1632
правки
Изменения
м
Существует целый класс структур типа <tex>\mathrm{skeleton}</tex>, которые описывают базовые топологические свойства объектов. Структура <tex>\mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton}</tex> была придумала придумана Oswin Aichholzer. Она используются используется в различных практических задачах (проектирование крыш для зданий), для доказательства некоторых теорем<ref>[http://en.wikipedia.org/wiki/Fold-and-cut_theorem Wikipedia {{---}} Fold-and-cut theorem]</ref>, в обработке изображений {{---}} эрозия и дилатация, {{---}} но самое главное {{---}} можно оффсетить полигоны и упрощать их.
'''ЗамечаниеКоординаты возможной точки кандидата <tex> B_i </tex> вычисляются следующим образом:''' простой тест на пересечение это точка пересечения биссектрисы вершины <tex> V </tex> и целой линиибиссектрисы угла, который образуется в точке пересечения прямой, содержащей ребро, отсекает случаи тех одно из рёбер, которые лежат ''позади'' вершины инцидентных <tex> V </tex>, и прямой, содержащей противолежащее ребро <tex> e_i </tex>. Все такие точки пересечения <tex> B_i </tex> нужно поместить в приоритетную очередь.
Координаты возможной точки кандидата [[Файл:Skeleton_felkel_contr.png]] '''Замечание:''' в оригинальной статье авторы предлагают класть в приоритетную очередь ближайшую из таких точек <tex> B_i </tex> вычисляются следующим образом: это точка пересечения биссектрисы вершины , но тогда алгоритм будет работать некорректно (см. контрпример на рисунке выше). По алгоритму в очередь добавится <tex> split\ event</tex> <tex> V p_e </tex> и биссектрисы угла, который образуется в точке пересечения прямой, содержащей одно из рёбер, инцидентных для вершины <tex> V v </tex>, и прямой, содержащей противолежащее ребро ребра <tex> e_i e </tex>. Итоговая точка пересечения , но на самом деле этот <tex> B split\ event</tex> выбирается как ближайшая среди всех найденных точек произойдёт с ребром <tex> B_i e'</tex>для данной вершины.
Отличать Отличить этот случай от предыдущего можно, посмотрев на ориентацию двух рёбер. Если они направлены в одну сторону, то это <tex> \mathrm{PCE} </tex>, если в противоположную, то разбираемся как в предыдущем случае.
В данном конспект был (P.S. точнее, ещё будет) представлен Также существует более эффективный алгоритм на основе мотографов, который придумали Stefan Huber и Martin Held. Они говорятИх реализация называется <tex>\mathrm{STALGO}</tex>, что даже смогли реализовать этот алгоритм, но код нигде не выкладывалии она доступна на их сайте<ref>[https://www.sthu.org/code/stalgo/ STALGO {{---}} an industrial-strength C++ software package for computing straight skeletons and mitered offset-curves]</ref>.
rollbackEdits.php mass rollback
== Топологические свойства ==
Далее будет дано процедурное определение <tex>\mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton}</tex>. То есть эта структура данных получается в результате следующей процедуры.
Можно представить, будто все стороны многоугольника параллельно двигаются внутрь с одинаковой постоянной скоростью, то есть многоугольник как бы сжимается внутрь. Тогда {{Acronym | вершины будут двигаться вдоль биссектрис внутренних углов | Очевидный факт}}, а точки пересечения биссектрис будут являться точками, в которых рёбра полностью сократились сократятся (выродились выродятся в точку). В каждый момент времени от начала движения рёбер получается слоистая структура (рис 1.). На рис. 2 синим цветом выделен <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> {{---}} множество отрезков, образованных точками пересечения при движении сторон полигона. Чем-то Эта структура похожа на строение напоминает построение крыши в домах для дома (рис. 3). И , и, в самом деле, скелетон применяется для решения этой задачи как раз <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> и может применятьсяподобных задач: по стенам здания необходимо спроектировать его крышу.
