Изменения

'''Сплей-дерево ''' (англ. ''Splay-tree)''' {{---}} ) — это [[Дерево поиска, наивная реализация | двоичное дерево поиска]].Оно позволяет находить быстрее те данные, которые использовались недавно. Относится к разряду сливаемых деревьев. Сплей-дерево было придумано Робертом Тарьяном и Даниелем Слейтером в <tex>1983 </tex> году.

==Эвристики==Для того, чтобы доступ к недавно найденным данным был быстрее, надо, чтобы эти данные находились ближе к корню. Этого мы можем добиться, используяразличные эвристики:*"'''Move to Root" ''' {{---}} эвристика, совершающая совершает повороты вокруг ребра <tex>(x, p)</tex> (, где <tex>x</tex> - — найденная вершина, <tex>p</tex> - — ее предок), пока <tex>x</tex> не окажется корнем дерева. Эта эвристика не дает нам никакого улучшения времени работыОднако можно построить такую последовательность операций, что амортизированное время доступа к вершине будет <tex> \Omega(n) </tex>.*"'''Splay" ''' {{---}} эвристикатакже совершает повороты, меняющая структуру дерева при перемещения <tex>x</tex> в корень такно чередует различные виды поворотов, чтобы следующие поиски происходили быстрееблагодаря чему достигается логарифмическая амортизированная оценка. Она будет подробно описана ниже и ее мы будем использовать.

=Операции со '''Пример''': При последовательном использовании операций "move to root" для вершин <tex>A</tex> и <tex>B</tex> требуется по <tex>6</tex> поворотов, в то время как при использовании операции "splay-деревом=" для вершины <tex>B</tex> достаточно <tex>3</tex> поворотов.

==Splay(Tree, x)=="Splay" делится на 3 случая[[file:===Zig===Если <tex>p</tex> - корень дерева с сыном <tex>x</tex>, то совершаем один поворот вокруг ребра <tex>(x, p)</tex>, делая <tex>x</tex> корнем дерева. Данный случай является крайним и выполняется только один раз в конце, если изначальная глубина <tex>x</tex> была нечетнойMove_to_root.png|750px]]

[[file:ZigSplaySplay.gifpng|500px|Zig - поворот750px]]===Zig-Zig===Если <tex>p</tex> - не корень дерева, а <tex>x</tex> и <tex>p</tex> - оба левые или оба правые дети, то делаем поворот ребра <tex>(p, g)</tex>, где <tex>g</tex> отец <tex>p</tex>, а затем поворот ребра <tex>(x, p)</tex>.

[[file:ZigZigSplay.gif|500px|Zig-zig - поворот]]===ZigОперации со splay-Zag=деревом==Если <tex>p</tex> - не корень дерева и <tex>x</tex> - левый ребенок, а <tex>p</tex> - правый, или наоборот, то делаем поворот вокруг ребра <tex>(x, p)</tex>, а затем поворот нового ребра <tex>(x, g)</tex>, где <tex>g</tex> - бывший родитель <tex>p</tex>.

[[file===splay(tree, x)==="splay" делится на <tex>3</tex> случая:ZigZagSplay====zig====Если <tex>p</tex> — корень дерева с сыном <tex>x</tex>, то совершаем один поворот вокруг ребра <tex>(x, p)</tex>, делая <tex>x</tex> корнем дерева. Данный случай является крайним и выполняется только один раз в конце, если изначальная глубина <tex>x</tex> была нечетной.gif|500px|Zig-zag - поворот]]

Данная операция занимает [[file:Зиг.png|800px|zig — поворот]]====zig-zig====Если <tex>p</tex> — не корень дерева, а <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — оба левые или оба правые дети, то делаем поворот ребра <tex>O(dp, g)</tex> времени, где <tex>dg</tex> - длина пути от отец <tex>xp</tex> до корня. В результате этой операции , а затем поворот ребра <tex>(x, p)</tex> становится корнем дерева, а расстояние до корня от каждой вершины сокращается примерно пополам, что связано с разделением случаев "zig-zig" и "zig-zag".

