Изменения

Задача, которая решается с помощью '''[[Link-Cut Tree|динамических деревьев''' (англ. ''dynamic tree'')]], формулируется следующим образом. Необходимо поддерживать лес деревьев и выполнять на нем следующие операции:* <tex>\mathrm{link(u, v)}</tex> {{---}} добавить ребро <tex>(u, v)</tex>. Вершина <tex>u</tex> должна быть корнем некоторого дерева. Вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> должны находиться в разных деревьях,* удалить ребро <tex>\mathrm{cut(u, v)}</tex>. Ребро {{---}} удалить ребро <tex>(u, v)</tex> должно присутствовать в графе,* некоторый запрос относительно структуры дерева.Примером последней операции может быть запрос "достижима ли вершина Ребро <tex>(u</tex> из <tex>v</tex>?", "сколько ребер на кратчайшем пути из <tex>u</tex> в <tex>v)</tex>?" или "какова сумма номеров вершин, которые находятся должно присутствовать в поддереве вершины <tex>u</tex>?". Можно легко реализовать структуру данныхграфе, которая будет выполнять данные операции за время * <tex>O\mathrm{query(n)</tex>, где <tex>n}</tex> {{---}} количество вершин в графе. Динамические деревья нужны для того, чтобы обрабатывать запросы более эффективно. В частности, все предложенные операции возможно выполнять за время <tex>O(\log{n})</tex>некоторый запрос относительно структуры дерева. 

==Идея=====Описание===Пусть дано некоторое дерево <tex>T</tex>, для которого мы хотим выполнять описанные выше операции. Рассмотрим алгоритм '''сжатия дерева'''(англ. ''Raketree-Compress Tree'contraction algorithm'' ), предложенный Миллером и Райфом. Алгоритм сжимает <tex>T</tex> в одну вершину путем применения операций <tex>\mathrm{Rake}</tex> и <tex>\mathrm{---}Compress} структура данных, которая хранит [[Дерево, эквивалентные определения|лес деревьев]] и поддерживает следующие операции</tex> в несколько раундов:

Сжатие дерева требует линейного времени и логарифмическое число раундов.<br>Для выбора вершин, которые будут удалены во время операции <tex>\mathrm{Compress}</tex>, применяется следующий метод: для каждой вершины генерируется рандомный бит и вершина добавляется в множество удаляемых только в том случае, когда она имеет одного ребёнка, бит для неё равен <tex>0</tex>, а для родителя и ребёнка равен <tex>1</tex>.<br>Рассмотрим, как изменяется количество вершин в дереве после применения к нему операций <tex>\mathrm{Rake}</tex> и <tex>\mathrm{Compress}</tex>. <br>Разобьём все вершины дерева на три группы: * <tex>T_0</tex> {{---}} входящая степень которых равна нулю, одному и больше одного. Обозначим их количество за * <tex>T_0, T_1</tex> и {{---}} входящая степень равна одному,* <tex>T_2</tex> соответственно{{---}} входящая степень больше одного.  

|proof=Докажем по индукции по высоте дерева.<br>* '''База *: Для дерева из одной вершины утверждение верно.<br>* '''Переход*: Пусть утверждение доказано для деревьев высоты меньше <tex>h</tex>. Докажем для дерева высоты ровно <tex>h</tex>. Рассмотрим степень корня. :<br>*:: Если корень имеет ровно одного ребенка, то переходим к случаю дерева высоты <tex>h - 1</tex>. <br>Если у дерева несколько поддеревьев, то имеем:<br><tex>T_2 = 1 + \Sigma_sum\limits_{u \in *: children(root)}T_2(u) \leqslant 1 + \Sigma_sum\limits_{u \in children(root)}(T_0(u) - 1)</tex>&nbsp;&nbsp;<tex> \leqslant -1 + \Sigma_sum\limits_{u \in children}T_0(u) \leqslant -1 + T_0 = T_0 - 1</tex>.}}

|statement=После применения операций <tex>\mathrm{Rake}</tex> и <tex>\mathrm{Compress}</tex> к лесу, математическое ожидание количества вершин в нём не превосходит <tex>\fracdfrac{7}{8}</tex> от их исходного числа.|proof=Математическое ожидание количества удаленных вершин <tex>\mathrm{deleted} = T_0 + \frac{T_1}{8}</tex> (так как все Все листья будут удалены после операции <tex>\mathrm{Rake}</tex>, а каждая вершина, у которой ровно один сын, будет удалена с вероятностью <tex>\dfrac{1}{8}</tex> после операции <tex>\mathrm{Compress}</tex> (так как мы рассматриваем три бита при выборе вершин и добавляем вершину в множество удаляемых только когда эти биты для родителя, вершины и ребёнка соответственно равны <tex>1</tex>, <tex>0</tex> и <tex>1</tex>).<br>Таким образом математическое ожидание количества удаленных вершин <tex>\mathrm{deleted} = T_0 + \dfrac{T_1}{8}</tex>. Из предыдущей леммы получаем:<br><tex>\mathrm{deleted} = \fracdfrac{1}{2} (T_0 + T_2) + \fracdfrac{1}{8} T_1 \geqslant \fracdfrac{1}{8} (T_0 + T_1 + T_2)</tex>.

