Изменения

<div styletex dpi ="background-color: #ABCDEF; font-size: 16px; font-weight: bold; color: #000000; text-align: center; padding: 4px; border-style: solid; border-width: 1px;200">Эта статья находится в разработке!Q \mid pmtn \mid C_{max}</divtex>{{Задача|definition=Дано <includeonlytex>[[Категория: В разработке]]m</includeonlytex>станков с разной скоростью выполнения работ, работающих параллельно, и <tex>n</tex> работ. Работа может быть прервана в любой момент и продолжена позже на любой машине. Необходимо минимизировать время выполнения всех работ.}}

==Постановка задачиАлгоритм построения расписания==Есть несколько станков с разной скоростью ===Описание алгоритма===Перед выполнением алгоритма, упорядочим все работы по убыванию их времени выполнения работ. Работу на каждом из станков можно прервать и продолжить позже:<tex> p_1 \geqslant p_2 \geqslant p_3 \ldots \geqslant p_n</tex>, а все машины в порядке убывания скоростей: <tex> s_1 \geqslant s_2 \geqslant s_3 \ldots \geqslant s_m</tex>. Введем следующие обозначения:

Цель *<tex>P_i = p_1 + \ldots + p_i</tex>, <tex>i = 1 \ldots n</tex> {{- выполнить все как можно быстрее.--}} сумма первых <tex>i</tex> работ*<tex>S_j = s_1 + \ldots + s_j</tex>, <tex>j = 1 \ldots m</tex> {{---}} сумма скоростей первых <tex>j</tex> станков

1. Найдем нижнюю границу времени Необходимое условие для выполнения.всех работ в интервале <tex>[0 \ldots T]</tex>:

2<tex> P_n = p_1 + \ldots + p_n \leqslant s_1T + \ldots + s_mT = S_mT</tex> или <tex>\dfrac{P_n}{S_m} \leqslant T</tex> Кроме того, должно выполняться условие <tex>\dfrac{P_j}{S_j} \leqslant T</tex> для всех <tex> j = 1 \ldots m - 1 </tex>, так как это нижняя оценка времени выполнения работ <tex> J_1 \ldots J_j</tex>. Составим оптимальное Исходя из этого получаем нижнюю границу <tex>C_{max}</tex> : <tex>C_{max} = \max\left \{\begin{array}{ll} \dfrac{P_n}{S_m} \\\max\limits_{j=1 \ldots m-1} \dfrac{P_j}{S_j} \end{array} \right. </tex> Перейдем к описанию алгоритма. Будем назвать <tex>\mathrm{level}</tex>-ом работы <tex> p_i(t) </tex> невыполненную часть работы <tex> p_i </tex> в момент времени <tex> t </tex>. Далее построим расписание, которое достигает нашей оценки <tex>C_{max}</tex>, с помощью <tex>\mathrm{level}</tex>-алгоритма. ===Псевдокод===Функция <tex>\mathrm{level}</tex> принимает на вход два массива — массив с объемами работ и массив скоростей обработки станков, и возвращает вектор четвёрок, где первый элемент является номером станка, второй — номером работы, а два оставшихся время начала и окончания обработки этой работы на этом станке. '''function''' level(p : '''int[n]''', s : '''int[m]''') : '''vector<int, int, int, int>''' '''vector<int, int, int, int>''' ans '''int''' t = 0 '''int''' k = n <font color=green> // количество еще не выполненных работ </font> sort(p) <font color=green> // сортируем время обработки работ по убыванию </font> sort(s) <font color=green> // сортируем станки по убыванию скоростей </font> '''while''' k > 0 '''int[]''' to = assign(p, k, m) <font color=green> // получаем распределение работ по станкам </font> Найдем минимальное dt1 отличное от нуля такое, что (p[i] - s[to[i]] * dt1) = 0 Найдем минимальное dt2 такое, что p[i] > p[j] и (p[i] - s[to[i]] * dt2 = p[j] - s[to[j]] * dt2) <font color=green> // то есть такое минимальное время, через которое, </font> <font color=green> // оставшийся объем каких-нибудь двух работ сравняется </font> '''int''' dt = min(dt1, dt2) '''for''' j = 0 '''to''' n - 1 '''if''' p[j] > 0 '''if''' to[j] <tex> \neq </tex> -1 <font color=green> // рассматриваем работы которые обрабатываются в данном распределении</font> ans.push(to[j], j, t, t + dt) p[j] -= s[to[i]] * dt '''if''' p[j] == 0 k-- t += dt <font color=green> // поиск следующего момента времени, в который нужно будет перераспределить машины/работы </font> '''return''' ans Функция <tex>\mathrm{assign}</tex> принимает на вход массив с объемами работ и возвращает массив с распределением работ. '''function''' assign(p : '''int[n]''', k : '''int''', m : '''int''') : '''int[]''' '''int[n]''' to <font color=green> // j работа обрабатывается на to[j] станке </font> fill(to, -1) '''set<int>''' s <font color=green> // множество уже распределенных работ </font> '''int''' i = 0 '''while''' i < m '''and''' i < k Находим первый j такой что p[j] максимальный и s не содержит j s.add(j) m[j] = i++ '''return''' to ===Асимптотика===<tex>\mathrm{level}</tex>-алгоритм вызывает функцию <tex>\mathrm{assign}(t) </tex> в самом худшем случае <tex>O(n)</tex> раз. Функция <tex>\mathrm{assign}(t) </tex> выполняется за <tex>O(nm)</tex>. Итоговое время работы <tex>O(n^2m)</tex>.