[[file:Зиг_зиг.png|800px|zig-zig — поворот]]====zig-zag==Find(Tree, x)==Эта операция выполняется как для обычного [http:Если <tex>p</tex> — не корень дерева и <tex>x</neerc.ifmo.rutex> — левый ребенок, а <tex>p</wikitex> — правый, или наоборот, то делаем поворот вокруг ребра <tex>(x, p)</index.php?title=%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0tex>, а затем поворот нового ребра <tex>(x,_%D0%BD%D0%B0%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F бинарного дерева] g)</tex>, только после нее запускается операция Splayгде <tex>g</tex> — бывший родитель <tex>p</tex>.

==Merge(Tree1, Tree2)==У нас есть два дерева <tex>Tree1</tex> и <tex>Tree2</tex>, причём подразумевается, что все элементы первого дерева меньше элементов второго. Запускаем Splay от самого большого элемента в дереве <tex>Tree1</tex> (пусть это элемент <tex>i</tex>). После этого корень <tex>Tree1</tex> содержит элемент <tex>i</tex>, при этом у него нет правого ребёнка. Делаем <tex>Tree2</tex> правым поддеревом <tex>i</tex> и возвращаем полученное дерево[[file:Зиг_заг2.png|900px|zig-zag — поворот]]

==SplitДанная операция занимает <tex>O(Treed)</tex> времени, x)==Запускаем Splay от элемента где <tex>xd</tex> и возвращаем два дерева, полученные отсечением правого или левого поддерева — длина пути от корня, в зависимости от того, содержит корень элемент больше или не больше, чем <tex>x</tex>до корня.

==Add=find(Treetree, x)===Запускаем Split(TreeЭта операция выполняется как для обычного [[Дерево поиска, x), который нам возвращает деревья <tex>Tree1</tex> и <tex>Tree2</tex>наивная реализация|бинарного дерева поиска]], их подвешиваем к <tex>x</tex> как левое и правое поддеревья соответственнотолько после нее запускается операция splay.

==Remove=merge(Treetree1, xtree2)== =У нас есть два дерева <tex>\mathtt{tree1}</tex> и <tex>\mathtt{tree2}</tex>, причём подразумевается, что все элементы первого дерева меньше элементов второго. Запускаем Splay splay от самого большого элемента в дереве <tex>\mathtt{tree1}</tex> (пусть это элемент <tex>i</tex>). После этого корень <tex>\mathtt{tree1}</tex> содержит элемент <tex>i</tex>, при этом у него нет правого ребёнка. Делаем <tex>x\mathtt{tree2}</tex> правым поддеревом <tex>i</tex> элемента и возвращаем Merge от его детейполученное дерево.

=Анализ операции ==split(tree, x)===Запускаем splay=от элемента <tex>x</tex> и возвращаем два дерева, полученные отсечением правого или левого поддерева от корня, в зависимости от того, содержит корень элемент больше или не больше, чем <tex>x</tex>.

