Изменения

|definition=<tex>\mathrm{TQBF}</tex> расшивровывается расшифровывается как '''True Quantified Boolean Formula'''. Это язык верных булевых формул с кванторами.<br/><tex>\mathrm{TQBF}=\{Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots ldots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dots, x_n), Q_i \in \{\forall, \exists\}\}</tex>.}}{{Определение|definition=<tex>Quantified Boolean Formula</tex> — это пропозициональная формула с кванторами. Кванторы для каждой переменной записываются в начале выражения.

|statement=<tex>\mathrm{TQBF } \in PSPACSE\mathrm{PS}</tex>.|proof=Чтобы доказать это , просто приведём программу<tex>solve</tex>, которая требует решающую булеву формулу с кванторами на <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти и работает работающую за конечное время. <tex>solve(Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots ldots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dotsldots, x_n))</tex> '''if''' n == 0 '''return''' <tex>\phi</tex> '''if''' <tex>Q_1 == \forall</tex> '''return''' <tex>solve(Q_2 x_2 Q_{2} x_{2} \cdots ldots Q_n x_n \phi(0, x_2x_{2}, \dotsldots, x_n)) \land solve(Q_2 x_2 Q_{2} x_{2} \cdots ldots Q_n x_n \phi(1, x_2x_{2}, \dotsldots, x_n))</tex> '''if''' <tex>Q_1 == \exists</tex> '''return''' <tex>solve(Q_2 x_2 Q_{2} x_{2} \cdots ldots Q_n x_n \phi(0, x_2x_{2}, \dotsldots, x_n)) \lor solve(Q_2 x_2 Q_{2} x_{2} \cdots dots Q_n x_n \phi(1, x_2x_{2}, \dotsldots, x_n))</tex>Эта программа требует <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти для хранения стека рекурсивных вызовов. Максимальная глубина стека — <tex>n</tex>.

