Изменения

|definition=<tex>\mathrm{TQBF}</tex> расшифровывается как '''True Quantified Boolean Formula'''. Это язык верных булевых формул с кванторами.<br/><tex>\mathrm{TQBF}=\{Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots ldots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dots, x_n), Q_i \in \{\forall, \exists\}\}</tex>.}}{{Определение|definition=<tex>Quantified Boolean Formula</tex> — это пропозициональная формула с кванторами. Кванторы для каждой переменной записываются в начале выражения.

|statement=<tex>\mathrm{TQBF } \in \mathrm{PS}</tex>.

<tex>solve(Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots ldots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dotsldots, x_n))</tex> '''if''' n == 0 '''return''' <tex>\phi</tex> '''if''' <tex>Q_1 == \forall</tex> '''return''' <tex>solve(Q_2 x_2 Q_{2} x_{2} \cdots ldots Q_n x_n \phi(0, x_2x_{2}, \dotsldots, x_n)) \land solve(Q_2 x_2 Q_{2} x_{2} \cdots ldots Q_n x_n \phi(1, x_2x_{2}, \dotsldots, x_n))</tex> '''if''' <tex>Q_1 == \exists</tex> '''return''' <tex>solve(Q_2 x_2 Q_{2} x_{2} \cdots ldots Q_n x_n \phi(0, x_2x_{2}, \dotsldots, x_n)) \lor solve(Q_2 x_2 Q_{2} x_{2} \cdots dots Q_n x_n \phi(1, x_2x_{2}, \dotsldots, x_n))</tex>

|statement=<tex>\mathrm{TQBF } \in \mathrm{PSH}</tex>.

Построим такую функцию <tex>f \colon \forall </tex>, что <tex>x \in L \Leftrightarrow f(x) \in TQBF</tex>.Так как <tex>L \in \mathrm{PSTQBF}</tex>, то существует какая-то детерминированная машина Тьюринга и <tex>M</tex>T(f, которая его распознаёт за полиномиальное от размера входа время.Пусть <tex>I</tex> — мгновенное описание <tex>M</tex>, тогда выражение <tex>\exists I</tex> обозначает <tex> (\exists x_1) (\exists x_2x)\cdotsle p(\exists x_n|x|)</tex>, где <tex>\{x_i\}p</tex> — все переменные мгновенного описания <tex>M</tex>. Аналогично выражение <tex> \forall I</tex> обозначает <tex> (\forall x_1) (\forall x_2)\dots(\forall x_n)</tex>. Теперь рассмотрим два мгновенных описания <tex>M: A</tex> и <tex>B</tex>. Напишем рекурсивную функцию <tex>\phi(A, B, t)</tex>, которая будет переводить утверждение <tex>A\vdash^tB</tex> в <tex>TQBF</tex> за полиномиальное относительно длины входа времяполином.

Так как <tex>L \phi(A, B, t) = \\ (\exists R) (\forall U) (\forall V) \ in \mathrm{\phi(U, V, t/2) \lor [\neg(A = U \land R = V) \land \neg(R = U \land B = V)]\PS}</tex> :Переменые <tex> U </tex> и <tex>V</tex> важно рассмотреть только в двух случаях: когда первое из них стартовое, второе — промежуточное, или первое — промежуточное, а второе — финишное. Поэтому для всех остальных вариантов выражение <tex>[\neg(A = U \land R = V) \land \neg(R = U \land B = V)]</tex> будет истинно. Если <tex>A = U \land R = V</tex> то, чтобы существует детерминированная машина Тьюринга <tex>\phi(A, B, t)M</tex> было истинно, необходимо наличие такого мгновенного описания <tex>R</tex>, чтобы было выполненно утверждение: <tex>A\vdash^{t/2}R</tex>распознающая его с использованием памяти полиномиального размера. Если <tex>R = U \land B = V</tex> то, нас интересует мгновенное описание <tex>R</tex> такоеБудем считать, что длина ленты машины <tex>R\vdash^{t/2}BM</tex>.Заметим, что размер функции есть <tex>\phir(A, B, tn)</tex> равен размеру <tex>\phi(A, B, t/2)где </tex> с константной добавкой <tex>(\exists R) (\forall U) (\forall V) \ \{\ * \lor [\neg(A = U \land B = R) \land \neg(A = R \land B = V)]\}r</tex> .Теперь мы можем записать функцию <tex>f(M— полином, w)а </tex>, которая будет переводить ДМТ <tex>M</tex> и слово на ленте <tex>w</tex> в <tex>TQBFn</tex>— длина входа.