Для конкретного применения можно предположить, что рёбра дерева имеют вес, а вершины имеют метки. ==Построение=Пример операций===В качестве примера сжатия дерева рассмотрим следующее взвешенное дерево:[[Файл:RC_graph_example.png|400px|center|thumb|Исходное дерево <tex>T</tex>.]] [[Файл:RC_graph_contraction.png|350px|right|thumb|Алгоритм сжатия дерева <tex>T</tex>.]]На каждом раунде сжатия (перечислены сверху вниз) удаляется множество вершин с использованием операций <tex>\mathrm{Rake}</tex> и <tex>\mathrm{Compress}</tex>:* Операция <tex>\mathrm{Rake}</tex> удаляет лист и ребро, смежное с ним, сохраняя в соседях данные: метку удалённой вершины, вес удалённого ребра и данные о сжатых на предыдущих раундах вершинах.* Операция <tex>\mathrm{Compress}</tex> удаляет вершины, имеющие ровно одного сына, и смежные им рёбра. Например, для вершины <tex>v</tex> c сыном <tex>w</tex> и родителем <tex>u</tex> будут удалены рёбра <tex>(u, v)</tex> и <tex>(v, w)</tex>. После этого добавляется ребро <tex>(u, w)</tex>, а данные вершины <tex>v</tex> и удалённых рёбер (метка удалённой вершины, сохранённые данные и веса удалённых рёбер) сохраняются в соседние вершины.  Например, для приведённого дерева на первом раунде сжатия применяется операция <tex>\mathrm{Rake}</tex> для вершин <tex>a</tex>, <tex>d</tex>, <tex>n</tex>, <tex>k</tex> и операция <tex>\mathrm{Compress}</tex> для <tex>g</tex> и <tex>i</tex>.<br><br>Сжатие может быть рассмотрено как рекурсивная кластеризация дерева в один '''кластер''' (англ. ''cluster''). Изначально вершины и рёбра составляют базовый кластер. Операции <tex>\mathrm{Rake}</tex> и <tex>\mathrm{Compress}</tex> формируют большие кластеры из нескольких меньших кластеров.<br><br>На иллюстрации примера все кластеры (кроме базового) обозначены зелёными лепестками. Каждый кластер помечен заглавной буквой метки вершины, входящей в него. Например, кластер <tex>A</tex>, полученный после сжатия вершины <tex>a</tex> содержит вершины <tex>a</tex>, <tex>b</tex> и ребро <tex>(a, b)</tex>; сжатая вершина <tex>g</tex> создает кластер <tex>G</tex>, содержащий эту вершину и рёбра <tex>(f, g)</tex> и <tex>(g, h)</tex>. Во втором раунде, после сжатия вершины <tex>b</tex> создается кластер <tex>B</tex>, содержащий кластер <tex>A</tex> и ребро <tex>(b, c)</tex>.<br>Представление сжатого дерева в виде кластеров:[[Файл:RC_graph_clusters.png|400px|left|thumb|Кластеризованное дерево <tex>T</tex>.]]                         Определим кластер как поддерево исходного дерева, порожденное множеством вершин.

==Возможность параллельного построения==Операции Для кластера <tex>\mathrm{Rake}C</tex> и скажем, что вершина <tex>\mathrm{Compress}v</tex> можно выполнять параллельно для всех вершин. Если предположить, что множество детей можно пересчитывать за из <tex>O(1)C</tex>называется '''граничной вершиной''', то Rake-Compress дерево можно построить за если <tex>O(\log{n})v</tex> в модели PRAM в случае наличия смежная с вершинами не из <tex>\Omega(n)C</tex> процессоров. '''Граница кластера''' {{---}} множество граничных вершин кластера, а '''степень кластера''' {{---}} количество граничных вершин кластера.

