Изменения

'''Сплей-дерево ''' (англ. ''Splay-tree)''' {{---}} ) — это [[Дерево поиска, наивная реализация | двоичное дерево поиска, позволяющее ]]. Оно позволяет находить быстрее те данные, которые использовались недавно. Относится к разряду сливаемых деревьев. Сплей-дерево было придумано Робертом Тарьяном и Даниелем Слейтером в <tex>1983 </tex> году. Основной идеей работы дерева является эвристика "Move to Root", перетаскивающая найденную вершину в корень почти после каждой операции. Для p - предка вершины x "Move to Root" совершает повороты вокруг ребра (x, p), пока x не окажется корнем дерева.

=Операции со splay-деревом===SplayЭвристики=="Splay" так же как и "Move to Root" перетаскивает вершину в корень дереваДля того, чтобы доступ к недавно найденным данным был быстрее, надо, но при этом она использует другую последовательность поворотовчтобы эти данные находились ближе к корню. Пока x не является корнем дерева выполняется следующееЭтого мы можем добиться, используя различные эвристики:===Zig===Если p * '''Move to Root''' {{--- корень дерева с сыном x, то совершаем один поворот }} совершает повороты вокруг ребра <tex>(x, p)</tex>, делая где <tex>x </tex> — найденная вершина, <tex>p</tex> — ее предок, пока <tex>x</tex> не окажется корнем дерева. Данный случай является крайним и выполняется только один раз в концеОднако можно построить такую последовательность операций, что амортизированное время доступа к вершине будет <tex> \Omega(n) </tex>.* '''Splay''' {{---}} также совершает повороты, если изначальная глубина x была нечетнойно чередует различные виды поворотов, благодаря чему достигается логарифмическая амортизированная оценка. Она будет подробно описана ниже.

[[file'''Пример''':ZigSplay.gif|500px|Zig - поворот]]===Zig-Zig===Если p - не корень дерева, а x При последовательном использовании операций "move to root" для вершин <tex>A</tex> и p - оба левые или оба правые дети<tex>B</tex> требуется по <tex>6</tex> поворотов, в то делаем поворот ребра (p, g), где g отец p, а затем поворот ребра (x, p)время как при использовании операции "splay" для вершины <tex>B</tex> достаточно <tex>3</tex> поворотов.

[[file:ZigZigSplayMove_to_root.gifpng|500px|Zig-zig - поворот750px]]===Zig-Zag===Если p - не корень дерева и x - левый ребенок, а p - правый, или наоборот, то делаем поворот вокруг ребра (x, p), а затем поворот нового ребра (x, g), где g - бывший родитель p.

[[file:ZigZagSplaySplay.gifpng|500px|Zig-zag - поворот750px]]

Данная операция занимает O(d) времени, где d ==Операции со splay- длина пути от x до корня. В результате этой операции x становится корнем дерева, а расстояние до корня от каждой вершины сокращается примерно пополам, что связано с разделением случаев "zig-zig" и "zig-zag".деревом==

==Find=splay(keytree, x)==="splay" делится на <tex>3</tex> случая:Эта операция выполняется как для обычного бинарного ====zig====Если <tex>p</tex> — корень деревас сыном <tex>x</tex>, то совершаем один поворот вокруг ребра <tex>(x, p)</tex>, делая <tex>x</tex> корнем дерева. Данный случай является крайним и выполняется только после нее запускается операция Splayодин раз в конце, если изначальная глубина <tex>x</tex> была нечетной.

[[file:Зиг.png|800px|zig — поворот]]====zig-zig==Merge(Tree1, Tree2)==У нас есть два Если <tex>p</tex> — не корень дерева Tree1 , а <tex>x</tex> и Tree2<tex>p</tex> — оба левые или оба правые дети, причём подразумеваетсято делаем поворот ребра <tex>(p, что все элементы первого дерева меньше элементов второго. Запускаем Splay от самого большого элемента в дереве Tree1 g)</tex>, где <tex>g</tex> отец <tex>p</tex>, а затем поворот ребра <tex>(пусть это элемент ix, p). После этого корень Tree1 содержит элемент i, при этом у него нет правого ребёнка. Делаем Tree2 правым поддеревом i и возвращаем полученное дерево</tex>.