===add(tree, x)===Запускаем split(tree, x), который нам возвращает деревья <tex>\mathtt{tree1}</tex> и <tex>\mathtt{tree2}</tex>, их подвешиваем к <tex>x</tex> как левое и правое поддеревья соответственно. ===remove(tree, x)=== Запускаем splay от <tex>x</tex> элемента и возвращаем Merge от его детей. ==Реализация операции splay== ===Bottom-up=== В этой реализации операция splay производится при подъеме от целевой вершины до корня путем применения поворотов. Для подъема по дереву требуется доступ к вершине-родителю. Этого можно достичь либо путем хранения в каждой вершине ссылки на родителя, либо с помощью стека вершин на пути от корня к целевой. Определим вспомогательные функции:*<tex>\mathrm{rotate\_left}(v)</tex> {{---}} поворот ребра, соединяющего v и его правого сына*<tex>\mathrm{rotate\_right}(v)</tex> {{---}} симметрично <tex>\mathrm{rotate\_left}</tex>*<tex>\mathrm{p}(v)</tex> {{---}} родитель вершины <tex>v</tex>*<tex>\mathrm{g}(v)</tex> {{---}} родитель родителя вершины <tex>v</tex> Приведем реализацию <tex>\mathrm{p}</tex>, <tex>\mathrm{g}</tex>, <tex>\mathrm{rotate\_left}</tex>. Реализация <tex>\mathrm{rotate\_right}</tex> симметрична. Положим, что для доступа к родительской вершине имеется соответствующее поле.  '''Node''' p('''Node''' v): '''return''' v.parent  '''Node''' g('''Node''' v): '''return''' p(p(v))  '''void''' rotate_left('''Node''' v): '''Node''' p = p(v) '''Node''' r = v.right '''if''' (p != '''null''') '''if''' (p.left == v) p.left = r '''else''' p.right = r '''Node''' tmp = r.left r.left = v v.right = tmp p(v) = r p(r) = p '''if''' (v.right != '''null''') p(v) = v Реализация splay:  '''void''' splay('''Node''' v): '''while''' (p(v) != '''null''') '''if''' (v == p(v).left) '''if''' (g(v) == '''null''') rotate_right(p(v)) '''else if''' (p(v) == g(v).left) rotate_right(g(v)) rotate_right(p(v)) '''else''' rotate_right(p(v)) rotate_left(p(v)) '''else''' '''if''' (g(v) == '''null''') rotate_left(p(v)) '''else if''' (p(v) == g(v).right) rotate_left(g(v)) rotate_left(p(v)) '''else''' rotate_left(p(v)) rotate_right(p(v)) Преимуществом данного подхода является возможность инкапсуляции всех модификаций структуры дерева, включая создание вспомогательных переменных и нарушение инвариантов. Рекомендуется для использования в случае, когда есть прямой доступ к целевой для операции splay вершине, иначе требуется два прохода по пути от корня до вершины (первый {{---}} поиск вершины стандартным алгоритмом, второй {{---}} splay). ===Top-down=== Данная реализация не требует прямого доступа к целевой вершине, поскольку процесс перебалансировки происходит во время поиска вершины в дереве. В процессе спуска во время операции splay дерево разбивается на три части: <tex>L</tex>, <tex>M</tex>, <tex>R</tex>. Деревья <tex>L</tex> и <tex>R</tex> содержат все вершины исходного дерева, для которых на данном этапе известно, что они меньше или больше искомого элемента соответственно. Дерево <tex>M</tex> содержит вершины, принадлежащие поддереву текущей вершины на пути к целевой в исходном дереве. Изначально деревья <tex>L</tex> и <tex>R</tex> пусты, а текущая вершина пути к целевой {{---}} корень.  