Изменения

<div styletex dpi ="background-color: #ABCDEF; font-size: 16px; font-weight: bold; color: #000000; text-align: center; padding: 4px; border-style: solid; border-width: 1px;200">Эта статья находится в разработке!Q \mid pmtn \mid C_{max}</divtex>{{Задача|definition=Дано <includeonlytex>[[Категория: В разработке]]m</includeonlytex> ==Постановка задачи==Есть несколько станков с разной скоростью выполнения работ, работающих параллельно, и <tex>n</tex> работ. Работу на каждом из станков можно прервать Работа может быть прервана в любой момент и продолжить продолжена позжена любой машине.  Цель - выполнить все как можно быстрее. 1. Найдем нижнюю границу времени Необходимо минимизировать время выполнениявсех работ. 2. Составим оптимальное расписание.}}

===Описание алгоритма===Перед выполнением алгоритма, упорядочим все работы по убыванию их времени выполнеиявыполнения:<tex> p_1 \ge geqslant p_2 \ge geqslant p_3... \ldots \geqslant p_n</tex>. , а все машины в порядке убывания скоростей: <tex> P_i = p_1 + ... + p_is_1 \geqslant s_2 \geqslant s_3 \ldots \geqslant s_m</tex> <tex> S_j = s_1 + ... + s_j</tex>Введем следующие обозначения:

Где *<tex>i P_i = 1 ... np_1 + \ldots + p_i</tex>; , <tex>j i = 1 ... m\ldots n</tex>; {{---}} сумма первых <tex> p_ii</tex> - стоимость работ*<tex>iS_j = s_1 + \ldots + s_j</tex>-ой работы ;, <tex> s_jj = 1 \ldots m</tex> {{-- скорость работы -}} сумма скоростей первых <tex> j </tex>-oй машины ;станков

Необходимое условие для выполнения всех работ в интервале <tex>[0;\ldots T]</tex>:

<tex> P_n = p_1 + ... \ldots + p_n \le leqslant s_1T + ... \ldots + s_mT = S_mT</tex> или <tex>\dfrac{P_n/}{S_m } \le leqslant T</tex>

Кроме того, должно выполняться условие <tex>\dfrac{P_j/}{S_j } \le leqslant T</tex> для всех <tex> j = 1..\ldots m - 1 </tex>, так как это нижняя оценка времени выполнения работ <tex> J_1...J_{m-1}\ldots J_j</tex>. Исходя из этого получаем нижнюю границу <tex>C_{max}</tex> :

<tex>C_{max}</tex> = <tex>\max\left \{\begin{array}{ll} \dfrac{P_n}{S_m} \\\max\limits_{j=1}^{\ldots m-1} \dfrac{P_j \over }{S_j}, \end{P_n \over S_marray}\}right. </tex>

Перейдем к описанию алгоритма. Будем назвать <tex>Level\mathrm{level}</tex>-ом работы <tex> p_i(t) </tex> - невыполненную часть работы <tex> p_i </tex> в момент времени <tex> t </tex>.

Далее построим расписание, которое достигает нашей оценки <tex>C_{max}</tex>, с помощью <tex>Level\mathrm{level}</tex>-алгоритма.

===Псевдокод===Функция <tex>Level\mathrm{level}</tex> принимает на вход два массива — массив с объемами работ и массив скоростей обработки станков, и возвращает вектор четвёрок, где первый элемент является номером станка, второй — номером работы, а два оставшихся время начала и окончания обработки этой работы на этом станке. '''function''' level(p : '''int[n]''', s : '''int[m]''') : '''vector<int, int, int, int>''' '''vector<int, int, int, int>''' ans '''int''' t = 0 '''int''' k = n <font color=green> // количество еще не выполненных работ </font> sort(p) <font color=green> // сортируем время обработки работ по убыванию </font> sort(s) <font color=green> // сортируем станки по убыванию скоростей </font> '''while''' k > 0 '''int[]''' to = assign(p, k, m) <font color=green> // получаем распределение работ по станкам </font> Найдем минимальное dt1 отличное от нуля такое, что (p[i] - s[to[i]] * dt1) = 0 Найдем минимальное dt2 такое, что p[i] > p[j] и (p[i] - алгоритм:s[to[i]] * dt2 = p[j] - s[to[j]] * dt2) <font color=green> // то есть такое минимальное время, через которое, </font> <font color=green> // оставшийся объем каких-нибудь двух работ сравняется </font> '''int''' dt = min(dt1, dt2) '''for''' j = 0 '''to''' n - 1 '''if''' p[j] > 0 '''if''' to[j] <tex> \neq </tex> -1 <font color=green> // рассматриваем работы которые обрабатываются в данном распределении</font> ans.push(to[j], j, t, t + dt) p[j] -= s[to[i]] * dt '''if''' p[j] == 0 k-- t += dt <font color=green> // поиск следующего момента времени, в который нужно будет перераспределить машины/работы </font> '''return''' ans

