PS-полнота задачи Generalized geography — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(рисунки |thumb|350px)
(рисунки подписи)
Строка 1: Строка 1:
 
== Формулировка задачи==
 
== Формулировка задачи==
  
[[Файл:Generalized_geography_1.png|thumb|350px]]
+
[[Файл:Generalized_geography_1.png|thumb|350px| Граф для игры в города в штате Мичиган]]
  
 
Города (Geography) - игра, в которой игроки по очереди называют города со всего мира. Каждый город должен начинаться с той буквы, на которую заканчивается предыдущий, повторы запрещены. Игра начинается с любого города, и заканчивается, когда игрок проигрывает и не может назвать новый город.
 
Города (Geography) - игра, в которой игроки по очереди называют города со всего мира. Каждый город должен начинаться с той буквы, на которую заканчивается предыдущий, повторы запрещены. Игра начинается с любого города, и заканчивается, когда игрок проигрывает и не может назвать новый город.
Строка 7: Строка 7:
 
=== Графическая модель ===
 
=== Графическая модель ===
  
Для визуализации задачи можно построить ориентированный граф, где каждая вершина - имя города, а ориентированное ребро из А в Б означает, что город Б начинается на ту же букву, на которую заканчивается город А. Ход игрока - переход из текущей вершины в новую, ранее не посещенную, по соответствующему ребру. Проигрывает тот, кто не может сделать ни одного перехода. Например, граф для игры в города в штате Мичиган может выглядеть так:
+
Для визуализации задачи можно построить ориентированный граф, где каждая вершина - имя города, а ориентированное ребро из А в Б означает, что город Б начинается на ту же букву, на которую заканчивается город А. Ход игрока - переход из текущей вершины в новую, ранее не посещенную, по соответствующему ребру. Проигрывает тот, кто не может сделать ни одного перехода.
  
[[Файл:Generalized_geography_2.png|thumb|350px]]
+
[[Файл:Generalized_geography_2.png|thumb|350px| Пример графа для игры в Generalized Geography]]
  
 
В игре Generalized Geography (Обобщенные города) мы заменяем граф с городами на некоторый абстрактный ориентированный граф. Игроки по очереди переходят из вершины в вершину, и проигрывает тот, кто не может сделать новый ход (перейти в ранее не посещенную вершину).
 
В игре Generalized Geography (Обобщенные города) мы заменяем граф с городами на некоторый абстрактный ориентированный граф. Игроки по очереди переходят из вершины в вершину, и проигрывает тот, кто не может сделать новый ход (перейти в ранее не посещенную вершину).
Строка 38: Строка 38:
 
Для игры двух игроков ∃ и ∀ наша формула представима в следующем виде: φ = ∃''x''<sub>1</sub> ∀''x''<sub>2</sub> ∃''x''<sub>3</sub> ...∃''x<sub>n</sub>''(ψ) , где ψ - некая КНФ-формула.
 
Для игры двух игроков ∃ и ∀ наша формула представима в следующем виде: φ = ∃''x''<sub>1</sub> ∀''x''<sub>2</sub> ∃''x''<sub>3</sub> ...∃''x<sub>n</sub>''(ψ) , где ψ - некая КНФ-формула.
  
[[Файл:Generalized_geography_3.png|thumb|350px]]
+
[[Файл:Generalized_geography_3.png|thumb|350px| Модель графа для сведения задачи об игре двух игроков ∃ и ∀ к задаче GG]]
  
 
Для любой такой КНФ-формулы с предваряющими кванторами можно построить граф, аналогичный приведенному на рисунке. Рассмотрим этот граф, и докажем, что это сведение задачи об игре игроков ∃ и ∀ к задаче Generalized Geography.
 
Для любой такой КНФ-формулы с предваряющими кванторами можно построить граф, аналогичный приведенному на рисунке. Рассмотрим этот граф, и докажем, что это сведение задачи об игре игроков ∃ и ∀ к задаче Generalized Geography.

Версия 18:00, 29 марта 2010

Формулировка задачи

Граф для игры в города в штате Мичиган

Города (Geography) - игра, в которой игроки по очереди называют города со всего мира. Каждый город должен начинаться с той буквы, на которую заканчивается предыдущий, повторы запрещены. Игра начинается с любого города, и заканчивается, когда игрок проигрывает и не может назвать новый город.

Графическая модель

Для визуализации задачи можно построить ориентированный граф, где каждая вершина - имя города, а ориентированное ребро из А в Б означает, что город Б начинается на ту же букву, на которую заканчивается город А. Ход игрока - переход из текущей вершины в новую, ранее не посещенную, по соответствующему ребру. Проигрывает тот, кто не может сделать ни одного перехода.