За одну итерацию операции splay производится спуск на две вершины по пути поиска целевой. Пройденные ребра удаляются, и отсоединившиеся при этом поддеревья добавляются правым ребенком наибольшей по значению вершине дерева <tex>L</tex> или левым ребенком к наименьшей по значению вершине дерева <tex>R</tex>. При этом если происходит спуск оба раза в левых или правых детей, то перед присоединением производится поворот. [[file:Top-Down_Splay.png|512px]] В конце пути производится слияние деревьев <tex>L</tex>, <tex>M</tex> и <tex>R</tex> таким образом, что новым корнем дерева становится вершина с целевым значением. [[file:Top-Down_Assembly.png|512px]] Приведем реализацию. Определим переменные:*<tex>val</tex> {{---}} значение в целевой вершине*<tex>t</tex> {{---}} текущая вершина, до и после splay {{---}} корень дерева*<tex>l</tex> {{---}} наибольшая по значению вершина дерева <tex>L</tex>*<tex>r</tex> {{---}} наименьшая по значению вершина дерева <tex>R</tex>*<tex>l\_root</tex> {{---}} корень дерева <tex>L</tex>*<tex>r\_root</tex> {{---}} корень дерева <tex>R</tex> Определим вспомогательные функции:*<tex>\mathrm{rotate\_left}(v)</tex> {{---}} поворот ребра, соединяющего <tex>v</tex> и его правого сына*<tex>\mathrm{rotate\_right}(v)</tex> {{---}} симметрично <tex>\mathrm{rotate\_left}</tex>*<tex>\mathrm{break\_left}(v)</tex> {{---}} удалить ребро, соединяющее <tex>v</tex> и его правого сына, соединить <tex>l</tex> с полученным деревом*<tex>\mathrm{break\_right}(v)</tex> {{---}} симметрично <tex>\mathrm{break\_left}</tex>*<tex>\mathrm{assemble}()</tex> {{---}} слить деревья <tex>L</tex>, <tex>M</tex> и <tex>R</tex> Приведем реализацию <tex>\mathrm{rotate\_left}</tex>, <tex>\mathrm{break\_left}</tex>, <tex>\mathrm{assemble}</tex>. Реализация и <tex>\mathrm{break\_right}</tex> симметрична.  '''Node''' rotate_left('''Node''' v): '''Node''' r = v.right '''Note''' tmp = r.left r.left = v v.right = tmp '''return''' r  '''Node''' break_left('''Node''' v): '''Node''' tmp = v.right v.right = '''null''' '''if''' (l == '''null''') l_root = l = v '''else''' l.right = v l = v '''return''' tmp  '''void''' assemble(): l.right = t.left r.left = t.right t.left = l_root t.right = r_root Реализация splay:  '''void''' splay('''Value''' val): '''while''' (t.value != val) '''if''' (val < t.value) '''if''' (val == t.left.value) t = break_right(t) '''else if''' (val < t.left.value) t = rotate_right(t) t = break_right(t) '''else''' t = break_right(t) t = break_left(t) '''else''' '''if''' (val == t.right.value) t = break_left(t) '''else if''' (val > t.right.value) t = rotate_left(t) t = break_left(t) '''else''' t = break_left(t) t = break_right(t) assemble() Реализацию splay можно упростить, опустив вторую операцию удаления ребра в случае zig-zag. Приведем также ее:  '''void''' simplified_splay('''Value''' val): '''while''' (t.value != val) '''if''' (val < t.value) '''if''' (val < t.left.value) t = rotate_right(t) t = break_right(t) '''else''' '''if''' (val > t.right.value) t = rotate_left(t) t = break_left(t) assemble() ===Время работы=== В обеих реализациях осуществляется проход по пути от корня к целевой вершине и/или обратно. По вышеупомянутой Лемме, путь состоит из <tex>O(\log n)</tex> вершин. Обработка каждой вершины имеет сложность <tex>O(1)</tex>. Таким образом, сложность приведенных выше операции splay {{---}} <tex>O(\log n)</tex> ==Анализ операции splay== [[Амортизационный анализ | Амортизационный анализ]] сплей-дерева проводится с помощью метода потенциалов. Потенциалом рассматриваемого дерева назовём сумму рангов его вершин. Ранг вершины <tex>x</tex> — это величина, обозначаемая <tex>r(x)</tex> и равная <tex>\log_2 C(x)</tex>, где <tex>C(x)</tex> — количество вершин в поддереве с корнем в <tex>x</tex>.