Процесс сжатия исходного дерева может быть представлен в виде нового дерева, называемого <tex>\mathrm{RC-tree}</tex>.<br>Пример такого дерева для рассматриваемого исходного дерева:[[Файл:RC_graph_tree.png|500px|center|thumb|RC-tree для дерева <tex>T</tex>.]]  Поскольку матожидание количества раундов {{---}} логарифм, то такое дерево будет сбалансированным.<br><tex>\mathrm{RC}</tex> дерево можно использовать для ответа на динамические запросы для статического дерева. Для этого в <tex>\mathrm{RC}</tex> дереве сохраним требуемую информацию (необходимо модифицировать для пересчёта информации операции <tex>\mathrm{Rake}</tex> и <tex>\mathrm{Compress}</tex>) и используем обход для ответа на запросы. Поскольку дерево с большой вероятностью является сбалансированным, обход дерева также можно осуществить за логарифм.<br>Для динамических деревьев, например, если доступны операции добавления/удаления ребра (операции <tex>\mathrm{link}</tex> и <tex>\mathrm{cut}</tex>), нужно эффективно перестраивать отдельные кластеры, пересчитывая данные. Для этого можно обновлять данные начиная с листа дерева, соответствующего обновляемой вершине в исходном дереве, и подниматься вверх. ==Реализация=====Хранение=Применения==* Задача Для того, чтобы отвечать на запросы относительно структуры леса необходимо сохранить информацию о том, как происходил процесс сжатия леса. Для этого будем хранить таблицу, в каждой строке которой записана информация о структуре леса после выполнения операций. Каждая клетка таблицы будет хранить информацию о вершине после выполнения операций <tex>\mathrm{Rake}</tex> и <tex>\mathrm{Compress}</tex>. Из информации будем сохранять родителя вершины, множество детей и метку, сжата ли вершина.<br>Пример таблицы для следующей последовательности операций:[[Остовные_деревьяФайл:_определения,_лемма_о_безопасном_ребреRC_tree_example.png|x200px|thumb|MSTПример выполнения операций.]] online{| class="wikitable"|-! Шаг! align="center" | Операция! <tex>1</tex>! <tex>2</tex>! <tex>3</tex>! <tex>4</tex>|-| align="center" | 4| align="center" | <tex>\mathrm{Rake}</tex>| Родитель: {{---}}<br>Дети: <tex>\emptyset</tex>| align="center" | {{---}} | align="center" | {{---}}| align="center" | {{---}}|-| align="center" | 3| align="center" | <tex>\mathrm{Compress}</tex>| Родитель: {{---}}<br>Дети: <tex>\{3\}</tex>| align="center" | {{---}}| Родитель: <tex>1</tex><br>Дети: <tex>\emptyset</tex>| align="center" | {{---}}|-| align="center" | 2| align="center" | <tex>\mathrm{Rake}</tex>| Родитель: {{---}}<br>Дети: <tex>\{2\}</tex>| Родитель: <tex>1</tex><br>Дети: <tex>\{3\}</tex>| Родитель: <tex>2</tex><br>Дети: <tex>\emptyset</tex>| align="center" | {{---}}|-| align="center" | 1| | Родитель: {{---}}<br>Дети: <tex>\{2\}</tex>| Родитель: <tex>1</tex><br>Дети: <tex>\{3\}</tex>| Родитель: <tex>2</tex><br>Дети: <tex>\{4\}</tex>| Родитель: <tex>3</tex><br>Дети: <tex>\emptyset</tex>|}<br><br>Для того, чтобы выбирать множество вершин для применения операции <tex>\mathrm{Compress}</tex> будем использовать следующий метод: для каждой вершины с помощью генератора псевдослучайных чисел выберем случайный бит. Вершина добавляется в множество, если у нее ровно один ребенок, она не является корнем и биты, которые были сгенерированы для нее, ребенка и родителя равны <tex>0</tex>, <tex>1</tex> и <tex>1</tex> соответственно. Рассмотрим более подробно, как необходимо хранить клетки таблицы <tex>\mathrm{Rake-Compress}</tex> дерева. Для вершины необходимо сохранить ее родителя, а также множество детей. Для того, чтобы обрабатывать каждую клетку таблицы за <tex>O(\log{n})</tex>, нужно производить операции с множеством детей за <tex>O(1)</tex>. <br><br>Рассмотрим, в каких случаях можно сжать вершину: дан граф * если детей у вершины больше одного, то ее точно нельзя