Пример графа для игры в Generalized Geography

В игре Generalized Geography (Обобщенные города) мы заменяем граф с городами на некоторый абстрактный ориентированный граф. Игроки по очереди переходят из вершины в вершину, и проигрывает тот, кто не может сделать новый ход (перейти в ранее не посещенную вершину).

Рассмотрим пример такой игры. Пусть P1 - игрок, который ходит первым, и P2 - игрок, который ходит вторым. Игра начинается с первой вершины. Здесь игрок P1 обладает следующей выигрышной стратегией: делает ход в вершину 2, после чего P2 переходит в вершину 4, так как это единственный вариант. Первый игрок ходит в вершину 5, и второй выбирает между вершинами 3 и 7. Но независимо от выбора игрока P2, P1 может перейти в вершину 9, откуда второй игрок никуда не может пойти.

Утверждение

Язык GG = { <G, b> | первый игрок в графе G, начиная игру с вершины b обладает выигрышной стратегией } является PS-полным.

Доказательство

Доказательство принадлежности задачи классу PS

Чтобы показать, что язык принадлежит классу PS, предъявим алгоритм, работающий на полиномиальной памяти, определяющий, обладает ли игрок выигрышной стратегией находясь в вершине v графа G.

Алгоритм M(<G,v>):

1. Если из вершины, в которой находится игрок, не ведет ни одного ребра в непосещенные ранее вершины, то вернем FALSE, мы проиграли.

2. Иначе запустим этот же алгоритм от всех вершин, в которые можно пойти, и если везде вернется TRUE, вернем FALSE, куда бы мы ни пошли, второй игрок выиграет. Если же хоть из одной вершины функция вернула FALSE, то вернем TRUE, в этой вершине второй игрок проигрывает.

Этот алгоритм перебором находит выигрышную стратегию для первого игрока, и очевидно, требует полиномиальную память: на каждом шаге одна или более вершин помечаются как посещенные, и более не обрабатываются.

Доказательство принадлежности задачи классу PSH

Для доказательства этого факта сведем задачу об игре двух игроков ∃ и ∀ в булевой КНФ-формуле с предваряющими кванторами (эта задача PS-трудная) к Generalized Geography за полиномиальное время.

Для игры двух игроков ∃ и ∀ наша формула представима в следующем виде: φ = ∃x1x2x3 ...∃xn(ψ) , где ψ - некая КНФ-формула.

Модель графа для сведения задачи об игре двух игроков ∃ и ∀ к задаче GG

Для любой такой КНФ-формулы с предваряющими кванторами можно построить граф, аналогичный приведенному на рисунке. Рассмотрим этот граф, и докажем, что это сведение задачи об игре игроков ∃ и ∀ к задаче Generalized Geography.

Левый столбец в этом графе описывает процедуру выборки игроками ∃ и ∀ значений переменных, если игрок выбирает TRUE, он идет в левую сторону, иначе в правую.

Зафиксировав значения переменных, игрок ∀ (т.к. в нашей КНФ-формуле с предваряющими кванторами последний квантор ∃) выбирает скобку, значение которой должно быть FALSE (тогда он выиграет!). На рисунке каждая скобка - отдельная вершина ci.

После того, как игрок ∀ зафиксировал скобку, игрок ∃ долджен выбрать переменную, значение которой не ноль (игроки уже зафиксировали значения переменных в самом начале) и сделать переход в соответсвующую вершинку. Т.к. значение этой переменной не ноль, то игрок ∀ не сможет никуда пойти из этой вершины (тогда ∃ выиграл, первый игрок обладает выигрышной стратегией в игре Generalized Geography). Для этого проведем ребра из каждый скобки ci в вершины-переменные, учавствующие в этой скобке, а от них проведем ребра к вершинам левого столбца, соответсвующим выборам TRUE или FALSE значений переменных.

Таким образом, если игрок ∃ выигрывает, то автоматически обладает выигрышной стратегией и первый игрок в Generalized Geography. Он знает, какие значения переменных надо выбрать, и в какую вершину пойти в конце. Аналогично, по выигрышной стратегии первого игрока в Generalized Geography можно узнать, какие значения переменных должен выбрать игрок ∃ для того, чтобы удовлетворить формулу.

Мы свели задачу об игре игроков ∃ и ∀ к задаче Generalized Geography. Значит, язык GG является PS-трудным, а так как выше мы доказали его принадлежность классу PS, то и PS-полным.