'''Zigzig'''. Поскольку выполнен один поворот, то время амортизированное время выполнения шага <tex>T = 1 + r'(x) + r'(p) - r(x) - r(p)</tex> (поскольку только у вершин <tex>x</tex> и <tex>p</tex> меняется ранг). Ранг вершины <tex>p</tex> уменьшился, поэтому <tex>T \le leqslant 1 + r'(x) - r(x)</tex>. Ранг вершины <tex>x</tex> увеличился, поэтому <tex>r'(x) - r(x) \ge geqslant 0</tex>. Следовательно, <tex>T \le leqslant 1 + 3r'(x) - 3r(x)</tex>. '''zig-zig'''. Выполнено два поворота, амортизированное время выполнения шага <tex>T = 2 + r'(x) + r'(p) + r'(g) - r(p) - r(x) - r(g)</tex>. Поскольку после поворотов поддерево с корнем в <tex>x</tex> будет содержать все вершины, которые были в поддереве с корнем в <tex>g</tex> (и только их), поэтому <tex>r'(x) = r(g)</tex>. Используя это равенство, получаем: <tex>T = 2 + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p) \leqslant 2 + r'(p) + r'(g) - 2r(x)</tex>, поскольку <tex>r(x) \leqslant r(p)</tex>. Далее, так как <tex>r'(p) \leqslant r'(x)</tex>, получаем, что <tex>T \leqslant 2 + r'(x) + r'(g) - 2r(x)</tex>. Мы утверждаем, что эта сумма не превосходит <tex>3(r'(x) - r(x))</tex>, то есть, что <tex>r(x) + r'(g) - 2r'(x) \leqslant -2</tex>. Преобразуем полученное выражение следующим образом: <tex>(r(x) - r'(x)) + (r'(g) - r'(x)) = \log_2 \dfrac {C(x)}{C'(x)} + \log_2 \dfrac {C'(g)}{C'(x)}</tex>. Из рисунка видно, что <tex>C'(g) + C(x) \leqslant C'(x)</tex>, значит, сумма выражений под логарифмами не превосходит единицы. Далее, рассмотрим сумму логарифмов <tex>\log_2 a + \log_2 b = \log_2 ab</tex>. При <tex>a + b \leqslant 1</tex> произведение <tex>ab</tex> по неравенству между средними не превышает <tex>\dfrac{1}{4}</tex>. А поскольку логарифм — функция возрастающая, то <tex>\log_2 ab \leqslant -2</tex>, что и является требуемым неравенством. '''zig-zag'''. Выполнено два поворота, амортизированное время выполнения шага <tex>T = 2 + r'(x) + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p) - r(g)</tex>. Поскольку <tex>r'(x) = r(g)</tex>, то <tex>T = 2 + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p)</tex>. Далее, так как <tex>r(x) \leqslant r(p)</tex>, то <tex>T \leqslant 2 + r'(p) + r'(g) - 2r(x)</tex>. Мы утверждаем, что эта сумма не превосходит <tex>2(r'(x) - r(x))</tex>, то есть, что <tex>r'(p) + r'(g) - 2r'(x) \leqslant -2</tex>. Но, поскольку <tex>r'(p) + r'(g) - 2r'(x) = \log_2 \dfrac {C'(p)}{C'(x)} + \log_2 \dfrac {C'(g)}{C'(x)} \leqslant -2</tex> - аналогично доказанному ранее, что и требовалось доказать. Итого, получаем, что амортизированное время шага zig-zag не превосходит <tex>2(r'(x) - r(x)) \leqslant 3(r'(x) - r(x))</tex>. Поскольку за время выполнения операции splay выполняется не более одного шага типа zig, то суммарное время не будет превосходить <tex>3r(t) - 3r(x) + 1</tex>, поскольку утроенные ранги промежуточных вершин сокращаются (входят в сумму как с плюсом, так и с минусом). Тогда суммарное время работы splay <tex>T_{splay} \leqslant 3\log_2 N - 3\log_2 C(x) + 1 = O(\log_2 N)</tex>, где <tex>N</tex> — число элементов в дереве.}} == Статическая оптимальность сплей-дерева =={{Теорема|statement=Если к ключам <tex>1 \ldots n</tex>, сложенным в сплей-дерево выполняется <tex>m</tex> запросов, к <tex>i</tex>-му ключу осуществляется <tex>k_i</tex> запросов, где <tex>k_i > 0</tex>, то суммарное время работы не превышает <tex>O(m \cdot H(p_1, p_2, \ldots , p_n))</tex>, где <tex>p_i = k_i / m</tex>, <tex>H</tex> — шенноновская энтропия|proof=Известно, что <tex>H(p_1, p_2, \ldots , p_n) = -c \cdot \displaystyle \sum_{i=1}^n (p_i \cdot \log_{2}p_i)</tex> {{---}} [[Энтропия_случайного_источника | шенноновская энтропия]]. Пусть <tex>s(x) = \displaystyle \sum_{y} w(y)</tex> {{---}} количество вершин в поддереве с корнем в <tex>x</tex>. А <tex>r(x) = \log_{2} s(x)</tex> {{---}} ранг вершины. Обозначим за <tex>r</tex> корень <tex>splay</tex>-дерева.