[[file:Зиг_зиг.png|800px|zig-zig — поворот]]====zig-zag==Split(key, Tree)==Запускаем Splay от элемента key Если <tex>p</tex> — не корень дерева и возвращаем два дерева, полученные отсечением правого или левого поддерева от корня<tex>x</tex> — левый ребенок, в зависимости от тогоа <tex>p</tex> — правый, содержит корень элемент больше или не большенаоборот, чем key.==Addто делаем поворот вокруг ребра <tex>(keyx, Treep)==Запускаем Split</tex>, а затем поворот нового ребра <tex>(keyx, Treeg)</tex>, который нам возвращает деревья Tree_1 и Tree_2, их подвешиваем к key как левое и правое поддеревья соответственногде <tex>g</tex> — бывший родитель <tex>p</tex>.

==Remove(key, Tree)== Запускаем Splay от key элемента и возвращаем Merge от его детей[[file:Зиг_заг2.png|900px|zig-zag — поворот]]

===find(tree, x)===Эта операция выполняется как для обычного [[Дерево поиска, наивная реализация|бинарного дерева поиска]], только после нее запускается операция splay. ===merge(tree1, tree2)===У нас есть два дерева <tex>\mathtt{tree1}</tex> и <tex>\mathtt{tree2}</tex>, причём подразумевается, что все элементы первого дерева меньше элементов второго. Запускаем splay от самого большого элемента в дереве <tex>\mathtt{tree1}</tex> (пусть это элемент <tex>i</tex>). После этого корень <tex>\mathtt{tree1}</tex> содержит элемент <tex>i</tex>, при этом у него нет правого ребёнка. Делаем <tex>\mathtt{tree2}</tex> правым поддеревом <tex>i</tex> и возвращаем полученное дерево. ===split(tree, x)===Запускаем splay от элемента <tex>x</tex> и возвращаем два дерева, полученные отсечением правого или левого поддерева от корня, в зависимости от того, содержит корень элемент больше или не больше, чем <tex>x</tex>. ===add(tree, x)===Запускаем split(tree, x), который нам возвращает деревья <tex>\mathtt{tree1}</tex> и <tex>\mathtt{tree2}</tex>, их подвешиваем к <tex>x</tex> как левое и правое поддеревья соответственно. ===remove(tree, x)=== Запускаем splay от <tex>x</tex> элемента и возвращаем Merge от его детей. ==Реализация операции splay== ===Bottom-up=== В этой реализации операция splay производится при подъеме от целевой вершины до корня путем применения поворотов. Для подъема по дереву требуется доступ к вершине-родителю. Этого можно достичь либо путем хранения в каждой вершине ссылки на родителя, либо с помощью стека вершин на пути от корня к целевой. Определим вспомогательные функции:*<tex>\mathrm{rotate\_left}(v)</tex> {{---}} поворот ребра, соединяющего v и его правого сына*<tex>\mathrm{rotate\_right}(v)</tex> {{---}} симметрично <tex>\mathrm{rotate\_left}</tex>*<tex>\mathrm{p}(v)</tex> {{---}} родитель вершины <tex>v</tex>*<tex>\mathrm{g}(v)</tex> {{---}} родитель родителя вершины <tex>v</tex> Приведем реализацию <tex>\mathrm{p}</tex>, <tex>\mathrm{g}</tex>, <tex>\mathrm{rotate\_left}</tex>. Реализация <tex>\mathrm{rotate\_right}</tex> симметрична. Положим, что для доступа к родительской вершине имеется соответствующее поле.  '''Node''' p('''Node''' v): '''return''' v.parent  '''Node''' g('''Node''' v): '''return''' p(p(v))  '''void''' rotate_left('''Node''' v): '''Node''' p = p(v) '''Node''' r = v.right '''if''' (p != '''null''') '''if''' (p.left == v) p.left = r '''else''' p.right = r '''Node''' tmp = r.left r.left = v v.right = tmp p(v) = r p(r) = p '''if''' (v.right != '''null''') p(v) = v Реализация splay:  '''void''' splay('''Node''' v): '''while''' (p(v) != '''null''') '''if''' (v == p(v).left) '''if''' (g(v) == '''null''') rotate_right(p(v)) '''else if''' (p(v) == g(v).left) rotate_right(g(v)) rotate_right(p(v)) '''else''' rotate_right(p(v)) rotate_left(p(v)) '''else''' '''if''' (g(v) == '''null''') rotate_left(p(v)) '''else if''' (p(v) == g(v).right) rotate_left(g(v)) rotate_left(p(v)) '''else''' rotate_left(p(v)) rotate_right(p(v)) Преимуществом данного подхода является возможность инкапсуляции всех модификаций структуры дерева, включая создание вспомогательных переменных и нарушение инвариантов. Рекомендуется для использования в случае, когда есть прямой доступ к целевой для операции splay вершине, иначе требуется два прохода по пути от корня до вершины (первый {{---}} поиск вершины стандартным алгоритмом, второй {{---}} splay). ===Top-down=== Данная реализация не требует прямого доступа к целевой вершине, поскольку процесс перебалансировки происходит во время поиска вершины в дереве. В процессе спуска во время операции splay дерево разбивается на три части: <tex>L</tex>, <tex>M</tex>, <tex>R</tex>. Деревья <tex>L</tex> и <tex>R</tex> содержат все вершины исходного дерева, для которых на данном этапе известно, что они меньше или больше искомого элемента соответственно. Дерево <tex>M</tex> содержит вершины, принадлежащие поддереву текущей вершины на пути к целевой в исходном дереве. Изначально деревья <tex>L</tex> и <tex>R</tex> пусты, а текущая вершина пути к целевой {{---}} корень.  