Изменения
→find(tree, x)
'''Сплей-дерево ''' (англ. ''Splay-tree)''' {{---}} ) — это [[Дерево поиска, наивная реализация | двоичное дерево поиска]]. Оно позволяет находить быстрее те данные, которые использовались недавно. Относится к разряду сливаемых деревьев. Сплей-дерево было придумано Робертом Тарьяном и Даниелем Слейтером в <tex>1983 </tex> году.
==Эвристики==
Для того, чтобы доступ к недавно найденным данным был быстрее, надо, чтобы эти данные находились ближе к корню. Этого мы можем добиться, используя различные эвристики:
* '''Move to Root''' {{---}} совершает повороты вокруг ребра <tex>(x, p)</tex>, где <tex>x</tex> - — найденная вершина, <tex>p</tex> - — ее предок, пока <tex>x</tex> не окажется корнем дерева. Однако можно построить такую последовательность операций, что амортизированное время доступа к вершине будет <tex> O\Omega(n) </tex>.
* '''Splay''' {{---}} также совершает повороты, но чередует различные виды поворотов, благодаря чему достигается логарифмическая амортизированная оценка. Она будет подробно описана ниже.
'''Пример''': При последовательном использовании операций "move to root" для вершин <tex>A</tex> и <tex>B</tex> требуется по <tex>6</tex> поворотов, в то время как при использовании операции "splay" для вершины <tex>B</tex> достаточно <tex>3</tex> поворотов.
[[file:Move_to_root.png|750px]]
[[file:Splay.png|750px]]
==Операции со splay-деревом==
===Splaysplay(Treetree, x)==="Splaysplay" делится на <tex>3 </tex> случая:====Zigzig====Если <tex>p</tex> - — корень дерева с сыном <tex>x</tex>, то совершаем один поворот вокруг ребра <tex>(x, p)</tex>, делая <tex>x</tex> корнем дерева. Данный случай является крайним и выполняется только один раз в конце, если изначальная глубина <tex>x</tex> была нечетной. [[file:Зиг.png|800px|zig — поворот]]====zig-zig====Если <tex>p</tex> — не корень дерева, а <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — оба левые или оба правые дети, то делаем поворот ребра <tex>(p, g)</tex>, где <tex>g</tex> отец <tex>p</tex>, а затем поворот ребра <tex>(x, p)</tex>. [[file:Зиг_зиг.png|800px|zig-zig — поворот]]====zig-zag====Если <tex>p</tex> — не корень дерева и <tex>x</tex> — левый ребенок, а <tex>p</tex> — правый, или наоборот, то делаем поворот вокруг ребра <tex>(x, p)</tex>, а затем поворот нового ребра <tex>(x, g)</tex>, где <tex>g</tex> — бывший родитель <tex>p</tex>. [[file:Зиг_заг2.png|900px|zig-zag — поворот]] Данная операция занимает <tex>O(d)</tex> времени, где <tex>d</tex> — длина пути от <tex>x</tex> до корня. ===find(tree, x)===Эта операция выполняется как для обычного [[Дерево поиска, наивная реализация|бинарного дерева поиска]], только после нее запускается операция splay. ===merge(tree1, tree2)===У нас есть два дерева <tex>\mathtt{tree1}</tex> и <tex>\mathtt{tree2}</tex>, причём подразумевается, что все элементы первого дерева меньше элементов второго. Запускаем splay от самого большого элемента в дереве <tex>\mathtt{tree1}</tex> (пусть это элемент <tex>i</tex>). После этого корень <tex>\mathtt{tree1}</tex> содержит элемент <tex>i</tex>, при этом у него нет правого ребёнка. Делаем <tex>\mathtt{tree2}</tex> правым поддеревом <tex>i</tex> и возвращаем полученное дерево. ===split(tree, x)===Запускаем splay от элемента <tex>x</tex> и возвращаем два дерева, полученные отсечением правого или левого поддерева от корня, в зависимости от того, содержит корень элемент больше или не больше, чем <tex>x</tex>. ===add(tree, x)===Запускаем split(tree, x), который нам возвращает деревья <tex>\mathtt{tree1}</tex> и <tex>\mathtt{tree2}</tex>, их подвешиваем к <tex>x</tex> как левое и правое поддеревья соответственно. ===remove(tree, x)=== Запускаем splay от <tex>x</tex> элемента и возвращаем Merge от его детей. ==Реализация операции splay== ===Bottom-up=== В этой реализации операция splay производится при подъеме от целевой вершины до корня путем применения поворотов. Для подъема по дереву требуется доступ к вершине-родителю. Этого можно достичь либо путем хранения в каждой вершине ссылки на родителя, либо с помощью стека вершин на пути от корня к целевой. Определим вспомогательные функции:*<tex>\mathrm{rotate\_left}(v)</tex> {{---}} поворот ребра, соединяющего v и его правого сына*<tex>\mathrm{rotate\_right}(v)</tex> {{---}} симметрично <tex>\mathrm{rotate\_left}</tex>*<tex>\mathrm{p}(v)</tex> {{---}} родитель вершины <tex>v</tex>*<tex>\mathrm{g}(v)</tex> {{---}} родитель родителя вершины <tex>v</tex> Приведем реализацию <tex>\mathrm{p}</tex>, <tex>\mathrm{g}</tex>, <tex>\mathrm{rotate\_left}</tex>. Реализация <tex>\mathrm{rotate\_right}</tex> симметрична. Положим, что для доступа к родительской вершине имеется соответствующее поле. '''Node''' p('''Node''' v): '''return''' v.parent
===Merge(Tree1, Tree2)Top-down===У нас есть два дерева <tex>Tree1</tex> и <tex>Tree2</tex>, причём подразумевается, что все элементы первого дерева меньше элементов второго. Запускаем Splay от самого большого элемента в дереве <tex>Tree1</tex> (пусть это элемент <tex>i</tex>). После этого корень <tex>Tree1</tex> содержит элемент <tex>i</tex>, при этом у него нет правого ребёнка. Делаем <tex>Tree2</tex> правым поддеревом <tex>i</tex> и возвращаем полученное дерево.
За одну итерацию операции splay производится спуск на две вершины по пути поиска целевой. Пройденные ребра удаляются, и отсоединившиеся при этом поддеревья добавляются правым ребенком наибольшей по значению вершине дерева <tex>L</tex> или левым ребенком к наименьшей по значению вершине дерева <tex>R</tex>. При этом если происходит спуск оба раза в левых или правых детей, то перед присоединением производится поворот. [[file:Top-Down_Splay.png|512px]] В конце пути производится слияние деревьев <tex>L</tex>, <tex>M</tex> и <tex>R</tex> таким образом, что новым корнем дерева становится вершина с целевым значением. [[file:Top-Down_Assembly.png|512px]] Приведем реализацию. Определим переменные:*<tex>val</tex> {{---}} значение в целевой вершине*<tex>t</tex> {{---}} текущая вершина, до и после splay {{---}} корень дерева*<tex>l</tex> {{---}} наибольшая по значению вершина дерева <tex>L</tex>*<tex>r</tex> {{---}} наименьшая по значению вершина дерева <tex>R</tex>*<tex>l\_root</tex> {{---}} корень дерева <tex>L</tex>*<tex>r\_root</tex> {{---}} корень дерева <tex>R</tex> Определим вспомогательные функции:*<tex>\mathrm{rotate\_left}(v)</tex> {{---}} поворот ребра, соединяющего <tex>v</tex> и его правого сына*<tex>\mathrm{rotate\_right}(v)</tex> {{---}} симметрично <tex>\mathrm{rotate\_left}</tex>*<tex>\mathrm{break\_left}(v)</tex> {{---}} удалить ребро, соединяющее <tex>v</tex> и его правого сына, соединить <tex>l</tex> с полученным деревом*<tex>\mathrm{break\_right}(v)</tex> {{---}} симметрично <tex>\mathrm{break\_left}</tex>*<tex>\mathrm{assemble}()</tex> {{---}} слить деревья <tex>L</tex>, <tex>M</tex> и <tex>R</tex> Приведем реализацию <tex>\mathrm{rotate\_left}</tex>, <tex>\mathrm{break\_left}</tex>, <tex>\mathrm{assemble}</tex>. Реализация и <tex>\mathrm{break\_right}</tex> симметрична. '''Node''' rotate_left('''Node''' v): '''Node''' r = v.right '''Note''' tmp = r.left r.left = v v.right =tmp '''return''' r '''Node''' break_left('''Node''' v): '''Node''' tmp =v.right v.right =Remove'''null''' '''if''' (Treel == '''null''') l_root = l = v '''else''' l.right = v l = v '''return''' tmp '''void''' assemble(): l.right = t.left r.left = t.right t.left = l_root t.right = r_root Реализация splay: '''void''' splay('''Value''' val): '''while''' (t.value != val) '''if''' (val < t.value) '''if''' (val == t.left.value) t = break_right(t) '''else if''' (val < t.left.value) t = rotate_right(t) t = break_right(t) '''else''' t = break_right(t) t = break_left(t) '''else''' '''if''' (val == t.right.value) t = break_left(t) '''else if''' (val > t.right.value) t = rotate_left(t) t = break_left(t) '''else''' t = break_left(t) t = break_right(t) assemble() Реализацию splay можно упростить, xопустив вторую операцию удаления ребра в случае zig-zag. Приведем также ее: '''void''' simplified_splay('''Value''' val): '''while''' (t.value != val) '''if''' (val < t.value) '''if''' (val < t.left.value) t = rotate_right(t) t = break_right(t) '''else''' '''if''' (val > t.right.value) t = rotate_left(t) t = break_left(t) assemble() ===Время работы=== Запускаем Splay В обеих реализациях осуществляется проход по пути от корня к целевой вершине и/или обратно. По вышеупомянутой Лемме, путь состоит из <tex>O(\log n)</tex> вершин. Обработка каждой вершины имеет сложность <tex>xO(1)</tex> элемента и возвращаем Merge от его детей.Таким образом, сложность приведенных выше операции splay {{---}} <tex>O(\log n)</tex>
==Анализ операции splay==
[[Амортизационный анализ | Амортизационный анализ]] сплей-дерева проводится с помощью метода потенциалов. Потенциалом рассматриваемого дерева назовём сумму рангов его вершин. Ранг вершины <tex>x</tex> — это величина, обозначаемая <tex>r(x)</tex> и равная <tex>\log_2 C(x)</tex>, где <tex>C(x)</tex> — количество вершин в поддереве с корнем в <tex>x</tex>.
{{Лемма
|id = Lemma1
|statement=
Амортизированное время операции splay вершины <tex>x</tex> в дереве с корнем <tex>t</tex> не превосходит <tex>3r(t) - 3r(x) + 1</tex>
Разберём случаи в зависимости от типа шага:
'''Zigzig'''. Поскольку выполнен один поворот, то время амортизированное время выполнения шага <tex>T = 1 + r'(x) + r'(p) - r(x) - r(p)</tex> (поскольку только у вершин <tex>x</tex> и <tex>p</tex> меняется ранг). Ранг вершины <tex>p</tex> уменьшился, поэтому <tex>T \le leqslant 1 + r'(x) - r(x)</tex>. Ранг вершины <tex>x</tex> увеличился, поэтому <tex>r'(x) - r(x) \ge geqslant 0</tex>. Следовательно, <tex>T \le leqslant 1 + 3r'(x) - 3r(x)</tex>.
'''Zigzig-zig'''. Выполнено два поворота, амортизированное время выполнения шага <tex>T = 2 + r'(x) + r'(p) + r'(g) - r(p) - r(x) - r(g)</tex>. Поскольку после поворотов поддерево с корнем в <tex>x</tex> будет содержать все вершины, которые были в поддереве с корнем в <tex>g</tex> (и только их), поэтому <tex>r'(x) = r(g)</tex>. Используя это равенство, получаем: <tex>T = 2 + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p) \le leqslant 2 + r'(p) + r'(g) - 2r(x)</tex>, поскольку <tex>r(x) \le leqslant r(p)</tex>.
Далее, так как <tex>r'(p) \le leqslant r'(x)</tex>, получаем, что <tex>T \le leqslant 2 + r'(x) + r'(g) - 2r(x)</tex>.