Из предыдущей теоремы известно, что <tex>a_{splay} \leqslant 1+3(r(r)-r(x))</tex> Пусть <tex dpi="130">w(x_i) = p_i =</tex> <tex dpi="180"> {k_i \over m}</tex>, тогда <tex dpi="130">k_i = p_i \cdot m</tex>.<br><tex>m+3mr(r)-3 \displaystyle \sum_{i=1}^n k_ir(x_i) \leqslant m+3mr(r)-3 \displaystyle \sum_{i+1}^n k_i\log_{2}w(x_i) =</tex> <tex> m+3mr(r)-3 \displaystyle \sum_{i=1}^n (p_i\cdot m\cdot \log_{2}p_i) = m(1+3r(r)-3 \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i\log_{2}p_i) = (*)</tex>Так как вершина <tex>r</tex> {{---}} корень <tex>splay</tex>-дерева, то очевидно, что <tex>s = \displaystyle \sum_{y} w(y) = 1</tex>, следовательно <tex>r(r) = \log_{2}s(r)=0</tex>. Поэтому <tex>(*) = m(1+H(p_1,\ldots ,p_n)) = O(mH(p_1,\ldots ,p_n))</tex>, ч.т.д.}} ==Теорема о близких запросах в сплей-дереве== {{Теорема |about = о близких запросах в сплей-дереве|statement = Пусть в сплей-дерево сложены ключи <tex> 1, \dotsc, n </tex>. Зафиксируем один из ключей <tex> f </tex>. Пусть выполняется <tex> m </tex> запросов к ключам. Тогда суммарное время на запросы есть <tex> \displaystyle O(n \log_{2} n + m + \sum_{i=1}^{m} \log_2 ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1)) </tex>, где <tex> q_{i} </tex> {{---}} значение в вершине, к которой обращаются в <tex> i </tex>-ый запрос. |proof =  Для доказательства теоремы воспользуемся методом потенциалов:  <tex> a_{i} = t_{i} + \Phi_{i} - \Phi_{i-1} </tex>. По условию выполняется <tex> m </tex> запросов, следовательно <tex> T = \displaystyle \sum_{i=1}^{m} t_{i} = \sum_{i=1}^{m} \left (a_{i} + \Phi_{i-1} - \Phi_{i} \right) = \sum_{i=1}^{m} a_{i} + \sum_{i=1}^{m} \left ( \Phi_{i-1} - \Phi_{i} \right) </tex> <tex> (\ast) </tex>. Введем следующие обозначения: * Весом узла с ключом <tex> q </tex> будем называть величину <tex> w(q) =\displaystyle \dfrac {1}{\left (\lvert q - f \rvert + 1 \right )^{2}} </tex>. * Размером узла, содержащего ключ <tex> q </tex>, будем называть величину <tex> s(q) = \displaystyle \sum_{y} w(y) </tex>, где <tex> y </tex> {{---}} узлы поддерева с корнем в <tex> q </tex>. * <tex> r(q) = \log_{2}s(q) </tex> {{---}} ранг узла. * Потенциал дерева после <tex> i </tex>-го запроса обозначим как <tex> \Phi_{i} = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} r(q) = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} \log_{2}s(q) </tex>. Пусть <tex> W </tex> {{---}} вес дерева. Тогда <tex> W = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} w(q) = \sum_{q=1}^{n} \dfrac {1}{\left (\lvert q - f \rvert + 1 \right)^{2}} \leqslant 2 \cdot \sum_{q=1}^{+\infty} \dfrac {1}{ \left ( \lvert q - f \rvert + 1 \right)^{2}} = O(1) </tex>. Последнее верно, так как при фиксированном <tex> f </tex>, начиная с некоторого места, а именно <tex> q = f </tex>, ряд сходится.  Из определения размера узла следует, что <tex> w(q) \leqslant s(q) \leqslant W </tex>. Также заметим, что для любого <tex> q </tex> от <tex> 1 </tex> до <tex> n </tex> верно, что <tex> w(q) \geqslant \displaystyle \dfrac {1}{n^{2}} </tex>, так как максимальное значение знаменателя в определении <tex> w(q) </tex> достигается при <tex> q = n </tex> и <tex> f = 1 </tex> или наоборот. Тогда, воспользовавшись полученными оценками, найдем изменение потенциала сплей-дерева после <tex> m </tex> запросов: <tex>\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \left ( \Phi_{i-1} - \Phi_{i} \right) = \Phi_{0} - \Phi_{m} \leqslant \sum_{q=1}^{n} \log_{2} W - \sum_{q=1}^{n} \log_{2}w(q) = \sum_{q=1}^{n} \log_{2} \dfrac {W}{w(q)} </tex> <tex> \displaystyle = O \Biggl(\sum_{q=1}^{n} \log_{2} n^{2}\Biggr) = </tex> <tex> \displaystyle O\Biggl(2 \cdot\sum_{q=1}^{n} \log_{2} n\Biggr) = O\left (n \log_{2}n\right) </tex>.

