Изменения

<div styletex dpi ="background-color: #ABCDEF; font-size: 16px; font-weight: bold; color: #000000; text-align: center; padding: 4px; border-style: solid; border-width: 1px;200">Эта статья находится в разработке!Q \mid pmtn \mid C_{max}</divtex>{{Задача|definition=Дано <includeonlytex>[[Категория: В разработке]]m</includeonlytex> ==Постановка задачи==Есть несколько станков с разной скоростью выполнения работ, работающих параллельно, и <tex>n</tex> работ. Работу на каждом из станков можно прервать Работа может быть прервана в любой момент и продолжить продолжена позжена любой машине.  Цель - выполнить все как можно быстрее. 1. Найдем нижнюю границу времени Необходимо минимизировать время выполнениявсех работ. 2. Составим оптимальное расписание.}}

===Описание алгоритма===Перед выполнением алгоритма, упорядочим все работы по убыванию их времени выполнеиявыполнения:<tex> p_1 \ge geqslant p_2 \ge geqslant p_3... \ldots \geqslant p_n</tex>, а все машины в порядке убывания скоростей: <tex> s_1 \geqslant s_2 \geqslant s_3 \ldots \geqslant s_m</tex>.Введем следующие обозначения:

*<tex> P_i = p_1 + ... \ldots + p_i</tex>, <tex>i = 1 \ldots n</tex> {{---}} сумма первых <tex>i</tex> работ*<tex>S_j = s_1 + \ldots + s_j</tex>, <tex>j = 1 \ldots m</tex> {{---}} сумма скоростей первых <tex>j</tex> станков

Необходимое условие для выполнения всех работ в интервале <tex> S_j = s_1 + ... + s_j[0 \ldots T]</tex>:

Где <tex>i P_n = 1 ... n</tex>; <tex>j p_1 + \ldots + p_n \leqslant s_1T + \ldots + s_mT = 1 ... m</tex>; <tex> p_i</tex> - вес <tex>i</tex>-ой работы ;<tex> s_jS_mT</tex> - скорость работы или <tex> j \dfrac{P_n}{S_m} \leqslant T</tex>-oй машины ;

Необходимое Кроме того, должно выполняться условие <tex>\dfrac{P_j}{S_j} \leqslant T</tex> для всех <tex> j = 1 \ldots m - 1 </tex>, так как это нижняя оценка времени выполнения всех работ в интервале <tex>[0;T]J_1 \ldots J_j</tex>. Исходя из этого получаем нижнюю границу <tex>C_{max}</tex>:

<tex> P_n C_{max} = p_1 + ... + p_n \le s_1T + ... + s_mT = S_mT</tex> или <tex>max\left \{\begin{array}{ll} \dfrac{P_n/}{S_m } \\\le Tmax\limits_{j=1 \ldots m-1} \dfrac{P_j}{S_j} \end{array} \right. </tex>

Кроме того, должно выполняться условие Перейдем к описанию алгоритма. Будем назвать <tex>P_j/S_j \le Tmathrm{level}</tex> для всех -ом работы <tex> j = 1..m - 1 p_i(t) </tex>, так как это нижняя оценка времени выполнения работ невыполненную часть работы <tex> J_1...J_{m-1}p_i </tex>. Исходя из этого получаем нижнюю границу в момент времени <tex>C_{max}t </tex> :.

Далее построим расписание, которое достигает нашей оценки <tex>C_{max}</tex> = , с помощью <tex>\max\mathrm{\max\limits_{j=1}^{m-1} {P_j \over S_j}, {P_n \over S_m}\level}</tex>-алгоритма.

Будем назвать Level-ом работы ===Псевдокод===Функция <tex>\mathrm{level}</tex> p_iпринимает на вход два массива — массив с объемами работ и массив скоростей обработки станков, и возвращает вектор четвёрок, где первый элемент является номером станка, второй — номером работы, а два оставшихся время начала и окончания обработки этой работы на этом станке. '''function''' level(p : '''int[n]''', s : '''int[m]''') : '''vector<int, int, int, int>''' '''vector<int, int, int, int>''' ans '''int''' t= 0 '''int''' k = n <font color=green> // количество еще не выполненных работ </font> sort(p) <font color=green> // сортируем время обработки работ по убыванию </texfont> sort(s) <font color=green> // сортируем станки по убыванию скоростей </font> '''while''' k > 0 '''int[]''' to = assign(p, k, m) <font color=green> // получаем распределение работ по станкам </font> Найдем минимальное dt1 отличное от нуля такое, что (p[i] - s[to[i]] * dt1) = 0 Найдем минимальное dt2 такое, что p[i] > p[j] и (p[i] - s[to[i]] * dt2 = p[j] - s[to[j]] * dt2) <font color=green> // то есть такое минимальное время, через которое, </font> <font color=green> // оставшийся объем каких-нибудь двух работ сравняется </font> '''int''' dt = min(dt1, dt2) '''for''' j = 0 '''to''' n - невыполненную часть работы 1 '''if''' p[j] > 0 '''if''' to[j] <tex> p_i \neq </tex> -1 <font color=green> // рассматриваем работы которые обрабатываются в момент времени данном распределении<tex/font> ans.push(to[j], j, t, t + dt) p[j] -= s[to[i]] * dt '''if''' p[j] == 0 k-- t += dt <font color=green> // поиск следующего момента времени, в который нужно будет перераспределить машины/работы </texfont> '''return''' ans

