}) = NP</tex>.
Обратное включение <tex>NP \subseteq \mathrm{PCP}(\log n, 1)</tex> нетривиально и рассматривается в [[PCP-теорема | PCP-теореме]].
}}
Проверим полноту и обоснованность:
* '''Полнота''': если графы неизоморфны, то существует <tex>\pi</tex> такая, что всякий её символ равен 1 или 2 и задан корректно. Тогда на этой <tex>\pi</tex> верификатор всегда вернёт 1;
* '''Обоснованность''': если графы изоморфны, то фиксируем <tex>\pi</tex>. Пусть <tex>\Omega</tex> {{---}} это множество всех конфигураций случайной ленты, с которой работает <tex>V</tex>. Заметим, что все конфигурации из <tex>\Omega</tex> будут переданы <tex>V</tex> с равными вероятностями. Теперь рассмотрим произвольную конфигурацию типа <tex>\psi</tex> из <tex>\Omega</tex>, то есть конфигурацию, на которой <tex>V</tex> допускает <tex>\langle G_1, G_2 \rangle</tex>. Заметим, что для каждой такой конфигурации существует однозначно определяемая конфигурация типа <tex>\overline \psi</tex>, отличающаяся от <tex>\psi</tex> только первым битом и также принадлежащая <tex>\Omega</tex>. Запустившись на <tex>\overline \psi</tex>, <tex>V</tex>, очевидно, отвергнет <tex>\langle G_1, G_2 \rangle</tex>. Таким образом, конфигураций типа <tex>\psi</tex> в <tex>\Omega</tex> не больше половины. Как уже отмечалось, конфигурации из <tex>\Omega</tex> подаются <tex>V</tex> с равными вероятностями, а конфигураций не из <tex>\Omega</tex>, по определению, <tex>V</tex> не подаётся. Таким образом, вероятность ошибки не превышает <tex>\frac{1}^1/{2}_2</tex>.
}}