За одну итерацию операции splay производится спуск на две вершины по пути поиска целевой. Пройденные ребра удаляются, и отсоединившиеся при этом поддеревья добавляются правым ребенком наибольшей по значению вершине дерева <tex>L</tex> или левым ребенком к наименьшей по значению вершине дерева <tex>R</tex>. При этом если происходит спуск оба раза в левых или правых детей, то перед присоединением производится поворот. [[file:Top-Down_Splay.png|512px]] В конце пути производится слияние деревьев <tex>L</tex>, <tex>M</tex> и <tex>R</tex> таким образом, что новым корнем дерева становится вершина с целевым значением. [[file:Top-Down_Assembly.png|512px]] Приведем реализацию. Определим переменные:*<tex>val</tex> {{---}} значение в целевой вершине*<tex>t</tex> {{---}} текущая вершина, до и после splay {{---}} корень дерева*<tex>l</tex> {{---}} наибольшая по значению вершина дерева <tex>L</tex>*<tex>r</tex> {{---}} наименьшая по значению вершина дерева <tex>R</tex>*<tex>l\_root</tex> {{---}} корень дерева <tex>L</tex>*<tex>r\_root</tex> {{---}} корень дерева <tex>R</tex> Определим вспомогательные функции:*<tex>\mathrm{rotate\_left}(v)</tex> {{---}} поворот ребра, соединяющего <tex>v</tex> и его правого сына*<tex>\mathrm{rotate\_right}(v)</tex> {{---}} симметрично <tex>\mathrm{rotate\_left}</tex>*<tex>\mathrm{break\_left}(v)</tex> {{---}} удалить ребро, соединяющее <tex>v</tex> и его правого сына, соединить <tex>l</tex> с полученным деревом*<tex>\mathrm{break\_right}(v)</tex> {{---}} симметрично <tex>\mathrm{break\_left}</tex>*<tex>\mathrm{assemble}()</tex> {{---}} слить деревья <tex>L</tex>, <tex>M</tex> и <tex>R</tex> Приведем реализацию <tex>\mathrm{rotate\_left}</tex>, <tex>\mathrm{break\_left}</tex>, <tex>\mathrm{assemble}</tex>. Реализация и <tex>\mathrm{break\_right}</tex> симметрична.  '''Node''' rotate_left('''Node''' v): '''Node''' r = v.right '''Note''' tmp = r.left r.left = v v.right = tmp '''return''' r  '''Node''' break_left('''Node''' v): '''Node''' tmp = v.right v.right = '''null''' '''if''' (l == '''null''') l_root = l = v '''else''' l.right = v l = v '''return''' tmp  '''void''' assemble(): l.right = t.left r.left = t.right t.left = l_root t.right = r_root Реализация splay:  '''void''' splay('''Value''' val): '''while''' (t.value != val) '''if''' (val < t.value) '''if''' (val == t.left.value) t = break_right(t) '''else if''' (val < t.left.value) t = rotate_right(t) t = break_right(t) '''else''' t = break_right(t) t = break_left(t) '''else''' '''if''' (val == t.right.value) t = break_left(t) '''else if''' (val > t.right.value) t = rotate_left(t) t = break_left(t) '''else''' t = break_left(t) t = break_right(t) assemble() Реализацию splay можно упростить, опустив вторую операцию удаления ребра в случае zig-zag. Приведем также ее:  '''void''' simplified_splay('''Value''' val): '''while''' (t.value != val) '''if''' (val < t.value) '''if''' (val < t.left.value) t = rotate_right(t) t = break_right(t) '''else''' '''if''' (val > t.right.value) t = rotate_left(t) t = break_left(t) assemble() ===Время работы=== В обеих реализациях осуществляется проход по пути от корня к целевой вершине и/или обратно. По вышеупомянутой Лемме, путь состоит из <tex>O(\log n)</tex> вершин. Обработка каждой вершины имеет сложность <tex>O(1)</tex>. Таким образом, сложность приведенных выше операции splay {{---}} <tex>O(\log n)</tex> ==Анализ операции splay== [[Амортизационный анализ | Амортизационный анализ ]] сплей-дерева проводится с помощью метода потенциалов. Потенциалом рассматриваемого дерева назовём сумму рангов его вершин. Ранг вершины <tex>vx</tex> — это величина, обозначаемая <tex>r(vx)</tex> и равная <tex>\log_2 C(vx)</tex>, где <tex>C(vx)</tex> — количество вершин в поддереве с корнем в <tex>vx</tex>.

