Изменения

<div styletex dpi ="background-color200">Q \mid pmtn, r_i \mid L_{max}</tex>{{Задача|definition=Рассмотрим задачу на нахождение расписания: # У нас есть несколько станков, работающих параллельно. У станков могут быть разные скорости выполнения работ.# Есть несколько заданий, каждое имеет своё время появления <tex>r_i</tex> и время окончания <tex>d_i</tex>.#ABCDEF; fontРабота может быть прервана в любой момент и продолжена позже на любой машине.Требуется минимизировать максимальное опоздание <tex>L_{max} = \max\limits_i \{C_i -sized_i\}</tex>. }} ==Алгоритм=====Алгоритм решения===<table><tr><td>[[Файл: 16px; fontFigure_5.2.png|500px|thumb|Рис. 1. Исходная сеть]]</td><td>[[Файл:Figure_5.9.b.png|500px|thumb|Рис. 2. Расширение сети]]</td></tr></table>  Как в [[PpmtnriLmax|задаче]] <tex>P \mid pmtn, r_i \mid L_{max}</tex> применим метод [[Вещественный_двоичный_поиск|двоичного поиска]] и сведем задачу к <tex> Q \mid pmtn, r_i, d_i \mid - </tex>. Для существования расписания с <tex> L_{max} \leqslant L^* </tex> требуется, чтобы у работы с номером <tex> i </tex> выполнялось <tex> C_i - d_i \leqslant L^* </tex>, что эквивалентно <tex> C_i \leqslant d_i + L^* </tex>. Опишем алгоритм решения <tex> Q \mid pmtn, r_i, d_i \mid - </tex> при помощи сведения к задаче поиска [[Определение_сети,_потока|максимального потока]]. Пусть <tex> t_1 \leqslant t_2 \leqslant ... \leqslant t_r </tex> {{---weight}} упорядоченная последовательность всех значений <tex>r_i</tex> и <tex>d_i + L^*</tex>.Определим интервалы на исходной сети (Рис. 1) <tex> I_K : bold; color: #000000; text= [t_{K-1}, t_K], \ T_K = t_K-align: center; padding: 4px; bordert_{K−1} </tex> для <tex> K = 2,..., r </tex>. Cчитаем, что станки занумерованы в порядке невозрастания скоростей <tex> s_1 \geqslant s_2 \geqslant . . . \geqslant s_m </tex> (также считаем <tex>s_{m+1} = 0</tex>). Искомая сеть строится с помощью расширения сети из задачи <tex>P \mid pmtn, r_i \mid L_{max}</tex>. Обозначим через <tex> J_{i_1}, J_{i_2}, . . . , J_{i_s} </tex> набор предшественников узла <tex>I_K</tex>, тогда замененная нами подсеть определяется как <tex> I_K, J_{i_1}, J_{i_2}, . . . , J_{i_s} </tex>. Расширение сети показано на Рис. 2. Расширенная подсеть строится путем добавления к вершинам <tex> I_K, J_{i_1}, J_{i_2}, . . . , J_{i_s} </tex> вершин <tex>(K, 1), (K, 2), . . . (K, m) </tex>. При <tex>j = 1,..., m </tex>, есть дуги от <tex>(K, j)</tex> до <tex>I_K</tex> с пропускной способностью <tex> j(s_j -style: solid; borders_{j+1}) T_K </tex> и для всех <tex>\nu = 1,. . . , s</tex> и <tex>j = 1,. . ., m</tex> существует дуга из <tex>J_{i_\nu}</tex> в <tex>(K, J)</tex> с пропускной способностью <tex> (s_j -width: 1px;"s_{j+1}) T_K </tex>. Это выполняется для каждой вершины <tex>I_K</tex>. Кроме того, мы сохраняем дуги из <tex>s</tex> в <tex>J_i</tex> пропускной способностью <tex>p_i</tex> и дуги из <tex>I_K</tex>Эта статья находится в разработке!<tex>t</tex> пропускной способностью <tex>S_mT_K</divtex>(Рис. 1). ===Корректность и оптимальность алгоритма==={{Теорема|statement=Следующие утверждения эквивалентны::<includeonlytex>[[Категория(a)</tex> Существует допустимое расписание.: <tex>(b)</tex> В разработке]]расширенной сети существует поток от <tex>s</tex> до <tex>t</tex> со значением <tex>\sum\limits_{i=1}^n p_i</includeonlytex>.