{| cellpadding="3" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
Процесс стягивания многоугольника продолжается до тех пор, пока все рёбра не сожмутся в точку, то есть пока меняется число вершин в стянутом многоугольнике, и таким образом появляются новые вершины <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex>. Существуют два типа изменений, в ходе которых они образуются:
* <tex> Edge\ event </tex> {{---}} данное изменение происходит, когда сторона многоугольника полностью стягивается, делая соседние стороны инцидентными.
* <tex> Split\ event </tex> {{---}} происходит, когда ребро разбивается на два новых ребра, исходящих из точки преломления старого. Такое событие происходит на биссектрисе вогнутой вершины многоугольника. И тогда стягиваемая многоугольником область может разбивться разбиваться на две непересекающиеся многоугольные области.
На рисунке <tex>edge\ event'</tex>ы изображены зелёным кругомотмечены зелёными окружностями, а <tex>split\ event'</tex>ы {{---}} красным прямоугольникомкрасными квадратами.
[[Файл:skeleton_event_example.jpg|400px]]
Таким образом, <tex> event' </tex>ы соответствуют внутренним вершинам можно предъявить соответствие между элементами <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex>и происходящими событиями:* внутренние вершины {{---}} <tex> event' </tex>ы,* листья {{---}} вершины исходного многоугольника, гранями являются * грани {{---}} области многоугольника, заметаемые сторонами многоугольника в процессе стягивания, * дуги <tex> \mathrm{straight{---}\ \mathrm{skeleton} </tex> соединяют либо две внутренние вершины , либо внутреннюю вершину с листом {{---}} вершиной многоугольника.
Стоит также отметить, что в общем случае <tex> split\ event'</tex>ы могут быть нетривиальными. На рисунке ниже в случае <tex> (c) </tex> в вершине <tex> p </tex> совпали <tex>split\ event</tex> из вершины <tex> u </tex> и ребра <tex> e </tex> и <tex> edge\ event</tex> ребра <tex> uv </tex>, а в случае <tex> (d) </tex> совпали два <tex> split\ event'</tex>а вершин <tex> u_1 </tex> и <tex> u_2 </tex>. Случаи <tex> (a) </tex> и <tex> (b) </tex> {{---}} простые <tex> edge </tex> и <tex> split\ event'</tex>ы.
== Свойства Straight skeleton ==
Из процесса построения <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> следует, что он является [[Укладка графа на плоскости#defplanar | планарным графом]]. Ранее уже упоминалось, что он также является [[Дерево, эквивалентные определения#tree |деревом]]. Будем обозначать <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> простого полигона без самопересечений <tex> P </tex>, в котором <tex> n </tex> вершин, как <tex> S(P) </tex>. Тогда справедливы следующие леммысправедлива следующая лемма:
{{Лемма
|id = lemma1
|about=1
|statement=<tex> S(P) </tex> является деревом, содержит <tex> n </tex> граней, не более <tex> n - 2 </tex> внутренние вершины внутренних вершин и не более <tex> 2 n - 3 </tex> рёбер.
|proof=
То, что <tex> S(P) </tex> является деревом, легко доказывается по индукции числа вершин в многоугольнике.
'''База:''' многоугольник является треугольником, в его <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> будет одна внутренняя вершина {{---}} точка пересечения биссектрис, {{---}} листьями будут вершины треугольника. Такой граф очевидным образом , очевидно, будет деревом.
'''Переход:''' пусть для всех многоугольников с количеством вершин меньше <tex>k</tex> <tex>\mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} S(P)</tex> будет деревом. Рассмотрим самый первый <tex>event</tex> в многоугольнике из <tex>k</tex> вершин. * Если это <tex>edge\ event</tex>, то появится новая вершина, которую мы соединим с инцидентными ребру вершинами, а так же также с какой-то вершиной <tex>\mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> полигона из <tex>k - 1</tex> вершин. Получившийся граф будет деревом.
* Если это <tex>split\ event</tex>, то новая вершина соединяется с одной вершиной исходного полигона и с двумя вершинами <tex>\mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> для полигонов, в которых меньше <tex> k </tex> вершин. В этом случае также получаем дерево.