Далее построим расписание, которое достигает нашей оценки Функция <tex>w\mathrm{assign}</tex>принимает на вход массив с объемами работ и возвращает массив с распределением работ. '''function''' assign(p : '''int[n]''', с помощью k : '''int''', m : '''int''') : '''int[]''' '''int[n]''' to <texfont color=green>Level// j работа обрабатывается на to[j] станке </texfont> fill(to, -алгоритма1) '''set<int>''' s <font color=green> // множество уже распределенных работ </font> '''int''' i = 0 '''while''' i < m '''and''' i < k Находим первый j такой что p[j] максимальный и s не содержит j s.add(j) m[j] = i++ '''return''' to

===Асимптотика===<tex>Level\mathrm{level}</tex> - алгоритм:вызывает функцию <tex>\mathrm{assign}(t) </tex> в самом худшем случае <tex>O(n)</tex> раз. Функция <tex>\mathrm{assign}(t) </tex> выполняется за <tex>O(nm)</tex>. Итоговое время работы <tex>O(n^2m)</tex>.

Функция ===Доказательство корректности алгоритма==={{Теорема|statement=Расписание, построенное данным алгоритмом, является корректным и оптимальным.|proof=Так как нижняя граница <tex>Assign(t)C_{max}</tex>:

<tex>J </tex> - множество работ с положительным <tex>level</tex>C_{max} = \max <tex>M = \left \{\begin{array}{M_1,...,M_mll} \dfrac{P_n}{S_m}</tex> \\\max\limits_{j=1 \ldots m- множество всех станков '''WHILE''' множества <tex>J</tex> и <tex>M</tex> не пустые Найти множество работ <tex>I</tex> подмножество <tex>J</tex> ,<tex>level</tex> которых максимальный <tex>r 1} \leftarrow min</tex>(|<tex>M</tex>|,|<tex>I</tex>|) Назначаем работы из множества <tex>I</tex> на <tex>r</tex> самых быстрых машин из множества <tex>M</tex> <tex>J dfrac{P_j}{S_j} \leftarrow J</tex>end{array} \<tex>I</tex>right. удаляем из мн-ва <tex>M</tex> <tex>r</tex> самых быстрых машин

Будем считать, что в начале алгоритма все работы упорядочены, как было сказано ранее: <tex>C_{max}p_1(0) \geqslant p_2(0) \geqslant \ldots \geqslant p_n(0) </tex> = . Это утверждение не меняется на протяжении всего выполнения алгоритма, для любого момента времени. Получаем: <tex>p_1(t) \maxgeqslant p_2(t) \{geqslant \maxldots \limits_{j=1}^{m-1} {P_i \over S_j}geqslant p_n(t) </tex>. Докажем что алгоритм составляет расписание в соответствии с этим свойством. Чтобы доказать этот факт, {P_n \over S_m}\}будем считать что в любой момент времени <tex>T</tex>нет простоев машин, когда есть хотя бы одна невыполненная работа. Получаем:

Будем считать, что в начале алгоритма все работы упорядочены, как было сказано ранее: <tex> p_1(0) \ge p_2(0) \ge Таким образом необходимая оценка достигается нашим алгоритмом... \ge p_n(0) </tex>. Это утверждение не меняется на протяжении всего выполнения алгоритма, для любого момента времени. Получаем: <tex> p_1(t) \ge p_2(t) \ge ... \ge p_n(t) </tex>. Докажем что алгоритм составляет расписание в соответствии с этим свойством. Чтобы доказать этот факт, будем считать что в любой момент времени <tex>T</tex> нет простоев машин, когда есть хотя бы одна невыполненная работа. Получаем:

Допустим хотя бы одна машина простаивает, в момент когда есть невыполненные работы, получим следующее неравенство для времен окончания работ (обозначим далее как <tex> T(s_1 + ... + s_m) = p_1 + p_2 + ... + p_n f_i </tex> или ) на станках <tex> T = {P_n M_1 \over S_m} ldots M_m</tex>, пронумерованных по убыванию скоростей:

Допустим хотя бы одна машина простаивает, в момент когда есть невыполненные работы, мы имеем следующее Докажем написанное выше неравенство для времен окончания работ (обозначим далее как <tex> f_i </tex>) на станках <tex>M_1 ... M_m</tex>:

Предположим, что <tex> f_1 f_i < f_{i+1} </tex> для некоторого <tex> 1 \ge f_2 leqslant i \ge .leqslant m-1 </tex>.Тогда <tex>\mathrm{level}</tex> последней работы, выполнявшейся на станке <tex> M_i </tex> в момент времени <tex> f_i - \varepsilon </tex> (где <tex> \varepsilon > 0</tex> достаточно мал) меньше, чем <tex>\mathrm{level}</tex> последней работы на станке <tex> M_{i+1} </tex>. Пришли к противоречию, так как при распределении, работы с наибольшим <tex>\ge f_m mathrm{level}</tex>выставлялись на самые быстрые станки.

В этом случае, если Пусть <tex> f_i T < /tex> = <tex> f_1 = f_2 = f_3 = \ldots = f_j > f_{ij+1} </tex> для некоторого ,где <tex> 1 \le i \le j < m-1 </tex>. Чтобы работы завершились в момент времени <tex> T </tex>, необходимо начать их в момент времени 0, поскольку если это не выполняется, то у нас найдется работа <tex> J_i </tex> , которая начинается позже <tex> t = 0 </tex> и заканчивается в <tex> T </tex>. Это означает, Level последней работы выполнявшейся что в момент времени <tex> 0 </tex> начинаются как минимум <tex> m </tex> работ. Пусть первые <tex> m </tex> работ стартовали вместе на станке всех машинах. Мы получаем <tex> M_i p_1(0) \geqslant p_2(0) \geqslant \ldots \geqslant p_m(0) \geqslant p_i(0) </tex> равен , из чего следует, что <tex> f_i p_1(T - \varepsilon ) \geqslant \ldots \geqslant p_m(T - \varepsilon) \geqslant p_i(T - \varepsilon) > 0 </tex>. Где для любого <tex> \varepsilon </tex>, удовлетворяющего условию <tex> 0\leqslant \varepsilon < T - t </tex> достаточно мал. Таким образом, и меньше чем до момента времени <tex>LevelT </tex> последней работы на станке нет простаивающих машин. Пришли к противоречию. Получаем <tex> M_T = \dfrac{P_j}{i+1S_j} </tex>. Пришли к противоречию.}}

===Пример===

Пусть у нас есть <tex>6 </tex> работ и <tex>3 </tex> станка. Покажем работу алгоритма для данного случая. В начальный момент времени начинаем обрабатывать работы с наибольшим временем выполнения <tex>J_1</tex>, <tex>J_2</tex> и <tex>J_3</tex> на станках <tex>M_1</tex>, <tex>M_2</tex> и <tex>M_3</tex> соответственно. В момент времени <tex>T_1</tex> <tex>\mathrm{level}</tex> <tex>1</tex>-ой работы и <tex>2</tex>-ой работы совпадает. С этого момента начинаем обрабатывать работы <tex>J_1</tex> и <tex>J_2</tex> синхронно на станках: <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. В момент времени <tex>T_2</tex> работа <tex>J_3</tex> опускается до уровня работы <tex>J_4</tex>.Работы <tex>J_3</tex> и <tex>J_4</tex> выполняем одновременно на одном станке <tex>M_3</tex>. В момент времени <tex>T_3</tex> начинаем выполнять первые четыре работы на всех станках одновременно, далее просто добавятся работы <tex>J_5</tex> и <tex>J_6</tex>, и все работы закончатся одновременно.

В начальный момент времени начинаем обрабатывать работы с наибольшим временем выполнения <tex>J_1-J_3</tex> на станках <tex>M_1-M_3</tex> соответственно==См. В момент времени также==* [[QpmtnSumCi|<tex>T_1Q \mid pmtn \mid \sum C_i</tex> <tex>lvl</tex> 1-ой работы и 2-ой работы совпадает. С этого момента начинаем обрабатывать работы <tex> J_1,J_2</tex> синхронно на станках: <tex>M_1 M_2</tex>. В момент времени <tex>T_2</tex> работа <tex>J_3</tex> опускается до уровня работы <tex>J_4</tex>.Работы <tex> J_3,J_4</tex> выполняем одновременно на одном станке <tex> M_3</tex>. В момент времени <tex>T_3</tex> начинаем выполнять первые четыре работы на всех станках одновременно, далее просто добавятся работы <tex>J_5 J_6</tex> и все работы закончатся одновременно.]]

==Время работыИсточники информации==Level* Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{-алгоритм вызывает функцию Assign(t) в самом худшем случае <tex>O(n)</tex> раз--}} «Springer», 2006 г. Функция Assign(t) выполняется за <tex>O(nm)</tex>. Итоговое время работы <tex>O(n^2m)</tex>{{---}} 124 {{---}} 129 стр.{{---}} ISBN 978-3-540-69515-8