Амортизированное время операции splay вершины <tex>vx</tex> в дереве с корнем <tex>t</tex> не превосходит <tex>3r(t) - 3r(vx) + 1</tex>

Проанализируем каждый шаг операции splay. Пусть <tex>r'</tex> и <tex>r</tex> — ранги вершин после шага и до него соответственно, <tex>up</tex> — предок вершины <tex>vx</tex>, а <tex>wg</tex> — предок <tex>up</tex> (если есть).

'''Zigzig'''. Поскольку выполнен один поворот, то время амортизированное время выполнения шага <tex>T = 1 + r'(vx) + r'(up) - r(vx) - r(up)</tex> (поскольку только у вершин <tex>vx</tex> и <tex>up</tex> меняется ранг). Ранг вершины <tex>up</tex> уменьшился, поэтому <tex>T \le leqslant 1 + r'(vx) - r(vx)</tex>. Ранг вершины <tex>vx</tex> увеличился, поэтому <tex>r'(vx) - r(vx) \ge geqslant 0</tex>. Следовательно, <tex>T \le leqslant 1 + 3r'(vx) - 3r(vx)</tex>. '''zig-zig'''. Выполнено два поворота, амортизированное время выполнения шага <tex>T = 2 + r'(x) + r'(p) + r'(g) - r(p) - r(x) - r(g)</tex>. Поскольку после поворотов поддерево с корнем в <tex>x</tex> будет содержать все вершины, которые были в поддереве с корнем в <tex>g</tex> (и только их), поэтому <tex>r'(x) = r(g)</tex>. Используя это равенство, получаем: <tex>T = 2 + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p) \leqslant 2 + r'(p) + r'(g) - 2r(x)</tex>, поскольку <tex>r(x) \leqslant r(p)</tex>. Далее, так как <tex>r'(p) \leqslant r'(x)</tex>, получаем, что <tex>T \leqslant 2 + r'(x) + r'(g) - 2r(x)</tex>. Мы утверждаем, что эта сумма не превосходит <tex>3(r'(x) - r(x))</tex>, то есть, что <tex>r(x) + r'(g) - 2r'(x) \leqslant -2</tex>. Преобразуем полученное выражение следующим образом: <tex>(r(x) - r'(x)) + (r'(g) - r'(x)) = \log_2 \dfrac {C(x)}{C'(x)} + \log_2 \dfrac {C'(g)}{C'(x)}</tex>. Из рисунка видно, что <tex>C'(g) + C(x) \leqslant C'(x)</tex>, значит, сумма выражений под логарифмами не превосходит единицы. Далее, рассмотрим сумму логарифмов <tex>\log_2 a + \log_2 b = \log_2 ab</tex>. При <tex>a + b \leqslant 1</tex> произведение <tex>ab</tex> по неравенству между средними не превышает <tex>\dfrac{1}{4}</tex>. А поскольку логарифм — функция возрастающая, то <tex>\log_2 ab \leqslant -2</tex>, что и является требуемым неравенством. '''zig-zag'''. Выполнено два поворота, амортизированное время выполнения шага <tex>T = 2 + r'(x) + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p) - r(g)</tex>. Поскольку <tex>r'(x) = r(g)</tex>, то <tex>T = 2 + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p)</tex>. Далее, так как <tex>r(x) \leqslant r(p)</tex>, то <tex>T \leqslant 2 + r'(p) + r'(g) - 2r(x)</tex>. Мы утверждаем, что эта сумма не превосходит <tex>2(r'(x) - r(x))</tex>, то есть, что <tex>r'(p) + r'(g) - 2r'(x) \leqslant -2</tex>. Но, поскольку <tex>r'(p) + r'(g) - 2r'(x) = \log_2 \dfrac {C'(p)}{C'(x)} + \log_2 \dfrac {C'(g)}{C'(x)} \leqslant -2</tex> - аналогично доказанному ранее, что и требовалось доказать. Итого, получаем, что амортизированное время шага zig-zag не превосходит <tex>2(r'(x) - r(x)) \leqslant 3(r'(x) - r(x))</tex>. Поскольку за время выполнения операции splay выполняется не более одного шага типа zig, то суммарное время не будет превосходить <tex>3r(t) - 3r(x) + 1</tex>, поскольку утроенные ранги промежуточных вершин сокращаются (входят в сумму как с плюсом, так и с минусом). Тогда суммарное время работы splay <tex>T_{splay} \leqslant 3\log_2 N - 3\log_2 C(x) + 1 = O(\log_2 N)</tex>, где <tex>N</tex> — число элементов в дереве.