сжать, * если у неё нет детей, то ее можно сжать только во время операции <tex>\mathrm{Rake}</tex>* если у вершины один ребёнок, то её возможно сжать во время операции <tex>\mathrm{Compress}</tex>. Чтобы определить, можно ли применить операцию <tex>G\mathrm{Compress}</tex> к вершине, в том случае, когда у нее один ребёнок, нужно узнать, какой бит был сгенерирован на текущей итерации для ребёнка (один из трёх битов, генерируемых при операции <tex>\mathrm{Compress}</tex>). Для этого необходимо знать номер вершины-ребёнка. Значит, нам нужно определять, какие элементы находятся в множестве детей только в том случае, когда размер множества равен <tex>1</tex>. Поэтому, всю информацию о множестве можно хранить с помощью двух величин {{---}} хранить количество элементов в множестве и сумму их номеров. Поддерживая сумму номеров детей и их количество, можно эффективно узнавать номер вершины-ребёнка, когда это необходимо. Данная оптимизация позволяет за <tex>O(1)</tex> получать номер ребёнка и за <tex>O(1)</tex> обновлять множество детей.<br><br>Если вершина является корнем, то в качестве ее родителя будем хранить ее номер. Кроме того необходимо хранить изменения, которые произойдут с клеткой при переходе к следующему слою: будем хранить, кто должен стать новым родителем, на сколько изменится количество детей, а также как изменится сумма их номеров. Все это необходимо для того, чтобы обрабатывать каждую изменившуюся клетку за <tex>O(1)</tex>.<br> Псевдокод хранения клетки таблицы:* <tex>\mathrm{id}</tex> {{---}} номер вершины,* <tex>\mathrm{parent}</tex> {{---}} родитель вершины,* <tex>\mathrm{cntChild}</tex> {{---}} количество детей вершины,* <tex>\mathrm{sumChild}</tex> {{---}} сумма номеров детей,* <tex>\mathrm{newParent}</tex> {{---}} новый родитель вершины после изменений, * <tex>\mathrm{diffCntChild}</tex> и <tex>\mathrm{diffSumChild}</tex> {{---}} изменения, произведенные с полями <tex>\mathrm{cntChild}</tex> и <tex>\mathrm{sumChild}</tex> соответственно.  '''struct''' Cell''':''' '''int''' id, parent, cntChild, sumChild '''int''' newParent, diffCntChild, diffSumChild '''func''' applyChanges()''':''' parent = newParent sumChild += diffSumChild cntChild += diffCntChild diffCntChild = diffSumChild = 0 '''func''' addChild(v: '''int''')''':''' diffCntChild++ diffSumChild += v '''func''' removeChild(v: '''int''')''':''' diffCntChild-- diffSumChild -= v Для хранения <tex>\mathrm{Rake-Compress}</tex> дерева будем использовать следующие данные:* <tex>\mathrm{cells[]}</tex> {{---}} список клеток, которые ей соответствуют, для каждой вершины,* <tex>\mathrm{rand}</tex> {{---}} генератор псевдослучайных чисел,* <tex>\mathrm{time}</tex> {{---}} счётчик количества примененных операций по изменению структуры леса,* <tex>\mathrm{lastUpdateTime[]}</tex> {{---}} массив, в котором для каждой вершины запишем номер последней операции, при обработки которой была изменена хотя бы одна клетка, которая соответствуют вершине: это позволит эффективно узнавать, была ли вершина уже помечена как поменявшаяся или нет.  '''struct''' RCTree(n: '''int''')''':''' '''RndGen''' rand = RandBitsGenerator() '''int''' time = 0 '''for''' i = 0 '''to''' n lastUpdateTime[i] = 0 cells[i] = [] Кроме запросов о структуре леса, <tex>\mathrm{Rake-Compress}</tex> деревья можно использовать для подсчета значений некоторых функций. Например, каждой вершине можно сопоставить некоторое значение и узнавать, чему равна сумма значений всех вершин, которые находятся в поддереве.