|proof==Постановка задачи==Рассмотрим задачу нахождения расписания со следующим свойством:<tex>(b) \Rightarrow (a)</tex>

- Каждое задание имеет своё времени выпуска :Рассмотрим в расширенной сети поток величиной <tex>r_i\sum\limits_{i = 1}^n {p_i}</tex> и срок завершения(дедлайн) . Обозначим через <tex>d_ix_{iK}</tex> общий поток, который идет от <tex>J_i</tex> до <tex>I_K</tex>.Заметим, что <tex>\sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{K = 2}^r x_{iK} = \sum\limits_{i = 1}^n p_i</tex>. Достаточно показать, что для каждого подмножества <tex>A \subseteq \{ 1, . . . , n \}</tex> выполняется

:<tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \leqslant T_Kh(A)</tex> ,где <tex>h(A) ==Алгоритм решения==[[Файл:Figure_5.2.png\begin{cases} S_{|400pxA|thumb}, & \text{if }|rightA|Рис\leqslant m \\ S_m, & \text{otherwise}\end{cases} </tex>. 1]]

Применим бинарный поиск :Это означает, что условие <tex>\sum\limits_{i \in A} p_i \leqslant Th(A), \forall A \subseteq \{ 1, ... , n \}</tex> выполняется и требования к обработке <tex>x_{1K}, . . . , x_{nK}</tex> могут быть запланированы как <tex>I_K</tex> для общего решения задачи<tex>K = 2, . . . , r</tex>. Сведем задачу к поиску Рассмотрим подсеть в расширенной сети в подмножестве <tex>A</tex> и соответствующие части потока сети.Фрагмент частичного потока, который проходит через <tex>(K, j)</tex> ограничен

Пусть :<tex> t_1 < t_2 <...< t_r </tex> упорядоченная последовательности всех значений <tex>r_i</tex> и <tex>d_i\min \{ j(s_j −- s_{j + 1})T_K, |A|(s_j - s_{j+1})T_K \} = T_K(s_j - s_{j+1}) \min \{ j, |A| \}</tex>.

Также определим <tex> I_K := [t_{K-1}Таким образом, t_K],\ T_K = t_K-t_{K-−1} </tex> для <tex> K = 2,..., r </tex>.мы имеем

Далее мы расширяем сеть<table align = center><tr><td><tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \geqslant T_K \sum\limits_{j = 1}^m(s_j −- s_{j+1}) \min \{ j, показанную на рисунке 1 следующим образом:|A| \} = T_Kh(A)</tex>. <tex>(*)</tex></td></tr></table>

:То, что равенство <tex>I_K(*)</tex> - произвольный интервал узел на рисункесправедливо, обозначим через <tex> J_{i_1}, J_{i_2}, . . может рассматриваться как следствие. , J_{i_s} Если </tex> набор предшественников узла <tex|A| >I_Km</tex>., то

Тогда замененная нами подсеть определяется как :<tex> I_K, J_\sum\limits_{i_1j = 1}^m \min \{ j, J_|A| \}(s_j - s_{i_2j + 1}, ) = s_1 - s_2 + 2s_2 - 2s_3 + 3s_3 - 3s_4 + . . . , J_+ ms_s - ms_{i_sm+1} =\ </tex>, которая показана на рисунке 5.9 :<tex>S_m = h(а), расширение сети показано на рисунке 5.9 (бA)</tex>.{{TODO | t = ДОБАВИТЬ_Рисунок 5.9: Расширение сети.}}

Расширенная подсеть строится путем добавления к вершинам :<tex> I_K, J_\sum\limits_{i_1j = 1}\min \{ j, J_|A| \}(s_j - s_{i_2j + 1}, ) = s_1 - s_2 + 2s_2 - 2s_3 + 3s_3 - . . . , J_+ (|A| - 1)s_{i_s|A| - 1} -\ </tex> вершин :<tex>(K, |A| - 1), s_{|A|} + |A|(K, 2), s_{|A|} - s_{|A| - 1} - . . . - s_m + s_m - s_{m + 1}) = S_{|A|} = h(K, mA) </tex>.