}} == Статическая оптимальность сплей-дерева =={{Теорема|statement=Если к ключам <tex>1 \ldots n</tex>, сложенным в сплей-дерево выполняется <tex>m</tex> запросов, к <tex>i</tex>-му ключу осуществляется <tex>k_i</tex> запросов, где <tex>k_i > 0</tex>, то суммарное время работы не превышает <tex>O(m \cdot H(p_1, p_2, \ldots , p_n))</tex>, где <tex>p_i = k_i / m</tex>, <tex>H</tex> — шенноновская энтропия|proof=Известно, что <tex>H(p_1, p_2, \ldots , p_n) = -c \cdot \displaystyle \sum_{i=1}^n (p_i \cdot \log_{2}p_i)</tex> {{---}} [[Энтропия_случайного_источника | шенноновская энтропия]]. Пусть <tex>s(x) = \displaystyle \sum_{y} w(y)</tex> {{---}} количество вершин в поддереве с корнем в <tex>x</tex>. А <tex>r(x) = \log_{2} s(x)</tex> {{---}} ранг вершины. Обозначим за <tex>r</tex> корень <tex>splay</tex>-дерева.Из предыдущей теоремы известно, что <tex>a_{splay} \leqslant 1+3(r(r)-r(x))</tex> Пусть <tex dpi="130">w(x_i) = p_i =</tex> <tex dpi="180"> {k_i \over m}</tex>, тогда <tex dpi="130">k_i = p_i \cdot m</tex>.<br><tex>m+3mr(r)-3 \displaystyle \sum_{i=1}^n k_ir(x_i) \leqslant m+3mr(r)-3 \displaystyle \sum_{i+1}^n k_i\log_{2}w(x_i) =</tex> <tex> m+3mr(r)-3 \displaystyle \sum_{i=1}^n (p_i\cdot m\cdot \log_{2}p_i) = m(1+3r(r)-3 \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i\log_{2}p_i) = (*)</tex>Так как вершина <tex>r</tex> {{---}} корень <tex>splay</tex>-дерева, то очевидно, что <tex>s = \displaystyle \sum_{y} w(y) = 1</tex>, следовательно <tex>r(r) = \log_{2}s(r)=0</tex>. Поэтому <tex>(*) = m(1+H(p_1,\ldots ,p_n)) = O(mH(p_1,\ldots ,p_n))</tex>, ч.т.д.}} ==Теорема о близких запросах в сплей-дереве== {{Теорема |about = о близких запросах в сплей-дереве|statement = Пусть в сплей-дерево сложены ключи <tex> 1, \dotsc, n </tex>. Зафиксируем один из ключей <tex> f </tex>. Пусть выполняется <tex> m </tex> запросов к ключам. Тогда суммарное время на запросы есть <tex> \displaystyle O(n \log_{2} n + m + \sum_{i=1}^{m} \log_2 ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1)) </tex>, где <tex> q_{i} </tex> {{---}} значение в вершине, к которой обращаются в <tex> i </tex>-ый запрос. |proof =  Для доказательства теоремы воспользуемся методом потенциалов:  <tex> a_{i} = t_{i} + \Phi_{i} - \Phi_{i-1} </tex>. По условию выполняется <tex> m </tex> запросов, следовательно <tex> T = \displaystyle \sum_{i=1}^{m} t_{i} = \sum_{i=1}^{m} \left (a_{i} + \Phi_{i-1} - \Phi_{i} \right) = \sum_{i=1}^{m} a_{i} + \sum_{i=1}^{m} \left ( \Phi_{i-1} - \Phi_{i} \right) </tex> <tex> (\ast) </tex>. Введем следующие обозначения: * Весом узла с ключом <tex> q </tex> будем называть величину <tex> w(q) =\displaystyle \dfrac {1}{\left (\lvert q - f \rvert + 1 \right )^{2}} </tex>. * Размером узла, содержащего ключ <tex> q </tex>, будем называть величину <tex> s(q) = \displaystyle \sum_{y} w(y) </tex>, где <tex> y </tex> {{---}} узлы поддерева с корнем в <tex> q </tex>. * <tex> r(q) = \log_{2}s(q) </tex> {{---}} ранг узла. * Потенциал дерева после <tex> i </tex>-го запроса обозначим как <tex> \Phi_{i} = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} r(q) = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} \log_{2}s(q)</tex>.