===Доказательство корректности алгоритма==={{Теорема|statement=Расписание, построенное данным алгоритмом, является корректным и оптимальным.|proof=Так как нижняя граница <tex> P_i = p_1 + ... + p_iC_{max}</tex>:

<tex> C_{max} = \max\left \{\begin{array}{ll} \dfrac{P_n}{S_m} \\\max\limits_{j=1 \ldots m-1} \dfrac{P_j}{S_j = p_1 + ..} \end{array} \right. + p_j</tex>

Где <tex>i = 1 то достаточно показать, что составленное расписание достигает этой оценки... n</tex>; <tex>j = 1 ... m</tex>; <tex> n \ge m</tex>;

Необходимое условие Будем считать, что в начале алгоритма все работы упорядочены, как было сказано ранее: <tex> p_1(0) \geqslant p_2(0) \geqslant \ldots \geqslant p_n(0) </tex>. Это утверждение не меняется на протяжении всего выполнения алгоритма, для выполнения всех работ любого момента времени. Получаем: <tex> p_1(t) \geqslant p_2(t) \geqslant \ldots \geqslant p_n(t) </tex>. Докажем что алгоритм составляет расписание в соответствии с этим свойством. Чтобы доказать этот факт, будем считать что в интервале любой момент времени <tex>[0;T]</tex>нет простоев машин, когда есть хотя бы одна невыполненная работа. Получаем:

<tex> P_n T(s_1 + \ldots + s_m) = p_1 + ... p_2 + p_n \le s_1T ldots + ... + s_mT = S_mTp_n </tex> или <tex>T = \dfrac{P_n/}{S_m \le T} </tex>

Допустим хотя бы одна машина простаивает, в момент когда есть невыполненные работы, получим следующее неравенство для времен окончания работ (обозначим далее как <tex>w = \maxf_i </tex>{) на станках <tex>M_1 \max\limits_{j=1}^{m-1} P_i/S_j, P_n/S_mldots M_m</tex>}, пронумерованных по убыванию скоростей:

Level - алгоритмДокажем написанное выше неравенство:

Предположим, что <tex> f_i < f_{i+1} </tex> для некоторого <tex>t 1 \leqslant i \leftarrow 0 leqslant m-1 </tex> '''WHILE''' существуют работы с положительным lvl Assign(t) . Тогда <tex>t1 \leftarrow min(smathrm{level}</tex> последней работы, выполнявшейся на станке <tex>t |M_i </tex>работа выполненная в момент времени <tex> s)f_i - \varepsilon </tex> (где <tex>t2 \leftarrow min(svarepsilon > 0</tex>t | p_i(tдостаточно мал)меньше, чем <tex>p_j(t)\mathrm{level}</tex> && последней работы на станке <tex> p_i(s) == p_j(s))M_{i+1} </tex> . Пришли к противоречию, так как при распределении, работы с наибольшим <tex> t \leftarrow min(t1,t2) mathrm{level}</tex> Построение расписаниявыставлялись на самые быстрые станки.