При <tex>j (a) \Rightarrow (b)</tex><br>:Предположим, что допустимое расписание существует. Для <tex>i = 1,..., m n </tex>, есть дуги от и <tex>(K= 2, ..., j)r</tex> до пусть <tex>I_Kx_{iK}</tex> with capacity является "объемом работ", который будет выполняться в интервале <tex> j(s_j - s_{j+1}) T_K I_K</tex> и в соответствии с нашим возможным расписанием. Тогда для всех <tex>ν K = 12,. . . , sr</tex> и произвольных наборов <tex>j = A \subseteq \{ 1,. . ., m</tex> существует дуга из <tex>J_{i_νn \}</tex> в <tex>(K, J)</tex> with capacity <tex> (s_j - s_{j+1}) T_K </tex>.неравенство

Для каждого :<textable align = center>I_K</textr> у нас есть такие расширения. Кроме того, мы сохраняем дуги от <textd>s</tex> до <tex>J_i\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \leqslant T_Kh(A)</tex> и мощностью <tex>p_i(**)</tex> дуг из <tex>I_K</textd> в <tex>t</textr> мощностью <tex>S_mT_K</textable> (см. рисунок 5.2). Сеть построена таким образом, называется расширенной сетью.

выполняется. Кроме того, для <tex>i = 1, . . . , n</tex> у нас <tex>p_i = \sum\limits_{K = 2}^r s_{iK}</tex>. Остается показать, что можно отправить <tex>x_{iK}</tex> от <tex>J_i</tex> до <tex>I_K</tex> <tex>(i = 1, . . . , n; K = 2, . . . , r)</tex> в расширенной сети. Такой поток существует, если <tex>\forall A \subseteq \{Теорема1, . . . , n \}</tex> и <tex>K = 2, . . . , r</tex> значение <tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK}</tex> ограничено величиной минимального разреза части сети с истоками <tex>J_i(i \in A)</tex> и стоком <tex>I_K</tex>. Тем не менее, это значение <tex>T_K\sum\limits_{j = 1}^m \min \{ j, |statement=Следующие свойства эквивалентны:A| \}(s_j - s_{j+1})</tex> Используя <tex>(**)</tex> и правую часть <tex>(*)</tex>, получаем

<tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \leqslant T_K h(АA) Существует допустимое расписание.= T_K \sum\limits_{j = 1}^m \min \{ j, |A| \}(s_j - s_{j+1})</tex>

Потому что (5.10) справедливо для всех К частичной ===Время работы с требования к обработке Xik могут быть запланированы в ИК с уровнем алгоритма.===

Задача Работа с максимальным потоком в расширенной сети занимает <tex>Q | pmtn; ri | CmaxO (m n^3)</tex>шагов, которая представляет собой частный случай проверка может быть сделана с такой же скоростью. Для решения <tex>Q | \mid pmtn; ri | Lmaxr_{i} \mid L_{max}</tex>мы используем бинарный поиск, может быть решена более эффективно. Labetoulle, Lawler, Lenstraа значит, and Rinnooy Kan разработали получаем алгоритм работающий за с <tex>\varepsilon</tex>-приближенной сложностью <tex> O(mn^3(\log(n ) + \log(1 / \varepsilon) + \log(\max\limits_{i=1}^{n} p_i) + mn) </tex> специально для этого случая, потому как <tex>L_{max}</tex>, ограничен <tex>n \max\limits_{i=1}^{n}p_i</tex>, при <tex>s_1 = 1</tex>.

Задача <tex>Q | \mid pmtn | Lmax; r_i \mid C_{max}</tex> представляет собой частный случай <tex>Q \mid pmtn; r_i \mid L_{max}</tex>, и может быть решена за более эффективно<texref> O(n log(n) + mn) Описано в Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», 2006 г. {{---}} 133 стр.</texref> шагов. Это вытекает из следующих соображений:

Решение <tex>Q | pmtn; ri | Cmax</tex> эквивалентно нахождению наименьшего <tex>T \ge 0==Примечания==<references/tex>, что проблема с временными окнами [г, т] (г = 1, ..., п) имеет возможности решение.

С другой стороны==Источники информации==* Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», решение <tex>Q | pmtn | Lmax</tex> эквивалентно нахождению такого наименьшего <tex>T \ge 0</tex>, что проблема с временными окнами [0, D + T] или с временными окнами [2006 г. {{---}} 129 {{---T, ди] имеет допустимое решение}} 133 стр.{{---}} ISBN 978-3-540-69515-8