'''Zig-zig'''. Выполнено два поворота, амортизированное время выполнения шага Пусть <tex>T = 2 + r'(v) + r'(u) + r'(w) - r(u) - r(v) - r(w)W </tex>{{---}} вес дерева. Поскольку после поворотов поддерево с корнем в <tex>v</tex> будет содержать все вершины, которые были в поддереве с корнем в Тогда <tex>W = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} w</tex> (и только их), поэтому <tex>r'(vq) = r(w)</tex>. Используя это равенство, получаем: <tex>T \sum_{q= 2 + r'1}^{n} \dfrac {1}{\left (u) \lvert q - f \rvert + r'(w) - r(v) - r(u1 \right) ^{2}} \le leqslant 2 \cdot \sum_{q=1}^{+ r'\infty} \dfrac {1}{ \left (u) \lvert q - f \rvert + r'(w1 \right) - 2r(v)</tex>, поскольку <tex>r(v) \le r^{2}} = O(u1)</tex>.

ДалееПоследнее верно, так как при фиксированном <tex>r'(u) \le r'(v)f </tex>, получаемначиная с некоторого места, что а именно <tex>T \le 2 + r'(v) + r'(w) - 2r(v)q = f </tex>, ряд сходится.

Мы утверждаемИз определения размера узла следует, что эта сумма не превосходит <tex>3(r'(v) - r(v))</tex>, то есть, что <tex>r(v) + r'(w) - 2r'(v) \le -2</tex>. Преобразуем полученное выражение следующим образом: <tex>(r(v) - r'(v)) + (r'(w) - r'(v)q) = \log_2 \frac{C(v)}{C'leqslant s(vq)} + \log_2 \frac{C'(w)}{C'(v)}leqslant W </tex>.

Из рисунка видноТакже заметим, что для любого <tex>C'(w) + C(v) \le C'(v)q </tex> от <tex> 1 </tex>, значит, сумма выражений под логарифмами не превосходит единицы. Далее, рассмотрим сумму логарифмов до <tex>\log_2 x + \log_2 y = \log_2 xyn </tex>. При верно, что <tex>x + y w(q) \geqslant \displaystyle \le dfrac {1}{n^{2}} </tex> произведение , так как максимальное значение знаменателя в определении <tex>xyw(q) </tex> по неравенству между средними не превышает достигается при <tex>1/4q = n </tex>. А поскольку логарифм - функция возрастающая, то и <tex>\log_2 xy \le -2f = 1 </tex>, что и является требуемым неравенствомили наоборот.