Функция Пусть <tex>AssignT </tex> = <tex> f_1 = f_2 = f_3 = \ldots = f_j > f_{j+1}</tex> ,где <tex> j < m </tex>. Чтобы работы завершились в момент времени <tex> T </tex>, необходимо начать их в момент времени 0, поскольку если это не выполняется, то у нас найдется работа <tex> J_i </tex> , которая начинается позже <tex> t = 0 </tex> и заканчивается в <tex> T </tex>. Это означает, что в момент времени <tex> 0 </tex> начинаются как минимум <tex> m </tex> работ. Пусть первые <tex> m </tex> работ стартовали вместе на всех машинах. Мы получаем <tex> p_1(0) \geqslant p_2(0) \geqslant \ldots \geqslant p_m(0) \geqslant p_i(0) </tex>, из чего следует, что <tex> p_1(T - \varepsilon) \geqslant \ldots \geqslant p_m(T - \varepsilon) \geqslant p_i(T - \varepsilon) > 0 </tex> для любого <tex> \varepsilon </tex>, удовлетворяющего условию <tex> 0 \leqslant \varepsilon < T - t)</tex>:. Таким образом, до момента времени <tex> T </tex> нет простаивающих машин. Пришли к противоречию. Получаем <tex> T = \dfrac{P_j}{S_j} </tex>.}}

<tex>J = </tex>{<tex>i|p_i(t)>0</tex>} <tex>M = </tex>{<tex>M_1,...,M_m</tex>} '''WHILE''' (<tex>J</tex> != 0 && <tex>M</tex> !Пример=== 0) Найти множество работ <tex>I</tex> подмножество <tex>J</tex> ,lvl которых максимальный <tex>r \leftarrow min</tex>([[Файл:Qpmtncmax.png|<tex>M</tex>600px|,thumb|<tex>I</tex>right|) Назначаем работы из мн-ва <tex>I</tex> на <tex>r</tex> самых быстрых машин из мн-ва <tex>M</tex> <tex>J \leftarrow J</tex>\<tex>I</tex> удаляем из мн-ва <tex>M</tex> <tex>r</tex> самых быстрых машинКартинка к примеру]]

==Пример==[[Файл:qptmncmaxПусть у нас есть <tex>6</tex> работ и <tex>3</tex> станка. Покажем работу алгоритма для данного случая.png|400px|thumb|right|Картинка к примеру]]

Пусть у нас есть 5 работ В начальный момент времени начинаем обрабатывать работы с наибольшим временем выполнения <tex>J_1</tex>, <tex>J_2</tex> и 4 станка<tex>J_3</tex> на станках <tex>M_1</tex>, <tex>M_2</tex> и <tex>M_3</tex> соответственно. В момент времени <tex>T_1</tex> <tex>\mathrm{level}</tex> <tex>1</tex>-ой работы и <tex>2</tex>-ой работы совпадает. Покажем работу алгоритма для данного случаяС этого момента начинаем обрабатывать работы <tex>J_1</tex> и <tex>J_2</tex> синхронно на станках: <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. В момент времени <tex>T_2</tex> работа <tex>J_3</tex> опускается до уровня работы <tex>J_4</tex>.Работы <tex>J_3</tex> и <tex>J_4</tex> выполняем одновременно на одном станке <tex>M_3</tex>. В момент времени <tex>T_3</tex> начинаем выполнять первые четыре работы на всех станках одновременно, далее просто добавятся работы <tex>J_5</tex> и <tex>J_6</tex>, и все работы закончатся одновременно.

В начальный момент времени начинаем обрабатывать работы с наибольшим временем выполнения <tex>J_1-J_4</tex> на станках <tex>M_1-M_4</tex> соответственно==См. В момент времени также==* [[QpmtnSumCi|<tex>t_1Q \mid pmtn \mid \sum C_i</tex> <tex>lvl</tex> 4-ой работы опускается до времени выполнения 5-ой работы. С этого момента начинаем обрабатывать работы <tex> J_4,J_5</tex> на одном станке: <tex>M_4</tex>. В момент времени <tex>t_2</tex> происходит похожая ситуация. С этого момента времени работы <tex> J_1,J_2</tex> выполняются синхронно на двух станках <tex> M_1,M_2</tex>. Далее работы не пересекаются друг с другом и каждая заканчивается на ранее выделенных им станках.]]

==Время работыИсточники информации==Level* Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{-алгоритм вызывает функцию Assign(t) в самом худшем случае <tex>O(n)</tex> раз--}} «Springer», 2006 г. Функция Assign(t) выполняется за <tex>O(nm)</tex>. Итоговое время работы <tex>O(n^2m)</tex>{{---}} 124 {{---}} 129 стр.{{---}} ISBN 978-3-540-69515-8