== Алгоритм с изпользованием SLAV ==
Далее будет описан алгоритм, придуманный Petr Felkel, который строит <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> за время <tex> \mathcal{O}(nm + n ^2 \log n)</tex>, или просто где <tex> n </tex> {{---}} общее число вершин в полигоне. В оригинальной статье этому алгоритму даётся асимптотическая оценка <tex> \mathcal{O}(nm + n \log n^2)</tex>, где или просто <tex> \mathcal{O}(n ^2)</tex> {{---}} общее число вершин в полигоне, где <tex> m </tex> {{---}} число вогнутых невыпуклых вершин в полигоне. Немного модифицированный этот алгоритм используется Однако в открытой библиотеке вычислительной геометрии CGAL<ref>[http://doc.cgal.org/latest/Straight_skeleton_2/index.html CGAL 4.5 {{---}} 2D Straight Skeleton and Polygon Offsetting]</ref>. Однако этот алгоритм всё равно ещё достаточно медленный. В реальной жизни используют его модификации или более сложные алгоритмыстатье содержатся ошибки, поэтому данная в ней оценка неверна.
Сначала алгоритм будет рассмотрен на простом случае {{---}} выпуклом многоугольнике, {{---}} а потом на невыпуклом многоугольнике.
=== Выпуклый полигон ===
В случае выпуклого многоугольника возникают только <tex> edge\ event'</tex>ы по определению. Объяснить алгоритм можно простым образом: найдём точки пересечения биссектрис многоугольника для каждой вершины со всеми соседними вершинами, возьмём такую точку, в которой произойдёт самый первый <tex> edge\ event</tex>, добавим полученную вершину в <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex>, соединим её с вершинами ребра, которое исчезло в процессе текущего <tex> edge\ event'</tex>а, а потом перестроим полигон, создав новую вершину и подвинув все остальные вдоль биссектрис на одинаковое расстояние. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока многоугольник не превратится в треугольник.
Теперь реализуем этот алгоритм более эффективно. Для этого мы будем использовать специальную структуру данных {{---}} <tex> \mathrm{SLAV}</tex> (set of circular lists of active vertices). Эта структура хранит цикл всех вершин для внешней грани, а так же также цикл для каждой дырки многоугольника и для всех многоугольников, возникающих в процессе построения <tex> S(P) </tex>. В данном случае у нас будет просто <tex> \mathrm{LAV}</tex> {{---}} [[Список#Циклический список | циклический список]] всех вершин многоугольника.
[[Файл:skeleton_lav.jpg]]
В таком списке частично найденного <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> вершины имеют указатели на следующую и предыдущую вершину вершины в порядке обхода контура, а так же также указатели на инцидентные рёбра.
==== Алгоритм для выпуклых полигонов ====
Далее считаем, что полигон представлен рёбрами , направленными вдоль движения по контуру против часовой стрелки.
'''Шаг 1.''' Инициализация:
:<tex>(a)</tex> Поместим все вершины многоугольника <tex> V_1, V_2 \dots V_n </tex> в двусвязный циклический список в порядке обхода вдоль контура. Все вершины в <tex> \mathrm{LAV}</tex> сейчас считаются активными сейчас.
:<tex>(b)</tex> Для каждой вершины <tex> V_i </tex> в <tex> \mathrm{LAV}</tex> добавим указатели на инцидентные рёбра <tex> e_{i-1} = V_{i-1}V_i</tex> и <tex> e_i = V_i V_{i+1}</tex>, а также найдём луч биссектрисы <tex> b_i </tex>.
