Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Pintreepi1Lmax

1981 байт добавлено, 22:58, 30 мая 2016
Второй шаг
|definition=Рассмотрим задачу на нахождение расписания:
# У нас есть несколько станков, работающих параллельно. У станков могут быть разные скорости выполнения работ.
# Есть несколько заданий, каждое из которых имеет определенный порядок, который указан в направленном из корней в лист [[Классификация задач#Характеристики работintree|intree-дерева]], которое имеет несколько корней и один лист.
# Любая работа на любом станке выполняется единицу времени.
Требуется минимизировать максимальное опоздание <tex>L_{max} = \max\limits_i \{C_i - d_i\}</tex>.
=== Идея ===
Все работы хранятся в качестве вершин [[Классификация задач#Характеристики работintree|intree-дерева]], состоящем из <tex>n</tex> вершин, нескольких корней и одного листа. В intree-дереве у одной вершины может быть два и более родителей.Решение задачи состоит из двух шагов: на первом шаге мы меняем сроки выполнения  # Меняем делайны работ в соответствии с их очередностью: для всех <tex>i, j</tex> таких, что существует ребро из <tex>i</tex> в <tex>j</tex> будем менять <tex>{d_i}</tex> на <tex>\min ({d_i}, {d_j} - 1) </tex>. # Работы расставляются в неубывающем порядке их дедлайнов.
# Для всех <tex>i, j</tex> таких, что существует ребро из <tex>i</tex> в <tex>j</tex> будем менять <tex>{d_i}</tex> на <tex>\min ({d_i}, {d_j} - 1) </tex>.
# Работы расставляются в неубывающем порядке сроков.
=== Псевдокод ===
==== Первый шаг ====
Алгоритм изменения сроков:На первом шаге мы релаксируем дедлайны всех работ, кроме листовой, в соответствии с предыдущим пунктом. * В массиве <tex>\mathtt d</tex> хранятся дедлайны работ.* В массиве <tex>\mathtt {parents}</tex> {{---}} массив предков <tex>i = 0</tex>-й работы. '''for''' k = 1 * В переменной <tex>\mathtt i</tex> хранится номер листа (он один, см.условие задачи). n '''ifDeque<int>''' k.leave =deque = <tex>\varnothing</tex> i = k <font color=green> // такая вершина только одна (intree-дерево) </font> deque.push(i) <font color=green> // пустой дек </font> '''while''' deque '''not''' emptydeque.isEmpty i '''int''' j = deque.remove_firstremoveFirst() '''for''' j : i.parents j.deadline = k '''minin''' parents[j] d[k] = min(d[k], d[j.deadline, (i ] - 1).deadline) stackdeque.add_lastaddLast(jk)
==== Второй шаг ====
На втором этапе алгоритма работы сортируются в неубывающем порядке их дедлайнов. Предполагается, что работы будут занумерованы в соответствии с предыдущим пунктомтак, т.е. что <tex>d_{i} \leqslant d_{j}</tex>, если <tex>i \leqslant j</tex>.* В переменной <tex>\mathtt F</tex> хранится время, когда какой-либо станок освободится.
* В массиве <tex>\mathtt r</tex> хранится информация о максимальном времени завершении обработки родителя.
* Массив <tex>\mathtt q</tex> хранит информацию о количестве работ, готовых к исполнению (находящихся в очереди) в момент времени <tex>t</tex>.
* Массив <tex>\mathtt x</tex> хранит информацию о начале выполнения работы <tex>i</tex>.
* В массиве <tex>\mathtt {child}</tex> хранится индекс ребенка <tex>i</tex>-й работы.
F = 0
'''for''' '''int''' i = 1 .. n
r[i] = 0
'''for''' '''int''' t = 0 .. n
q[t] = 0
'''for''' '''int''' i = 1 .. n t = '''maxint''' t = max(r[i], F)
x[i] = t
q[t] = q[t] + 1
'''if''' q[t] == m
F = t + 1
'''int''' j = child[i.child()] r[j] = '''max''' (r[j], t + 1) В результате ответ можно получить, зная конечный массив <tex>\mathtt x</tex> и делайны работ: <tex>L_{max} = \max\limits_i (\mathtt x[i] + 1 - d_{i}</tex>), так как все работы выполняются единицу времени, следовательно, <tex>C_{i} = \mathtt x[i] + 1</tex>. Можно заметить, что при вычислении ответа неважно, какие дедлайны использовать, начальные или релаксированные, потому что для любого <tex>k</tex> и его предка <tex>i</tex> либо производится релаксация и выполняется равенство <tex> d_{k} = d_{i} - 1</tex>, а значит, после релаксации максимум не изменится, поскольку при замене дедлайна на меньший максимум увеличится, а новое значение <tex>L_{k}</tex> будет равно <tex>L_{i}</tex>, либо мы не делали релаксацию, и значение <tex>d_{k}</tex>, и, следовательно, <tex>L_{k}</tex> не поменяются.