Для этого в клетках таблицы <tex>\mathrm{Rake-Compress}</tex> дерева необходимо хранить не только состояние вершины, но и значение функции, посчитанной на части дерева, которое уже было сжато в вершину. Если функция является аддитивной, то ее пересчет аналогичен пересчету множества детей вершины. Так, если некоторая вершина сжимается к родителю, то в соответствующей родителю клетке необходимо обновить значение функции. При добавлении и удалении ребер необходимо в который добавляются новые рёбраизменившихся клетках пересчитывать значение функции. ===Построение===Рассмотрим, как работает алгоритм построения <tex>\mathrm{Rake-Compress}</tex> дерева. Будем строить таблицу по строкам. В каждый момент будем хранить множество вершин, которые еще не были сжаты, и перестраивать следующий слой. Также будем делать операции <tex>\mathrm{Rake}</tex> и <tex>\mathrm{Compress}</tex> одновременно. Чтобы определить, нужно ли сжимать вершину, воспользуемся следующим алгоритмом: '''bool''' shouldRemoveVertex(c: '''Cell''', rand, layer: '''int''')''':''' '''if''' c.cntChild == 0 '''return''' ''true'' '''if''' c.cntChild > 1 '''or''' c.parent == c.id '''return''' ''false'' '''if''' getCellForVertex(c.sumChild).cntChild == 0 '''return''' ''false'' '''if''' rand.getBit(c.id, layer) == 0 '''and''' rand.getBit(c.sumChild, layer) == 1 '''and''' rand.getBit(c. Необходимо parent, layer) == 1: '''return''' ''true'' '''return''' ''false'' Таким образом, алгоритм построения дерева выглядит следующим образом: '''func''' build(parent: '''int[n]''')''':''' alive = <tex>\{0 \dots n - 1\}</tex> '''int''' layer = 0 '''for''' i = 0 '''to''' n <font color="green">// заполним таблицу вершинами изначального дерева</font> cells[i].add(Cell(parent[i])) '''while''' <tex>\mathrm{alive} \neq \emptyset</tex> nextAlive = <tex>\emptyset</tex> '''for''' <tex>v \in \mathrm{alive}</tex> '''Cell''' c = getCellForVertex(v) <font color="green">// получить клетку таблицы, соответствующую вершине</font> '''if''' shouldRemoveVertex(c, rand, layer) '''if''' c.cntChild == 1 getCellForVertex(c.sumChild).newParent = c.parent getCellForVertex(c.parent).addChild(c.sumChild) '''if''' c.parent <tex>\neq</tex> v getCellForVertex(c.parent).remove(v) '''else''' nextAlive.add(v) alive = nextAlive '''for''' <tex>v \in \mathrm{alive}</tex> '''Cell''' newCell = getCellForVertex(v).clone().applyChanges() cells[v].add(newCell) layer++===Операции удаления и добавления ребра===Как только некоторая вершина помечается как изменившаяся, отменим её действие на таблицу:# Найдем момент времени, когда вершина сжимается к родителю. # Рассмотрим, какие вершины поменяются при сжатии данной: это ее родитель (если он есть), а также сын (если он есть). Для каждой из этих вершин поменяем значения изменений, которые необходимо применить к состоянию. # Пометим, что эти вершины поменялись на этом слое. Для этого на каждом слое будем хранить список вершин, которые на нем поменялись. А перед тем как обрабатывать очередной слой будем добавлять в множество изменившихся вершин вершины из соответствующего списка. # Кроме удаления эффекта от изменившихся вершин также необходимо и добавить правильный эффект. Для этого будем для каждой из изменившихся вершин определять, как ее состояние меняется при переходе к следующему слою. Если вершина сжимается к ее родителю, то пометим родителя и ребенка (если он есть) и поменяем изменение, которое хранится в соответствующих клетках. А для пересчета состояния клеток воспользуемся значениями изменений, которые сохранены в клетках.<br>Рассмотрим, что происходит с таблицей при изменении одного ребра. Основная идея заключается в том, чтобы научится пересчитывать все изменения таблицы за время пропорциональное их количеству. Для этого будем эффективно поддерживать минимальный остовный лес множество изменившихся клеток. В момент, когда вершина помечается, как изменившаяся, найдем, как она влияет на таблицу и отменим это влияние. <br>Для начала необходимо найти момент времени, когда вершина сжимается. В этот момент она влияет на не более чем две вершины. Изменим значения <tex>\mathrm{cntChild}</tex>, <tex>\mathrm{sumChild}</tex> и <tex>\mathrm{newParent}</tex> нужным образом. Также необходимо добавить эти вершины в множество изменившихся (в момент, когда будет обработан соответствующий слой). Поэтому, для данного графакаждого слоя еще будем хранить список вершин, которые должны быть помечены перед обработкой слоя.