|statement=<tex> \forall L mathrm{TQBF} \in PS \Rightarrow L \leq_p TQBFmathrm{PSH}</tex>.|proof=Рассмотрим какой-то язык <tex>L \in PSPACE\mathrm{PS}</tex>. Построим такую функцию <tex>f : \forall </tex>, что <tex>x \in L \Leftrightarrow f(x) \in \mathrm{TQBF}</tex> и <tex>T(f, x) \le p(|x|)</tex>, где <tex>p</tex> — полином. Так как <tex>L \in PSPACE\mathrm{PS}</tex>, то существует какая-то детерминированная машина Тьюринга <tex>M</tex>, которая распознающая его распознаёт за полиномиальное время на ленте с использованием памяти полиномиального размера. Будем считать, что длина ленты машины <tex>M</tex> есть <tex>r(n)</tex>, где <tex>r</tex> — полином, а <tex>n</tex> — длина входа. Пусть <tex>w = |\Sigma \cup Q|</tex>, <tex>I</tex> — мгновенное описание конфигурация <tex>M</tex>. Конфигурация задаётся позицией и содержанием рабочей ленты. Введём обозначение <tex>x_{I, тогда i,c}</tex> — в конфигурации <tex>I</tex> на <tex>i</tex>-том месте стоит символ <tex>c</tex>. Тогда размер конфигурации равен <tex>w r(n)</tex>. Следовательно всего конфигураций <tex>2^{w r(n)}</tex>. Под выражением <tex>\exists I</tex> будем понимать <tex> \exists x_{I,1,c_1} \, \exists x_{I,1,c_2} \ldots \exists x_{I,1,c_w} \, \exists x_{I,2,c_1} \ldots</tex> Аналогично выражение <tex>\exists forall I</tex> обозначает <tex> \forall x_{I,1,c_1} \, \forall x_{I,1,c_2} \ldots \forall x_{I,1,c_w} \, \forall x_{I,2,c_1} \ldots</tex> Рассмотрим функцию <tex>\phi(A, B, t)</tex>, проверяющую следующее условие: конфигурация <tex>B</tex> достижима из конфигурации <tex>A</tex> не более, чем за <tex>2^t</tex> шагов. <tex>\exists x_1phi(A, B, 0) = (A = B) \lor (A \exists x_2vdash B)</tex>. <tex>\cdotsphi(A, B, t) = \exists x_nR \, [\phi(A, R, t-1) \land \phi(R, B, t-1)]</tex>. Общую длину получившейся формулы можно представить как <tex>L(t)= 2 L(t-1)+const</tex>. Заметим, где что из-за умножения на 2 на каждом шаге рекурсии <tex>\{x_i\}L(t)</tex> — все переменные мгновенного описания будет иметь экспоненциальный размер относительно <tex>Mt</tex>. Аналогично выражение Нас это не устраивает, так как нам необходимо полиномиальное сведение. Поэтому воспользуемся квантором <tex> \forall I</tex> обозначает и перепишем её следующим образом: <tex> \phi(A, B, t) = \exists R \,\forall x_1U \,\forall V \, \{[(U = A \land V = R) \lor (U = R \forall x_2land V = B)] \dotsrightarrow \phi(U, V, t-1)\}</tex>. Получившаяся формула верна, если существует такая промежуточная конфигурация <tex>R</tex>, что для любых конфигураций <tex>U</tex> и <tex>V</tex> из того, что эти конфигурации нам интересны следует, что верно <tex>\forall x_nphi(U, V, t-1)</tex>. Теперь рассмотрим А значит, конфигурация <tex>B</tex> достижима из конфигурации <tex>A</tex> не более, чем за <tex>2^t</tex> шагов. За один шаг рекурсии длина максимального пути между конфигурациями уменьшается в два мгновенных описание раза. Поэтому общую длину получившейся формулы можно представить как <tex>M : AL(t) = L(t-1)+const</tex> и , где <tex>const = \|\exists R \,\forall U \,\forall V \, \{\| + \|\land [(U = A \land V = R) \lor (U = R \land V = B)]\}\|</tex>. Напишем полиномиальную рекурсивную функцию Следовательно, размер полученной функции <tex>\phi(A, B, t)</tex> полиномиален относительно <tex>t</tex>. Теперь мы можем записать функцию <tex>f(M, w)</tex>, которая будет переводить утверждение ДМТ <tex>M</tex> и слово на ленте <tex>w</tex> в формулу из <tex>\mathrm{TQBF}</tex>. <tex>Af(M, w) = \exists S \, \exists F \, (S - start) \land (F - accept) \land \vdashphi(S, F, log_2(2^tB{w r(n)})))</tex>. Выражения <tex>S - start</tex> и <tex>F - accept</tex> можно записать следующим образом: <tex>S - start = x_{S, 1, w[1]} \land x_{S, 2, w[2]} \land \ldots \land x_{S, |w|, w[|w|]} \land x_{S, |w| + 1, B} \ldots \land x_{S, r(n) , B}</tex>. <tex>F - accept = x_{F, 1, \#_y} \lor \ldots \lor x_{F, r(n), \#_y}</tex> в TQBF.

ЗаметимДокажем, что размер функции <tex>\phi(a, B, t)</tex> равен размеру <tex>\phi(A, B, t/2)</tex> с константной добавкой.Теперь мы можем записать функцию сведение <tex>f(M, w)</tex> которая будет переводить ДМТ <tex>M</tex> и слово на ленте <tex>w</tex> в <tex>TQBF</tex>корректно.

Если <tex>f(M, w) = (\exists I_s) (\exists I_f) (x_{I_sin L</tex>, 0} = start \land x_{I_sто существует путь из стартовой конфигурации в финишную, 1} = w[1] \land \dots \land x_{I_s, |w|} = w[|w|]) \land ((\exists i) x_{I_f, i} = finish) \land \phi(Start, Finishдлины не более, чем <tex>2^{log_2(c^{1+pw r(n)}})</tex>Докажем, что получившаяся булева а значит формула с кванторами удовлетворима тогда и только тогда, когда <tex>f(M, w \in L)</tex>Если <tex>w \in L</tex>, то стартовое и финишное состояние задано корректно. Также из стартового состояния можно попасть в финишное за полиномиальное времяверна.

Если формула <tex>f(M, w)</tex> оказалась верна, то существует путь из стартовой конфигурации в финишную длины не более, чем <tex>2^{w r(n)}</tex>. Значит, ДМТ <tex>M</tex> допускает слово <tex>w</tex>. Тогда <tex>w \not\in L</tex>. Таким образом, то если мы задодим корректное стартовое состояние, то пути до корректного финишного состояния существовать не может<tex>\mathrm{TQBF} \in \mathrm{PSH}</tex>.