=== Доказательство корректности ===
<tex>\Leftarrow </tex>
:Пусть у нас были сроки <tex>{d_i}</tex> и мы их заменили на <tex>{d'_i}</tex> в соответствии с приведенным алгоритмом.
:Пронумеруем вершины от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> в соответствии с '''обратным''' порядком обхода в алгоритме изменения сроков, причём <tex>d_{i} \leqslant d_{j}</tex>, если <tex>i \leqslant j</tex>. В соответствии с расписанием, время, когда деталь закончит обрабатываться на станке <tex>{C_i}</tex> удовлетворяет неравенству <tex>{C_i} \leqslant {d_i}</tex> для всех <tex>{C_1} \dots {C_n}</tex>. Тогда мы имеем <tex>{C_n} \leqslant {d_n} = {d'_n}</tex>. Если для какого-то <tex>1 < r \leqslant n</tex> мы имеем <tex>{C_n} \leqslant {d'_n}</tex> для <tex>i = r \dots n </tex> и существует работа <tex>j</tex> из этого промежутка, что вершина с номером <tex>r - 1</tex> является ее родителем, тогда <tex>C_{r-1} \leqslant \min(d_{r-1},d'_{j}-1) = d'_{r-1}</tex>.
}}
Если существует такое расписание, в котором ни одна из работ не будет выполнена с опозданием, то тогда это свойство сохранится в построенном данным алгоритмом расписании
|proof=
Предположим, что существует работа из <tex>x_{1} \dots x_{n}</tex> расписания, построенного алгоритмом. В таком случае существует работа, которая опоздала по отношению к измененным срокам. Возьмем наименьшее <tex>i</tex> такое, что <tex>x(i) + 1 > d'_{i}</tex>. Пусть <tex>t < d'_{i}</tex> {{---}} наибольшее из удовлетворяющих условию <tex>j < m \mid </tex>, где <tex> x(j) = t, d'_{j} \leqslant d'_{i}</tex>
Такое <tex>t</tex> существует, потому что иначе <tex>m \cdot d'_{i}</tex> работ <tex>j</tex> с <tex>d'_{j} \leqslant d'_{i}</tex> находятся в очереди до <tex>d'_{i}</tex>. Работа <tex>i</tex> к ним не принадлежит, поскольку <tex>x(i) + 1 > d'_{i}</tex>, а значит, что <tex>m \cdot d'_{i} + 1</tex> должны быть в очереди в момент времени <tex>0 \dots d'_{i}</tex> и ни одна работа не должна опаздывать. Противоречие.
Любая работа <tex>j</tex> с <tex>d'_{j} \leqslant d'_{i} </tex> и <tex> x(j) > t </tex> должна иметь предка, начавшего работать в момент времени <tex>t</tex>. Теперь рассмотрим два случая:
:В этом случае <tex>m</tex> работ <tex>j</tex> таких, что <tex>d'_{j} \leqslant d'_{i}</tex> начнут работать в момент времени <tex>t + 1</tex>, каждая из которых имеет как минимум работающего в <tex>t</tex> предка. По структуре дерева все эти предки различны, кроме того, если <tex>k</tex> {{---}} такой предок <tex>j</tex>, тогда <tex>d'_{k} \leqslant d'_{j} - 1 < d'_{j} \leqslant d'_{i}</tex>, что противоречит выбору <tex>t</tex>
}}
 
==== Корректность алгоритма ====
{{Теорема
==== Асимптотика ====
# Посещаем На первом шаге мы посещаем каждую вершину ровно один не более двух раз (для изменения временипервый {{---}} когда ищем вершину без родителя, второй {{---}} когда релаксируем дедлайны) за <tex>O(n)</tex> времени.# Делаем сортировку вершин за <tex>O(n \log n)</tex>, а затем для каждой обходим все вершины по разу и считаем время начала выполнения каждой работы, в сумме за линейное время<tex>O(n)</tex>.
Итоговая сложность {{---}} <tex>O(n \log n)</tex>
 
==См. также==
*[[P2precpi1Lmax|<tex>P2 \mid prec, p_i = 1 \mid L_{\max}</tex>]]
*[[1outtreesumwc | <tex>1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i</tex>]]
==Источники информации==
317
правок

Навигация