PSumCi

Материал из Викиконспекты
Версия от 22:15, 4 июня 2016; 188.227.78.59 (обсуждение) (Псевдокод)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

[math]P \mid \mid \sum C_{i}[/math]

Задача:
Дано [math]n[/math] работ с заданными временами выполнения [math]p_{i}[/math] и [math]m[/math] параллельных станков с одинаковой скоростью выполнения работ.
Цель — составить такое расписание, чтобы суммарное время окончания всех работ было минимальным.


Описание алгоритма[править]

Идея[править]

Пусть [math]p_{i}[/math] заданы в порядке невозрастания ([math]p_{0} \geqslant p_{1} \geqslant \ldots \geqslant p_{n-1} [/math]). Пусть теперь [math]b_{i} = \left\lceil\dfrac{i}{m}\right\rceil[/math]. Тогда в оптимальном расписании работа с номером [math]i[/math] будет выполнена на станке с номером [math]i \bmod m[/math], [math]b_{i}[/math]-ой с конца.

Псевдокод[править]

Итоговым расписанием будет массив [math]\mathtt{schedule}[/math] где в [math]\mathtt{schedule[i][j]}[/math] храниться номер работы которую надо исполнить на станке номер [math]i[/math], [math]j[/math]-ой по счёту.

function getSchedule(p : int[n]): list<int>[m]
  Pair<int,int> jobs[n]
  for i = 0 to n
    jobs[i] = [math]\langle[/math]p[i], i[math]\rangle[/math] // Создаём пары для востановления номера работы после сортировки.
  sort(jobs) // Cортируем массив в порядке уменьшения p[i].
list<int> schedule[m] // Заведём список работ для каждого станка. Ответ будет храниться в нём. for i = 0 to n schedule[i mod m].pushFront(jobs[i].second) // Cтавим i-ую в порядке уменьшения p[i] работу на станок i mod m в конец.
return schedule

Ассимптотика[править]

Так как нам понадобится сортировка для массива [math]p_{i}[/math], то итоговая ассимптотика будет [math]\mathcal{O}(n\log{n})[/math].

Доказательство корректности[править]

Докажем две леммы:

Лемма:
В оптимальном расписании на каждом станке работы выполняются в порядке неубывания времён выполнения.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть это не так. Заметим что [math]\sum\limits_{i=0}^{n-1} C_{i} = \sum\limits_{i=0}^{n-1} p_{i} \cdot b_{i}[/math]. Следовательно каждая работа даёт вклад равный [math]p_{i} \cdot b_{i}[/math]. Тогда поменяем местами две работы которые нарушают порядок невозрастания. Заметим что [math]\sum\limits_{i=0}^{n-1} C_{i}[/math] уменьшилась. Следовательно — оптимальное расписание не оптимально. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
В оптимальном расписании количество выполненных работ на любых двух станках отличается не более чем на [math]1[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть это не так. Как было отмечено в предыдущей лемме, каждая работа даёт вклад в [math]\sum\limits_{i=0}^{n-1} C_{i}[/math] равный [math]p_{i} \cdot b_{i}[/math]. Найдём два станка количество работ на которых отличается больше чем на [math]1[/math]. Пусть это станки [math]x[/math] и [math]y[/math]. Причём на стнаке [math]x[/math] выполняется больше работ. Тогда если отправить первую с начала работу со станка [math]x[/math] на станок [math]y[/math] то [math]\sum\limits_{i=0}^{n-1} C_{i}[/math] уменьшится на разность количества работ на станках [math]x[/math] и [math]y[/math]. Следовательно — оптимальное расписание не оптимально. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Алгоритм [math]P \mid \mid \sum C_{i}[/math] строит оптимальное расписание.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть это не так и оптимальное расписание отличается от расписания построенного алгоритмом. Заметим что расписание построенное алгоритмом удовлетворяет обеим леммам. Тогда можно воспользоваться одной из них чтобы улучшить оптимальное раписание. Следовательно — оптимальное расписание не оптимально. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]

  • P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 22