Функция <tex>t \leftarrow 0 mathrm{assign}</tex>принимает на вход массив с объемами работ и возвращает массив с распределением работ. '''WHILEfunction''' существуют работы с положительным <tex>level</tex> Assignassign(tp : '''int[n]''', k : '''int''', m : '''int'''): '''int[]''' '''int[n]''' to <texfont color=green>t1 \leftarrow min(s>t |// j работа обрабатывается на to[j] станке </texfont>находим следующую выполненную работу fill(to,где <tex> s</tex> - время ее окончания <tex> 1) '''set</texint> ''' s <texfont color=green>t2 \leftarrow </tex> найти минимальное <tex>s > t</tex>. Для которого выполняется для некоторых множество уже распределенных работ <tex/font> '''int''' i = 0 '''while''' i</tex> , m '''and''' i <tex>k Находим первый j такой что p[j</tex>:<tex> level_i(t)>level_j(t)</tex> ] максимальный и <tex> level_i(s) == level_jне содержит j s.add(sj)</tex> <tex> t \leftarrow min(t1,t2) </tex> //поиск следующего момента времени ,в который нужно будет перераспределить машины/работы m[j] = i++ Построение расписания '''return''' to

===Асимптотика===<tex>\mathrm{level}</tex>-алгоритм вызывает функцию <tex>\mathrm{assign}(t) </tex> в самом худшем случае <tex>O(n)</tex> раз. Функция <tex>Assign\mathrm{assign}(t)</tex>:выполняется за <tex>O(nm)</tex>. Итоговое время работы <tex>O(n^2m)</tex>.

===Доказательство корректности алгоритма==={{Теорема|statement=Расписание, построенное данным алгоритмом, является корректным и оптимальным.|proof=Так как нижняя граница <tex>C_{max}</tex>:

<tex>C_{max}</tex> = <tex>\max\left \{\begin{array}{ll} \dfrac{P_n}{S_m} \\\max\limits_{j=1}^{\ldots m-1} \dfrac{P_j \over }{S_j}, \end{P_n \over S_marray}\}right. </tex>

Будем считать, что в начале алгоритма все работы упорядочены, как было сказано ранее: <tex> p_1(0) \ge geqslant p_2(0) \ge ... geqslant \ldots \ge geqslant p_n(0) </tex>. Это утверждение не меняется на протяжении всего выполнения алгоритма, для любого момента времени. Получаем: <tex> p_1(t) \ge geqslant p_2(t) \ge ... geqslant \ldots \ge geqslant p_n(t) </tex>. Докажем что алгоритм составляет расписание в соответствии с этим свойством. Чтобы доказать этот факт, будем считать что в любой момент времени <tex>T</tex> нет простоев машин, когда есть хотя бы одна невыполненная работа. Получаем:

<tex> T(s_1 + ... \ldots + s_m) = p_1 + p_2 + ... \ldots + p_n </tex> или <tex> T = \dfrac{P_n \over }{S_m} </tex>

Допустим хотя бы одна машина простаивает, в момент когда есть невыполненные работы, мы имеем получим следующее неравенство для времен окончания работ (обозначим далее как <tex> f_i </tex>) на станках <tex>M_1 ... \ldots M_m</tex>, пронумерованных по убыванию скоростей: <tex> f_1 \geqslant f_2 \geqslant \ldots \geqslant f_m </tex>

В этом случаеПредположим, если что <tex> f_i < f_{i+1} </tex> для некоторого <tex> 1 \le leqslant i \le leqslant m-1 </tex>, . Тогда <tex>Level\mathrm{level}</tex> последней работы , выполнявшейся на станке <tex> M_i </tex> в момент времени <tex> f_i - \varepsilon </tex> (где <tex> \varepsilon > 0</tex> достаточно мал)меньше, и меньше чем <tex>Level\mathrm{level}</tex> последней работы на станке <tex> M_{i+1} </tex>. Пришли к противоречию, так как при распределении, работы с наибольшим <tex>\mathrm{level}</tex> выставлялись на самые быстрые станки.