Мы утверждаем, что эта сумма не превосходит <tex>3(r'(x) - r(x))</tex>, то есть, что <tex>r(x) + r'(g) - 2r'(x) \le leqslant -2</tex>. Преобразуем полученное выражение следующим образом: <tex>(r(x) - r'(x)) + (r'(g) - r'(x)) = \log_2 \fracdfrac {C(x)}{C'(x)} + \log_2 \fracdfrac {C'(g)}{C'(x)}</tex>.
Из рисунка видно, что <tex>C'(g) + C(x) \le leqslant C'(x)</tex>, значит, сумма выражений под логарифмами не превосходит единицы. Далее, рассмотрим сумму логарифмов <tex>\log_2 a + \log_2 b = \log_2 ab</tex>. При <tex>a + b \le leqslant 1</tex> произведение <tex>ab</tex> по неравенству между средними не превышает <tex>\dfrac{1/}{4}</tex>. А поскольку логарифм - — функция возрастающая, то <tex>\log_2 ab \le leqslant -2</tex>, что и является требуемым неравенством.
'''Zigzig-zag'''. Выполнено два поворота, амортизированное время выполнения шага <tex>T = 2 + r'(x) + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p) - r(g)</tex>. Поскольку <tex>r'(x) = r(g)</tex>, то <tex>T = 2 + r'(p) + r'(g) - r(x) - r(p)</tex>. Далее, так как <tex>r(x) \le leqslant r(p)</tex>, то <tex>T \le leqslant 2 + r'(p) + r'(g) - 2r(x)</tex>.
Мы утверждаем, что эта сумма не превосходит <tex>2(r'(x) - r(x))</tex>, то есть, что <tex>r'(p) + r'(g) - 2r'(x) \le leqslant -2</tex>. Но, поскольку <tex>r'(p) + r'(g) - 2r'(x) = \log_2 \fracdfrac {C'(p)}{C'(x)} + \log_2 \fracdfrac {C'(g)}{C'(x)} \le leqslant -2</tex> - аналогично доказанному ранее, что и требовалось доказать.
Итого, получаем, что амортизированное время шага zig-zag не превосходит <tex>2(r'(x) - r(x)) \le leqslant 3(r'(x) - r(x))</tex>.
Поскольку за время выполнения операции splay выполняется не более одного шага типа zig, то суммарное время не будет превосходить <tex>3r(t) - 3r(x) + 1</tex>, поскольку утроенные ранги промежуточных вершин сокращаются (входят в сумму как с плюсом, так и с минусом). Тогда суммарное время работы splay <tex>T_{splay} \le leqslant 3\log_2 N - 3\log_2 C(x) + 1 = O(\log_2 N)</tex>, где <tex>N</tex> - — число элемнтов элементов в дереве.
}}
== Статическая оптимальность сплей-дерева ==
{{Теорема
|statement=
Если к ключам <tex>1 \ldots n</tex>, сложенным в сплей-дерево выполняется <tex>m</tex> запросов, к <tex>i</tex>-му ключу осуществляется <tex>k_i</tex> запросов, где <tex>k_i > 0</tex>, то суммарное время работы не превышает <tex>O(m \cdot H(p_1, p_2, \ldots , p_n))</tex>, где <tex>p_i = k_i / m</tex>, <tex>H</tex> — шенноновская энтропия
|proof=
Известно, что <tex>H(p_1, p_2, \ldots , p_n) = -c \cdot \displaystyle \sum_{i=1}^n (p_i \cdot \log_{2}p_i)</tex> {{---}} [[Энтропия_случайного_источника | шенноновская энтропия]].
Пусть <tex>s(x) = \displaystyle \sum_{y} w(y)</tex> {{---}} количество вершин в поддереве с корнем в <tex>x</tex>. А <tex>r(x) = \log_{2} s(x)</tex> {{---}} ранг вершины.
Обозначим за <tex>r</tex> корень <tex>splay</tex>-дерева.
