Редактирование: Rope

'''Rope''' (рус. ''веревка'') {{---}} структура данных для хранения строки, представляющая из себя двоичное сбалансированное дерево и позволяющая делать операции вставки, удаления и конкатенации с логарифмической асимптотикой.

Иногда при использовании строк нам нужны следующие свойства:
*Операции, которые часто используются на строках, должны быть более эффективными. Например: конкатенация, взятие подстроки.
*Также эти операции должны эффективно работать и с длинными строками. Не должно быть прямой зависимости от длины строк.
*Персистентность. Иногда необходимо при изменении строки сохранить ее состояние перед изменением и вернуться к нему, если необходимо.

В данном случае Rope удовлетворяет всем этим свойствам.

==Описание структуры==
Для хранения Rope создадим структуру, похожую на [[Декартово дерево по неявному ключу|декартово дерево по неявному ключу]]. В каждом листе будем хранить последовательную часть строки и ее длину, а в промежуточных вершинах будем хранить сумму длин всех листьев в поддереве. Изначально дерево состоит из одной вершины {{---}} самой строки. Используя информацию в промежуточных вершинах, можно получать символы строки по индексу, как будет показано ниже. Также заметим, что для отметки листа не обязательно хранить дополнительную информацию: все внутренние вершины имеют ровно двух детей, а листы {{---}} ни одного. Поэтому для проверки вершины на то, что она является листом, достаточно проверить, есть ли у неё дети.

==Merge==
Когда приходит запрос на конкатенацию с другой строкой, мы объединяем оба дерева, создав новый корень и подвесив к нему обе строки.
Пример результата конкатенации двух строк:

[[file:String_concat.png|800px|Результат конкатенации двух строк.]]

===Псевдокод===
 Node merge(Node n1, Node n2):
     '''return''' Node(n1, n2, n1.w + n2.w)

===Время работы===

Асимптотика выполнения операции конкатенации двух строк, очевидно, <tex>O(1)</tex>.

==Получение символа по индексу==

Чтобы получить символ по некоторому индексу <tex>i</tex>, будем спускаться по дереву из корня, используя веса, записанные в вершинах, чтобы определить, в какое поддерево пойти из текущей вершины. Алгоритм выглядит следующим образом:

* Текущая вершина {{---}} не лист, тогда возможно два варианта:
** Вес левого поддерева больше либо равен <tex>i</tex>, тогда идем в левое поддерево.
** Иначе идем в правое поддерево и ищем там <tex>i - w</tex> символ, где <tex>w</tex> вес левого поддерева.
* Текущая вершина {{---}} лист, тогда в этом листе хранится ответ; необходимо взять символ с соответствующим номером у строки, которая там хранится.

===Псевдокод===
 '''char''' get('''int''' i, Node node):
     '''if''' node.left <tex>\ne \varnothing</tex>
         '''if''' node.left.w >= i
             '''return''' get(i, node.left)
         '''else'''
             '''return''' get(i - node.left.w, node.right)
     '''else'''
         '''return''' node.s[i]

===Время работы===

Асимптотика выполнения одного такого запроса, очевидно, <tex>O(h)</tex>, где <tex>h</tex> {{---}} высота дерева.

==Split==

Чтобы разбить строку на две по некоторому индексу <tex>i</tex>, необходимо, спускаясь по дереву (аналогично операции <tex>\mathrm{get}</tex>), каждую вершину на пути поделить на две, каждая из которых будет соответствовать одной из половинок строк, при этом необходимо после деления пересчитать вес этих вершин.

Пускай дано дерево:

[[file:Split1.png|800px|Перед операцией split.]]

Тогда результатом выполнения операции <tex>\mathrm{split}</tex> по индексу <tex> 16 </tex> будет: 

[[file:Split2.png|800px|Результат выполнения операции split.]]

Заметим, что появляются лишние вершины, у которых есть только один потомок. От них можно легко избавиться, просто заменив их на этого потомка. Тогда результатом той же операции <tex>\mathrm{split}</tex> будет:

[[file:Split3.png|800px|Результат выполнения операции split.]]