:<tex>(c)</tex> Для каждой вершины <tex> V_i </tex> найдём ближайшее пересечение биссектрисы <tex> b_i </tex> с биссектрисами <tex> b_{i-1} </tex> и <tex> b_{i+1} </tex>. Если это пересечение существует, то поместим его в [[Двоичная куча | приоритетную очередь]] согласно <tex> L(e_i) </tex> {{---}} расстоянию от точки пересечения до одного из рёбер, инцидентных вершине <tex> V_i </tex>. Для каждой точки пересечения <tex> I_i </tex> будем так же ещё хранить два указателя на вершины <tex> V_a </tex> и <tex> V_b </tex> {{---}} начала лучей биссектрис, которые пересекаются в точке <tex> I_i </tex>. Эти указатели понадобятся в будущем, когда нужно будет определять соответствующие вершинам рёбра <tex> e_a, e_b </tex> (см. рисунок ниже).'''Шаг 2.''' Следующие действия выполняются в цикле, пока приоритетная очередь не пустаяпуста:
:<tex>(a)</tex> Извлечём точку пересечения <tex> I </tex> из приоритетной очереди.
:<tex>(b)</tex> Если вершины <tex> V_a </tex> и <tex> V_b </tex>, соответствующие данной точке пересечения , помечены как обработанные, то переходим к следующей итерации цикла шага 2. Это означает, что ребро между данными вершинами полностью стянулось (обработанные вершины и стянутые рёбра помечены крестом на рисунке ниже). Эту проверку необходимо делать из-за того, что мы могли поместить в очередь обработанные вершины в момент получения новых <tex>event'</tex>ов.:<tex>(c)</tex> Если осталось всего три вершины <tex> V_a, V_b, V_c </tex>, то добавим в <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> рёбра <tex> IV_a, IV_b, IV_c </tex>. В случае выпуклого многоугольника в этом месте можно завершить алгоритм. Но в общем случае нужно будет снова перейти к началу цикла снова.
:<tex>(d)</tex> Добавим в <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> рёбра <tex> IV_a, IV_b </tex>.
:<tex>(e)</tex> Теперь необходимо модифицировать <tex> \mathrm{LAV}</tex> (детали на рисунке ниже):
::* пометим вершины <tex> V_a </tex> и <tex> V_b </tex> как обработанные (напомню, что они обозначаются крестом на рисунке к данному алгоритму),
::* создадим новую вершину <tex> V </tex> в точке пересечения <tex> I </tex> (отмечена квадратиком на рисунке),
::* добавим вершину <tex> V </tex> в <tex> \mathrm{LAV}</tex>, то есть между предыдущем предыдущим к <tex> V_a </tex> и следующим к <tex> V_b </tex> узлами,
::* добавим вершине <tex> V </tex> указатели на соответствующие рёбра <tex> e_a </tex> и <tex> e_b </tex>.
:<tex>(f)</tex> Посчитаем дополнительные величины для вершины <tex> V </tex>:
::* луч биссектрисы <tex> b </tex> между рёбрами <tex> e_a </tex> и <tex> e_b </tex>,
::* точки пересечения биссектрисы <tex>b</tex> с биссектрисами вершин, соседними соседних к <tex> V </tex> в <tex> \mathrm{LAV}</tex>, как в шаге <tex> 1c </tex>,::* сохраним ближайшие точки пересечения в приоритетной очереди. Точку Ключом точки пересечения кладём с расстоянием в приоритетной очереди будет расстояние <tex> L(e_i) </tex> до стянутого ребра <tex> L(e_i) </tex>.
[[Файл:skeleton_convex_example.png|600px]]
==== Частные случаи ====
Частным случаем в алгоритме может быть совпадение нескольких <tex> edge\ event'</tex>ов в одной точке. Эти совпадения добавляются в шагах <tex> 1c </tex> и <tex> 2f </tex>, так как точки пересечения добавляются только в них, но могут быть относительно легко обработаны в шаге <tex> 2b </tex>. Или мы можем считать, что между <tex> edge\ event'</tex>ами в одной точке будут рёбра нулевого веса в полученном <tex> S(P) </tex>, а затем можно просто избавиться от лишних вершин в итоговом результатерезультирующей структуре.