'''Zig-zig'''. Выполнено два поворотаПервое неравенство верно, амортизированное время выполнения шага так как максимальное значение потенциала достигается при <tex>T = 2 + r's(xq) + r'(p) + r'(g) - r(p) - r(x) - r(g)</tex>. Поскольку после поворотов поддерево с корнем в <tex>x</tex> будет содержать все вершины, которые были в поддереве с корнем в <tex>g= W </tex> (и только их), поэтому а минимальное при <tex>r's(xq) = rw(gq)</tex>. Используя это равенство, получаем: <tex>T = 2 + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p) \le 2 + r'(p) + r'(g) - 2r(x)</tex>, поскольку <tex>r(x) \le r(p)</tex>а значит изменение потенциала не превышает разности этих величин.

Далее, так как Обозначим за <tex>r'(p) \le r'(x)t </tex>корень сплей-дерева. Тогда, воспользовавшись вышеуказанной [[#Lemma1|леммой]] (можно показать, что она верна для любого фиксированного определения веса узла) получаем, что <tex>T \le 2 + r'(x) + r'(g) - 2r(x)</tex>.

Мы утверждаем, что эта сумма не превосходит <tex>\displaystyle a_{i} = 3\cdot \left (r'(xt) - r(xq_{i}) \right)+ 1 = O\left (\log_{2} \dfrac {s(t)</tex>, то есть, что <tex>r}{s\left (xq_{i}\right)}\right) + r'1 = O\left (g) - 2r'\log_{2} \dfrac {W}{w(xq_{i}) }\le -2right) + 1 = </tex>. Преобразуем полученное выражение следующим образом: <tex>O\left (\log_{2} \left (rW \cdot \left (x) \lvert q_{i} - r'(x)) f \rvert + (r'(g1 \right) - r'(x^{2} \right )\right ) + 1 = O\log_2 left (\fraclog_{C2} \left (x)}\lvert q_{C'(x)i} - f \rvert + 1 \log_2 right) \frac{C'(gright )}{C'(x)}+ 1 </tex>.