Из предыдущей теоремы известно, что <tex>a_{splay} \leqslant 1+3(r(r)-r(x))</tex>
Пусть <tex dpi="130">w(x_i) = p_i =</tex> <tex dpi="180"> {k_i \over m}</tex>, тогда <tex dpi="130">k_i = p_i \cdot m</tex>.<br>
<tex>m+3mr(r)-3 \displaystyle \sum_{i=1}^n k_ir(x_i) \leqslant m+3mr(r)-3 \displaystyle \sum_{i+1}^n k_i\log_{2}w(x_i) =</tex> <tex> m+3mr(r)-3 \displaystyle \sum_{i=1}^n (p_i\cdot m\cdot \log_{2}p_i) = m(1+3r(r)-3 \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i\log_{2}p_i) = (*)</tex>
Так как вершина <tex>r</tex> {{---}} корень <tex>splay</tex>-дерева, то очевидно, что <tex>s = \displaystyle \sum_{y} w(y) = 1</tex>, следовательно <tex>r(r) = \log_{2}s(r)=0</tex>. Поэтому <tex>(*) = m(1+H(p_1,\ldots ,p_n)) = O(mH(p_1,\ldots ,p_n))</tex>, ч.т.д.
}}
==Теорема о близких запросах в сплей-дереве==
{{Теорема
|about =
о близких запросах в сплей-дереве
|statement =
Пусть в сплей-дерево сложены ключи <tex> 1, \dotsc, n </tex>. Зафиксируем один из ключей <tex> f </tex>. Пусть выполняется <tex> m </tex> запросов к ключам. Тогда суммарное время на запросы есть <tex> \displaystyle O(n \log_{2} n + m + \sum_{i=1}^{m} \log_2 ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1)) </tex>, где <tex> q_{i} </tex> {{---}} значение в вершине, к которой обращаются в <tex> i </tex>-ый запрос.
|proof =
Для доказательства теоремы воспользуемся методом потенциалов:
<tex> a_{i} = t_{i} + \Phi_{i} - \Phi_{i-1} </tex>.
По условию выполняется <tex> m </tex> запросов, следовательно
<tex> T = \displaystyle \sum_{i=1}^{m} t_{i} = \sum_{i=1}^{m} \left (a_{i} + \Phi_{i-1} - \Phi_{i} \right) = \sum_{i=1}^{m} a_{i} + \sum_{i=1}^{m} \left ( \Phi_{i-1} - \Phi_{i} \right) </tex> <tex> (\ast) </tex>.
Введем следующие обозначения:
* Весом узла с ключом <tex> q </tex> будем называть величину <tex> w(q) =\displaystyle \dfrac {1}{\left (\lvert q - f \rvert + 1 \right )^{2}} </tex>.
* Размером узла, содержащего ключ <tex> q </tex>, будем называть величину <tex> s(q) = \displaystyle \sum_{y} w(y) </tex>, где <tex> y </tex> {{---}} узлы поддерева с корнем в <tex> q </tex>.
* <tex> r(q) = \log_{2}s(q) </tex> {{---}} ранг узла.
* Потенциал дерева после <tex> i </tex>-го запроса обозначим как <tex> \Phi_{i} = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} r(q) = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} \log_{2}s(q) </tex>.
Пусть <tex> W </tex> {{---}} вес дерева. Тогда <tex> W = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} w(q) = \sum_{q=1}^{n} \dfrac {1}{\left (\lvert q - f \rvert + 1 \right)^{2}} \leqslant 2 \cdot \sum_{q=1}^{+\infty} \dfrac {1}{ \left ( \lvert q - f \rvert + 1 \right)^{2}} = O(1) </tex>.
Последнее верно, так как при фиксированном <tex> f </tex>, начиная с некоторого места, а именно <tex> q = f </tex>, ряд сходится.
Из определения размера узла следует, что <tex> w(q) \leqslant s(q) \leqslant W </tex>.
Также заметим, что для любого <tex> q </tex> от <tex> 1 </tex> до <tex> n </tex> верно, что <tex> w(q) \geqslant \displaystyle \dfrac {1}{n^{2}} </tex>, так как максимальное значение знаменателя в определении <tex> w(q) </tex> достигается при <tex> q = n </tex> и <tex> f = 1 </tex> или наоборот.