'''Zig-zag'''. Выполнено два поворотаТогда, амортизированное время выполнения шага <tex>T = 2 + r'(v) + r'(u) + r'(w) - r(v) - r(u) - r(w)</tex>. Поскольку <tex>r'(v) = r(w)</tex>воспользовавшись полученными оценками, то <tex>T = 2 + r'(u) + r'(w) найдем изменение потенциала сплей- r(v) - r(u)</tex>. Далее, так как дерева после <tex>r(v) \le r(u)</tex>, то <tex>T \le 2 + r'(u) + r'(w) - 2r(v)m </tex>.запросов:

Мы утверждаем, что эта сумма не превосходит <tex>2\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \left (r'(v\Phi_{i-1} - \Phi_{i} \right) = \Phi_{0} - r\Phi_{m} \leqslant \sum_{q=1}^{n} \log_{2} W - \sum_{q=1}^{n} \log_{2}w(vq)= \sum_{q=1}^{n} \log_{2} \dfrac {W}{w(q)} </tex>, то есть, что <tex>r'\displaystyle = O \Biggl(u) + r'(w) - 2r'(v) \le -sum_{q=1}^{n} \log_{2} n^{2}\Biggr) = </tex>. Но, поскольку <tex>r'\displaystyle O\Biggl(u) + r'(w) - 2r'(v) = 2 \log_2 cdot\fracsum_{q=1}^{C'(u)n}\log_{C'(v)2} + n\log_2 Biggr) = O\frac{C'left (w)}n \log_{C'(v)2} n\le -2right) </tex> - аналогично доказанному ранее, что и требовалось доказать.

ИтогоПервое неравенство верно, так как максимальное значение потенциала достигается при <tex> s(q) = W </tex>, а минимальное при <tex> s(q) = w(q) </tex>, а значит изменение потенциала не превышает разности этих величин.  Обозначим за <tex> t </tex> корень сплей-дерева. Тогда, воспользовавшись вышеуказанной [[#Lemma1|леммой]] (можно показать, что она верна для любого фиксированного определения веса узла) получаем, что амортизированное время шага zig <tex> \displaystyle a_{i} = 3 \cdot \left ( r(t) -zag не превосходит r(q_{i}) \right) + 1 = O\left (\log_{2} \dfrac {s(t)}{s\left (q_{i}\right)}\right) + 1 = O\left (\log_{2} \dfrac {W}{w(q_{i})}\right) + 1 = </tex> <tex>O\left (\log_{2} \left (W \cdot \left (\lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right)^{2} \right ) \right ) + 1 = O\left (\log_{2} \left (r'\lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right) \right ) + 1 </tex>. Докажем, что данное определение потенциала удовлетворяет условию [[Амортизационный анализ|теоремы о методе потенциалов]]. Для любого <tex> i </tex> верно, что <tex> a_{i} = O(\log_{2}(vn)) </tex>, так как <tex> \lvert q_{i} - rf \rvert + 1 \leqslant n </tex>, и <tex> \Phi_{i} = O(n\log_{2}(n)) </tex>, как было показано выше. Так как количество операций на запрос <tex>k = O(vn)</tex>, то <tex> a_{i} = O(f(k,n) ) </tex> и <tex> \le 3Phi_{i} = O(kf(k,n)) </tex>, где <tex> f(r'k,n) </tex> {{---}} функция из теоремы о методе потенциалов, равная в данном случае <tex> \log_{2}n </tex>. Следовательно, потенциал удовлетворяет условию теоремы.  Тогда, подставляя найденные значения в формулу <tex> (v\ast) </tex>, получаем, что  <tex>T=\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \left ( O \left ( \log_{2} \left ( \lvert q_{i} - rf \rvert + 1 \right) \right) + 1 \right ) + O\left ( n \log_{2} n \right) = </tex> <tex> \displaystyle O \left (n \log_{2} n + m + \displaystyle \sum_{i=1}^{m} \log_{2} \left (v\lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right)\right)</tex>.

Данная теорема показывает, что сплей-деревья поддерживают достаточно эффективный доступ к ключам, которые находятся близко к какому-то фиксированному ключу. =Литература=Splay-деревья по неявному ключу==Splay-дерево по неявному ключу полностью аналогично [[Декартово дерево по неявному ключу|декартову дереву по неявному ключу]], неявным ключом также будет количество элементов дерева, меньших данного. Аналогично, будем хранить вспомогательную величину <tex>C(x)</tex> — количество вершин в поддереве. К операциям, которые уже были представлены в декартовом дереве, добавляется splay, но пересчет <tex>C(x)</tex> в ней тривиален, так как мы точно знаем, куда перемещаются изменяемые поддеревья. == См. также ==* [[2-3 дерево]]* [[B-дерево]]* [[B+-дерево]]* [[АВЛ-дерево]]* [[Красно-черное дерево]]

==Источники информации==*[http[wikipedia://en.wikipedia.org/wiki/Splay_tree :Splay_Tree|Википедия {{---}} Splay tree - Википедия]]