Также может случиться, что какие-то рёбра не стянулись в итоге в одну вершину, а слились. Такое возможно, если какие-то стороны полигона были изначально параллельны (этот случай легко увидеть на прямоугольнике, не являющемся квадратом). С этим частным случаем можно разобраться в шаге <tex> 2c </tex>, проверив, не совпала ли одна из трёх вершин с другой. В выпуклом многоугольнике слияние двух рёбер может произойти только один раз (что неправда для невыпуклого многоугольника), поэтому здесь несложно разобраться с таким случаемнесложно разобраться.
=== Невыпуклый полигон ===
[[Файл:skeleton_split_event_example.png|400px]]
Наличие невыпуклой вершины может привести (а может и не привести) к разделению внутренней области. Невыпуклая вершина может так же участвовать в обычном <tex> edge\ event'</tex>е (точка <tex> A </tex> на рисунке выше). В таком случае <tex> edgeEdge\ event'</tex>ы в случае невыпуклогого многоугольника обрабатываются так же, как и в алгоритме с выпуклым многоугольником.
Посмотрим теперь, что делать с точкой <tex> B </tex>, в которой возникает <tex> split\ event</tex>.
[[Файл:skeleton_b_point_coord.png|500px]]
В простейшем случае точка <tex> B </tex> появляется, когда "волновой фронт" распространения движения рёбер от невыпуклой вершины натыкается на встречный фронт противолежащего ребра. В такой момент возникает <tex> split\ event</tex>. Поэтому точка <tex> B </tex> может быть изначально охарактеризована, как точка, находящаяся на одном расстоянии от противолежащего ребра и прямых, содержащих рёбра невыпуклой вершины. Задача состоит в том, чтобы найти это самое противолежащее ребро (случай <tex> a) </tex> на рисунке выше). Но как показывает случай <tex> b) </tex>, простой тест на пересечение ребра и биссектрисы невыпуклой вершины (то есть невыпуклая вершина как бы врезается в противолежащее ребро) не может быть использован (в этом случае луч биссектрисы пересекает сразу два ребра, непонятно, с каким из них произойдёт <tex> split\ event</tex>). Поэтому необходимо ещё проверять, что точка <tex> B </tex> лежит между лучами в треугольнике, ограниченном противолежащим ребром и биссектрисами <tex> b_i </tex> и <tex> b_{i+1} </tex>, идущих идущими из вершин, инцидентных противолежащему ребру <tex> e_i </tex>(этот треугольник может быть "бесконечным").
==== Работа с LAV в момент возникновения split event'a ====
[[Файл:skeleton_lav_managing.png|600px]]
Когда происходит работа с точкой <tex> B\ split\ event'</tex>а, то необходимо разбить соответствующий полигон на две части, что соответствует разделению <tex> \mathrm{LAV} </tex> данного полигона на два списка. И в каждый новый список нужно вставить копию вершины <tex> V </tex>, образующейся в точке пересечения <tex> B I </tex>. Обе вершины <tex> V_1 </tex> и <tex> V_2 </tex> указывают на разделяющее ребро <tex> e_i </tex> (см. рисунок выше).
==== Частный случай множественных split event'ов на одном ребре ====
[[Файл:skeleton_collide_edge.jpg]]
[[Файл:skeleton_multi_edge.png|600px]]
Например, в данном случае ребро <tex> SY </tex> является частью ребра <tex> e_i = ZY </tex>, которое стягивается и должно теперь указывать на вершину <tex> X </tex>. Когда произойдёт следующее событые событие в точке пересечения <tex> B </tex>, то нам необходимо правильно указать ребро новой вершине в этой точке в <tex> \mathrm{LAV} </tex>. Реальный конец ребра <tex> e_i </tex> {{---}} точка <tex> Z </tex>, но мы хотим указать на ребро <tex> XY </tex>. Это необходимо для поддержания корректности структуры <tex> \mathrm{SLAV} </tex>.