Тогда, воспользовавшись полученными оценками, найдем изменение потенциала сплей-дерева после <tex> m </tex> запросов:
<tex>\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \left ( \Phi_{i-1} - \Phi_{i} \right) = \Phi_{0} - \Phi_{m} \leqslant \sum_{q=1}^{n} \log_{2} W - \sum_{q=1}^{n} \log_{2}w(q) = \sum_{q=1}^{n} \log_{2} \dfrac {W}{w(q)} </tex> <tex> \displaystyle = O \Biggl(\sum_{q=1}^{n} \log_{2} n^{2}\Biggr) = </tex> <tex> \displaystyle O\Biggl(2 \cdot\sum_{q=1}^{n} \log_{2} n\Biggr) = O\left (n \log_{2}n\right) </tex>.
Первое неравенство верно, так как максимальное значение потенциала достигается при <tex> s(q) = W </tex>, а минимальное при <tex> s(q) = w(q) </tex>, а значит изменение потенциала не превышает разности этих величин.
Обозначим за <tex> t </tex> корень сплей-дерева. Тогда, воспользовавшись вышеуказанной [[#Lemma1|леммой]] (можно показать, что она верна для любого фиксированного определения веса узла) получаем, что
<tex> \displaystyle a_{i} = 3 \cdot \left ( r(t) - r(q_{i}) \right) + 1 = O\left (\log_{2} \dfrac {s(t)}{s\left (q_{i}\right)}\right) + 1 = O\left (\log_{2} \dfrac {W}{w(q_{i})}\right) + 1 = </tex> <tex> O\left (\log_{2} \left (W \cdot \left (\lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right)^{2} \right ) \right ) + 1 = O\left (\log_{2} \left (\lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right) \right ) + 1 </tex>.
Докажем, что данное определение потенциала удовлетворяет условию [[Амортизационный анализ|теоремы о методе потенциалов]].
Для любого <tex> i </tex> верно, что <tex> a_{i} = O(\log_{2}(n)) </tex>, так как <tex> \lvert q_{i} - f \rvert + 1 \leqslant n </tex>, и <tex> \Phi_{i} = O(n\log_{2}(n)) </tex>, как было показано выше. Так как количество операций на запрос <tex>k = O(n) </tex>, то <tex> a_{i} = O(f(k,n)) </tex> и <tex> \Phi_{i} = O(kf(k,n)) </tex>, где <tex> f(k,n) </tex> {{---}} функция из теоремы о методе потенциалов, равная в данном случае <tex> \log_{2}n </tex>. Следовательно, потенциал удовлетворяет условию теоремы.
Тогда, подставляя найденные значения в формулу <tex> (\ast) </tex>, получаем, что
<tex>T=\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \left ( O \left ( \log_{2} \left ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right) \right) + 1 \right ) + O\left ( n \log_{2} n \right) = </tex> <tex> \displaystyle O \left (n \log_{2} n + m + \displaystyle \sum_{i=1}^{m} \log_{2} \left ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right) \right)</tex>.
}}
Данная теорема показывает, что сплей-деревья поддерживают достаточно эффективный доступ к ключам, которые находятся близко к какому-то фиксированному ключу.
==Splay-деревья по неявному ключу==
Splay-дерево по неявному ключу полностью аналогично [[Декартово дерево по неявному ключу|декартову дереву по неявному ключу]], неявным ключом также будет количество элементов дерева, меньших данного. Аналогично, будем хранить вспомогательную величину <tex>C(x)</tex> — количество вершин в поддереве. К операциям, которые уже были представлены в декартовом дереве, добавляется splay, но пересчет <tex>C(x)</tex> в ней тривиален, так как мы точно знаем, куда перемещаются изменяемые поддеревья.
==ЛитератураСм. также ==* [[2-3 дерево]]* [[B-дерево]]* [[B+-дерево]]* [[АВЛ-дерево]]* [[Красно-черное дерево]]
==Источники информации==*[http[wikipedia://en.wikipedia.org/wiki/Splay_tree :Splay_Tree|Википедия {{--- }} Splay tree]]
*[http://www.cs.cmu.edu/~sleator/papers/self-adjusting.pdf Sleator, Daniel D.; Tarjan, Robert E."Self-Adjusting Binary Search Trees"]