<br>Алгоритм обновления дерева: '''func''' changeTree(<tex>(u, v)</tex>: '''Edge''')''':''' time = time + 1 affected = <tex>\emptyset</tex> markAffected(u) <font color="green">// пусть из дерева было удалено ребро <tex>(u,v)</tex></font> markAffected(v) cells[u].parent = u cells[v].cntChild-- cells[v].sumChild -= u '''int''' layer = 0 '''while''' <tex>\mathrm{affected} \neq \emptyset</tex> '''for''' <tex>v \in \mathrm{affectedOnLayer}</tex> markAffected(v) '''for''' <tex>v \in \mathrm{affected}</tex> '''Cell''' c = getCellForVertex(v) '''if''' shouldRemoveVertex(v) cells[v].size = layer + 1 '''if''' c.cntChild == 1 getCellForVertex(c.sumChild).newParent = c.parent getCellForVertex(c.parent).addChild(c.sumChild) markAffected(c.sumChild) '''if''' c.parent <tex>\neq</tex> v getCellForVertex(c.parent).removeChild(v) markAffected(c.parent) affected.remove(v) '''for''' <tex>v \in \mathrm{affected}</tex> '''Cell''' newCell = getCellForVertex(v).clone().applyChanges() cells[v][layer + 1] = newCell layer++ '''func''' markAffected(v: '''int''')''':''' <font color="green">// пометить вершину как изменившуюся</font> '''if''' lastUpdateTime[v] == time '''return''' <font color="green">// вершина уже помечена</font> lastUpdateTime[v] = time affected.add(v) removeEffectOfVertex(v) * Задача '''func''' removeEffectOfVertex(v: '''int''')''':''' <font color="green">// удалить отметку о максимальном потоке: в помощью динамических том, что вершина была помечена изменившийся</font> '''int''' layer = cells[v].size '''Cell''' c = cells[v][layer] '''if''' c.parent == v '''return''' cells[c].parent.removeChild(v) '''if''' c.cntChild == 1 cells[c.parent].addChild(c.sumChild) cells[c.sumChild].newParent = v ==Сравнение с Link-Cut Tree==Для Link-Cut деревьев можно улучшить ассимптотику (основанных на [[Схема_алгоритма_ДиницаSplay-дерево|алгоритма Диницаsplay-деревьях]] с ), как и для <tex>\mathrm{Rake-Compress}</tex> деревьев, время работы операций <tex>\mathrm{link}</tex> и <tex>\mathrm{cut}</tex> {{---}} <tex>O(\log{n})</tex>. В реальности <tex>\mathrm{RC}</tex> деревья оказываются медленнее, чем <tex>\mathrm{LC}</tex> деревья. <br>Отличительной особенностью <tex>\mathrm{RC}</tex> деревьев является возможность параллельного построения: операции <tex>\mathrm{Rake}</tex> и <tex>\mathrm{Compress}</tex> можно выполнять параллельно для всех вершин. Если предположить, что множество детей можно пересчитывать за <tex>O(V^2 E1)</tex> до , то <tex>\mathrm{Rake-Compress}</tex> дерево можно построить за <tex>O(VE \log{Vn})</tex>в модели PRAM<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_random-access_machine Wikipedia {{---}} Parallel random-access machine]</ref> в случае наличия <tex>\Omega(n)</tex> процессоров.<br>Кроме этого, <tex>\mathrm{Rake-Compress}</tex> деревья могут оказаться полезными, если необходимо пересчитывать значения не на путях, а на поддеревьях.

* [http://www.cs.cmu.edu/~jvittes/rc-trees Acar, Blelloch, and Vittes {{---}} RC-Tree implementation]* [http://www.cs.princeton.edu/~rwerneck/papers/Wer06-dissertation.pdf R. Werneck {{---}} Design and Analysis of Data Structures for Dynamic Trees]* G. L. Miller, J. H. Reif {{---}} Parallel Tree Contraction, Journal of Advances in Computer Research Volume 5, 1989* RUmit A. Acar, Guy E. Blelloch, Jorge L. Werneck Vittes {{---}} Design and An Experimental Analysis of Data Structures for Change Propagation in Dynamic Trees, 1-2005