Пусть <tex>f(M, w) = (|\exists I_s) (Sigma \exists I_f) (x_{I_scup Q|</tex>, 0} = start \land <tex>I</tex> — конфигурация <tex>M</tex>. Конфигурация задаётся позицией и содержанием рабочей ленты. Введём обозначение <tex>x_{I_sI, 1} = w[1] \land \dots \land x_{I_si, |w|c} = w[|</tex> — в конфигурации <tex>I</tex> на <tex>i</tex>-том месте стоит символ <tex>c</tex>. Тогда размер конфигурации равен <tex>w|]) \land r((\exists in) x_{I_f, i} = finish) \land \phi(Start, Finish, </tex>. Следовательно всего конфигураций <tex>2^{log_2(c^{1+pw r(n)}})</tex>.

ДокажемПод выражением <tex>\exists I</tex> будем понимать <tex> \exists x_{I,1,c_1} \, \exists x_{I,1,c_2} \ldots \exists x_{I,1,c_w} \, что получившаяся булева формула с кванторами удовлетворима тогда и только тогда\exists x_{I, когда 2,c_1} \ldots</tex> Аналогично выражение <tex> \forall I</tex> обозначает <tex>w \in Lforall x_{I,1,c_1} \, \forall x_{I,1,c_2} \ldots \forall x_{I,1,c_w} \, \forall x_{I,2,c_1} \ldots</tex>.

Если Рассмотрим функцию <tex>w \in Lphi(A, B, t)</tex>, то стартовое и финишное состояние заданы корректно. Также проверяющую следующее условие: конфигурация <tex>B</tex> достижима из стартового состояния можно попасть в финишное конфигурации <tex>A</tex> не более, чем за полиномиальное время<tex>2^t</tex> шагов.

<tex>\phi(A, B, 0) = (A = B) \lor (A \vdash B)</tex>. <tex>\phi(A, B, t) = \exists R \, [\phi(A, R, t-1) \land \phi(R, B, t-1)]</tex>. Общую длину получившейся формулы можно представить как <tex>L(t) = 2 L(t-1)+const</tex>. Заметим, что из-за умножения на 2 на каждом шаге рекурсии <tex>L(t)</tex> будет иметь экспоненциальный размер относительно <tex>t</tex>. Нас это не устраивает, так как нам необходимо полиномиальное сведение. Поэтому воспользуемся квантором <tex>\forall</tex> и перепишем её следующим образом: <tex>\phi(A, B, t) = \exists R \,\forall U \,\forall V \, \{[(U = A \land V = R) \lor (U = R \land V = B)] \rightarrow \phi(U, V, t-1)\}</tex>. Получившаяся формула верна, если существует такая промежуточная конфигурация <tex>R</tex>, что для любых конфигураций <tex>U</tex> и <tex>V</tex> из того, что эти конфигурации нам интересны следует, что верно <tex>\phi(U, V, t-1)</tex>. А значит, конфигурация <tex>B</tex> достижима из конфигурации <tex>A</tex> не более, чем за <tex>2^t</tex> шагов. За один шаг рекурсии длина максимального пути между конфигурациями уменьшается в два раза. Поэтому общую длину получившейся формулы можно представить как <tex>L(t) = L(t-1)+const</tex>, где <tex>const = \|\exists R \,\forall U \,\forall V \, \{\| + \|\land [(U = A \land V = R) \lor (U = R \land V = B)]\}\|</tex>.Следовательно, размер полученной функции <tex>\phi(A, B, t)</tex> полиномиален относительно <tex>t</tex>. Теперь мы можем записать функцию <tex>f(M, w)</tex>, которая будет переводить ДМТ <tex>M</tex> и слово на ленте <tex>w</tex> в формулу из <tex>\mathrm{TQBF}</tex>. <tex>f(M, w) = \exists S \, \exists F \, (S - start) \land (F - accept) \land \phi(S, F, log_2(2^{w r(n)})))</tex>. Выражения <tex>S - start</tex> и <tex>F - accept</tex> можно записать следующим образом: <tex>S - start = x_{S, 1, w[1]} \land x_{S, 2, w[2]} \land \ldots \land x_{S, |w|, w[|w|]} \land x_{S, |w| + 1, B} \ldots \land x_{S, r(n) , B}</tex>. <tex>F - accept = x_{F, 1, \#_y} \lor \ldots \lor x_{F, r(n), \#_y}</tex>.  Докажем, что сведение <tex>f</tex> корректно. Если <tex>w \not\in L</tex>, то если мы зададим корректное стартовое состояниесуществует путь из стартовой конфигурации в финишную, длины не более, чем <tex>2^{w r(n)}</tex>, а значит формула <tex>f(M, w)</tex> верна. Если формула <tex>f(M, w)</tex> оказалась верна, то пути до корректного финишного состояния существовать существует путь из стартовой конфигурации в финишную длины не можетболее, чем <tex>2^{w r(n)}</tex>. Значит, ДМТ <tex>M</tex> допускает слово <tex>w</tex>. Тогда <tex>w \in L</tex>. Таким образом, <tex>\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSH}</tex>.}}

Таким образом, {{Теорема|statement=<tex>\mathrm{TQBF } \in \mathrm{PSHPSC}</tex>.|proof=Доказательство непосредственно следует из лемм.