Из рисунка видноДокажем, что <tex>C'(g) + C(x) \le C'(x)</tex>, значит, сумма выражений под логарифмами не превосходит единицы. Далее, рассмотрим сумму логарифмов <tex>\log_2 a + \log_2 b = \log_2 ab</tex>. При <tex>a + b \le 1</tex> произведение <tex>ab</tex> по неравенству между средними не превышает <tex>1/4</tex>. А поскольку логарифм - функция возрастающая, то <tex>\log_2 ab \le -2</tex>, что и является требуемым неравенствомданное определение потенциала удовлетворяет условию [[Амортизационный анализ|теоремы о методе потенциалов]].

'''Zig-zag'''. Выполнено два поворотаДля любого <tex> i </tex> верно, амортизированное время выполнения шага что <tex>T a_{i} = O(\log_{2 + r'}(xn) + r'(p) </tex>, так как <tex> \lvert q_{i} - f \rvert + r'1 \leqslant n </tex>, и <tex> \Phi_{i} = O(g) - rn\log_{2}(xn) - r(p) - r(g)</tex>, как было показано выше. Поскольку Так как количество операций на запрос <tex>r'(x) k = rO(gn)</tex>, то <tex>T a_{i} = 2 + r'O(f(pk,n)) + r'</tex> и <tex> \Phi_{i} = O(g) - rkf(xk,n) - r(p)</tex>. Далее, так как где <tex>rf(x) \le r(pk,n)</tex>{{---}} функция из теоремы о методе потенциалов, то равная в данном случае <tex>T \le log_{2 + r'(p) + r'(g) - 2r(x)}n </tex>. Следовательно, потенциал удовлетворяет условию теоремы.

Мы утверждаемТогда, что эта сумма не превосходит подставляя найденные значения в формулу <tex>2(r'(x) - r(x)\ast)</tex>, то есть, что <tex>r'(p) + r'(g) - 2r'(x) \le -2</tex>. Но, поскольку <tex>r'(p) + r'(g) - 2r'(x) = \log_2 \frac{C'(p)}{C'(x)} + \log_2 \frac{C'(g)}{C'(x)} \le -2</tex> - аналогично доказанному ранее получаем, что и требовалось доказать.

Итого, получаем, что амортизированное время шага zig-zag не превосходит <tex>T=\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \left ( O \left ( \log_{2} \left (r'(x\lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right) \right) + 1 \right ) - r+ O\left (x)n \log_{2} n \right) = </tex> <tex> \displaystyle O \le 3left (r'n \log_{2} n + m + \displaystyle \sum_{i=1}^{m} \log_{2} \left (x) \lvert q_{i} - r(xf \rvert + 1 \right)\right)</tex>.

=SplayДанная теорема показывает, что сплей-деревья по неявному поддерживают достаточно эффективный доступ к ключам, которые находятся близко к какому-то фиксированному ключу=.

Здесь ==Splay-деревья по неявному ключу==Splay-дерево по неявному ключу полностью аналогично [[Декартово дерево по неявному ключу|декартову дереву по неявному ключу]], неявным ключом также будет про неявные ключиколичество элементов дерева, меньших данного. Аналогично, будем хранить вспомогательную величину <tex>C(x)</tex> — количество вершин в поддереве. К операциям, которые уже были представлены в декартовом дереве, добавляется splay, но пересчет <tex>C(x)</tex> в ней тривиален, так как мы точно знаем, куда перемещаются изменяемые поддеревья.

=Литература=См. также ==* [[2-3 дерево]]* [[B-дерево]]* [[B+-дерево]]* [[АВЛ-дерево]]* [[Красно-черное дерево]]

==Источники информации==*[http[wikipedia://en.wikipedia.org/wiki/Splay_tree :Splay_Tree|Википедия {{--- }} Splay tree]]