Пусть <tex> T </tex> = <tex> f_1 = f_2 = f_3 = ... \ldots = f_j > f_{j+1}</tex> ,где <tex> j < m </tex>. Чтобы работы завершились в момент времени <tex> T </tex> , необходимо начать их в момент времени 0. Так как , поскольку если это не выполняется, то у нас найдется работа <tex> J_i </tex> , которая начинается позже <tex> t = 0 </tex> и заканчивается в <tex> T </tex>. Это означает , что в момент времени ноль, <tex> 0 </tex> начинаются как минимум <tex> m </tex> работ. Пусть первые <tex> m </tex> работ, стартовали вместе на всех машинах. Мы получаем <tex> p_1(0) \ge geqslant p_2(0) \ge ... geqslant \ldots \ge geqslant p_m(0) \ge geqslant p_i(0) </tex>. Из , из чего следует, что <tex> p_1(T - \varepsilon) \ge ... geqslant \ldots \ge geqslant p_m(T - \varepsilon) \ge geqslant p_i(T - \varepsilon) > 0 </tex> для любого <tex> \varepsilon </tex> , удовлетворяющего условию <tex> 0 \le leqslant \varepsilon < T - t </tex>. Таким образом, до момента времени <tex> T </tex> нет простаивающих машин. ПротиворечиеПришли к противоречию. Получаем <tex> T = \dfrac{P_j \over }{S_j} </tex>.}}

===Пример===

Пусть у нас есть <tex>6 </tex> работ и <tex>3 </tex> станка. Покажем работу алгоритма для данного случая. В начальный момент времени начинаем обрабатывать работы с наибольшим временем выполнения <tex>J_1</tex>, <tex>J_2</tex> и <tex>J_3</tex> на станках <tex>M_1</tex>, <tex>M_2</tex> и <tex>M_3</tex> соответственно. В момент времени <tex>T_1</tex> <tex>\mathrm{level}</tex> <tex>1</tex>-ой работы и <tex>2</tex>-ой работы совпадает. С этого момента начинаем обрабатывать работы <tex>J_1</tex> и <tex>J_2</tex> синхронно на станках: <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. В момент времени <tex>T_2</tex> работа <tex>J_3</tex> опускается до уровня работы <tex>J_4</tex>.Работы <tex>J_3</tex> и <tex>J_4</tex> выполняем одновременно на одном станке <tex>M_3</tex>. В момент времени <tex>T_3</tex> начинаем выполнять первые четыре работы на всех станках одновременно, далее просто добавятся работы <tex>J_5</tex> и <tex>J_6</tex>, и все работы закончатся одновременно.

В начальный момент времени начинаем обрабатывать работы с наибольшим временем выполнения <tex>J_1-J_3</tex> на станках <tex>M_1-M_3</tex> соответственно==См. В момент времени также==* [[QpmtnSumCi|<tex>T_1Q \mid pmtn \mid \sum C_i</tex> <tex>lvl</tex> 1-ой работы и 2-ой работы совпадает. С этого момента начинаем обрабатывать работы <tex> J_1,J_2</tex> синхронно на станках: <tex>M_1 M_2</tex>. В момент времени <tex>T_2</tex> работа <tex>J_3</tex> опускается до уровня работы <tex>J_4</tex>.Работы <tex> J_3,J_4</tex> выполняем одновременно на одном станке <tex> M_3</tex>. В момент времени <tex>T_3</tex> начинаем выполнять первые четыре работы на всех станках одновременно, далее просто добавятся работы <tex>J_5 J_6</tex> и все работы закончатся одновременно.]]

==Время работыИсточники информации==Level* Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{-алгоритм вызывает функцию Assign(t) в самом худшем случае <tex>O(n)</tex> раз--}} «Springer», 2006 г. Функция Assign(t) выполняется за <tex>O(nm)</tex>. Итоговое время работы <tex>O(n^2m)</tex>{{---}} 124 {{---}} 129 стр.{{---}} ISBN 978-3-540-69515-8