Изменения

Количество ''критически''х вершин на нулевом уровне дерева равно <tex>O(\varepsilon^{-1-d})</tex>, где <tex>d</tex> - размерность пространства.

Рассмотрим квадродерево Для квадратов с длиной стороны <tex>T\varepsilon</tex>верно, состоящее только из ''критических'' вершин. Назовем вершину дерева что они либо <tex>T\mathrm{in}</tex> ветвящейся, если у нее есть как минимум два ребенка. Не ветвящаяся вершина {{---}} лист или такая, что ее единственный ребенок содержит меньшую часть либо <tex>\varepsilonmathrm{out}</tex>-области. Две вершины квадродерева покрывают разные области , то есть <tex>R\mathrm{stabbing}</tex> (не обязательно непересекающиеся), только если они пересекают границу квадратов с длиной стороны <tex>R\varepsilon</tex> не бывает, как и с длиной стороны меньше eps.Все точки, содержащиеся в разных местахskip quadtree, находятся внутри какого-то прямоугольника, значит, длина его стороны {{---}} константа. Поэтому они покрывают разные длина стороны области пересечения запрашиваемого прямоугольника со skip quadtree {{---}} это тоже константа. Тогда длина стороны запрашиваемого прямоугольника {{---}} <tex>EO(1)</tex>.

Таким образом, для каждой неветвящейся вершины существует уникальная область ''Пронзающих'' вершин c длиной стороны <tex>E\varepsilon</tex>, покрываемая только этой вершиной и никакой другой. Объем этой области составляет которых не пересекаются, может быть <tex>O(\Omega(varepsilon^{-1})</tex>, так как каждая ''критическая'' вершина тогда всего их может быть <tex>\varepsilon^{-1} + \genfrac{}{}{}{0}{1}{2} \cdot \varepsilon^{---1} + \genfrac{}{}{}{0}{1} гиперкуб.  Пусть <tex>r</tex> {4} \cdot \varepsilon^{---1}} радиус описанной вокруг <tex>R</tex> окружности+ ...Итоговое количество неветвящихся вершин в <tex>T</tex> равно = <tex>O(\varepsilon^{-1-d})</tex>.''Критических'' вершин не больше, чем ''пронзающих'', так как объем <tex>E</tex> равен что их тоже <tex>O(\varepsilon \cdot r^d{-1})</tex>. Так как в нашем дереве все вершины являются ''критическими'', то лемма доказана.