===Псевдокод===
 '''Pair'''<Node, Node> split(Node node, '''int''' i):
     Node tree1, tree2
     '''if''' node.left <tex>\ne \varnothing</tex>
         '''if''' node.left.w >= i
             '''Pair''' res = split(node.left, i)
             tree1 = res.first
             tree2.left = res.second
             tree2.right = node.right
             tree2.w = tree2.left.w + tree2.right.w
         '''else'''
             '''Pair''' res = split(node.right, i - node.left.w)     
             tree1.left = node.left
             tree1.right = res.first
             tree1.w = tree1.left.w + tree1.right.w
             tree2 = res.second
     '''else'''
         tree1.s = node.s.substr(0, i)
         tree2.s = node.s.substr(i, node.s.len)
         tree1.w = i
         tree2.w = node.s.len - i
     '''return''' '''Pair'''(tree1, tree2)

===Время работы===

Нетрудно заметить, что асимптотическая сложность выполнения данной операции {{---}} <tex>O(h)</tex>, где <tex>h</tex> {{---}} высота дерева.

==Операции удаления и вставки==

Нетрудно понять, что имея операции <tex>\mathrm{merge}</tex> и <tex>\mathrm{split}</tex>, можно легко через них выразить операции <tex>\mathrm{delete}</tex> и <tex>\mathrm{insert}</tex> по аналогии с другими деревьями поиска.

Операция <tex>\mathrm{delete}</tex> удаляет из строки подстроку, начиная с индекса <tex>beginIndex</tex> и заканчивая (не включая) индексом <tex>endIndex</tex>.

===Псевдокод===
 Node delete(Node node, '''int''' beginIndex, '''int''' endIndex):
     (tree1, tree2) = split(node, beginIndex)
     tree3 = split(tree2, endIndex - beginIndex).second
     '''return''' merge(tree1, tree3)

Операция <tex>\mathrm{insert}</tex> вставляет данную строку <tex>s</tex> в исходную, начиная с позиции <tex>insertIndex</tex>.

===Псевдокод===
 Node insert(Node node, '''int''' insertIndex, '''string''' s):
     (tree1, tree3) = split(node, insertIndex)
     tree2 = Node(s)
     '''return''' merge(merge(tree1, tree2), tree3)

===Время работы===

Так как данные операции используют только <tex>\mathrm{split}</tex> и <tex>\mathrm{merge}</tex>, то асимптотика времени их работы {{---}} <tex>O(h)</tex>, где <tex>h</tex> {{---}} высота дерева.

==Балансировка==

Для того, чтобы дерево не превращалось в бамбук:

[[file:Bamboo.png|800px|Пример вырождения дерева в бамбук.]]

Предлагается хранить его как [[АВЛ-дерево]] и делать соответствующие балансировки. Тогда, так как высота АВЛ-дерева <tex>h = \log{n}</tex>, то асимптотика операций <tex> \mathrm{get, split, delete, insert, merge}</tex> будет равна <tex>O(\log{n})</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} количество сконкатенированных строк.

==Оптимизации==

* Для уменьшения объема памяти, занимаемой деревом, и уменьшения высоты дерево, предлагается при конкатенации с маленькой строкой делать конкатенацию классическим способом.

* Кэширование. Так как зачастую нужен последовательный доступ к индексам (например <tex>i</tex> и <tex>i + 1</tex>), то можно запоминать лист (а также его границы), в который мы пришли после очередного запроса <tex>\mathrm{get}</tex>, и на следующем запросе сначала искать в сохраненном листе. Также если хранить у каждой вершины ее предка, то последовательный доступ к символам будет выполняться за <tex>O(m)</tex>, где <tex>m</tex> {{---}} количество символов.

==См. также==

*[[АВЛ-дерево]]
*[[Splay-дерево]]
*[[Декартово дерево по неявному ключу]]
==Источники информации==

*[[wikipedia:en:Rope_(data_structure)|Wikipedia {{---}} Rope]]
*[http://habrahabr.ru/post/144736/ Ropes {{---}} быстрые строки]
*[http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.14.9450&rep=rep1&type=pdf Ropes: an Alternative to Strings]

[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Деревья поиска]]