Чтобы решить эту проблему, следует хранить <tex>split\ event</tex> как <tex>3</tex> вершины {{---}} невыпуклая вершина и две вершины противолежащего ребра. Дополнительно нужно хранить [[Хеш-таблица | ассоциативный массив]] из пары вершин в ребро для этих вершин. Тогда в момент разделения ребра <tex>ZY</tex> необходимо удалить это ребро из ассоциативного массива и поместить туда два новых ребра <tex>ZX</tex> и <tex>XY</tex>, которые будут ссылаться на исходное ребро <tex> e_i </tex>.
Но в очереди могло быть событие по трём вершинам исходного ребра, однако а после разделения этого ребра уже нет (например, такое может произойти, если с ребром одновременно сталкивается несколько невыпуклых вершин, лежащих на параллельной этому ребру прямой). Посмотрев в ассоциативный массив, можно обнаружить, что такой пары вершин нет. Хотя Однако нам нужно всё же получить по ребру требуемую пару вершин. Для этого можно хранить ещё один ассоциативный массив из пар в рёбра, только из него уже не удалять старые пары. Тогда станет возможным получение по паре вершин ребра, а потом по ребру можно будет получить все актуальные пары вершин, соответствующих этому ребру, и добавить <tex>split\ event</tex> с нужной парой вершин.
==== Алгоритм для невыпуклых полигонов ====
:<tex>(a)</tex> Положим все вершины в <tex> \mathrm{LAV}</tex>, как это делается в алгоритме для выпуклых многоугольников, а потом <tex> \mathrm{LAV}</tex> поместим в <tex> \mathrm{SLAV}</tex>.
:<tex>(b)</tex> Найдём биссектрисы как в случае с выпуклым многоугольником.
:<tex>(c)</tex> Для каждой биссектрисы выпуклой вершины найдём ближайшую точку пересечения с биссектрисой соседней вершины, а для невыпуклых вершин найдём также точки пересечения с противолежащими рёбрами (как это описывалось раньше), и положим в приоритетную очередь ближайшую точку пересечения <tex> I </tex>. Будем также с этой точкой хранить её тип {{---}} <tex> edge\ event</tex> или <tex> split\ event</tex>.
'''Шаг 2.''' Пока очередь не пуста:
:<tex>(a)</tex> Извлечём точку пересечения <tex> I </tex> из приоритетной очереди. Если она имеет тип <tex> edge\ event</tex>, то её надо обработать так же, как в шагах <tex> 2b-2f</tex> алгоритма для выпуклых полигонов. Иначе выполнять шаги ниже.
:<tex>(b)</tex> Если точка пересечения указывает на уже обработанные вершины, то продолжить со следующей итерации цикла шага 2, как в случае с выпуклым полигоном. По этой причине мы не будем обрабатывать лишние <tex> split\ event'</tex>ы, хотя вполне могли их добавить в очередь.:<tex>(c)</tex> Нужно сделать примерно то же самое, что и шаге <tex>2c</tex> алгоритма для выпуклых многоугольников. Только на этом цикл не завершается, а продолжается с новой итерации, так как многоугольник мог разделиться на несколько частей, и, возможно, мы обработали лишь один подпалигон подполигон и не последний.
:<tex>(d)</tex> Добавим в <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> ребро <tex> IV </tex>, где точка <tex> I </tex> указывает на вершину <tex> V </tex>. Для <tex> split\ event'</tex>ов точки пересечения указывают ровно на одну вершину в <tex> \mathrm{SLAV}</tex>.
:<tex>(e)</tex> Модифицируем теперь <tex> \mathrm{SLAV}</tex>:
::* создадим две новые вершины <tex> V_1 </tex> и <tex> V_2 </tex> с одинаковыми координатами точки пересечения <tex> I </tex>,
::* найдём для каждой вершины <tex> V_1 </tex> и <tex> V_2 </tex> противолежащее ребро в своём подпалигоне,
::* разделим <tex> \mathrm{LAV}</tex> с вершиной <tex> V </tex> на две части (как показано на рисунке выше), вставим в части вершины <tex> V_1 </tex> и <tex> V_2 </tex>, а затем обе части добавим в <tex> \mathrm{SLAV}</tex>. Вершина <tex> V_1 </tex> будет следующей для предыдующего к <tex> V </tex> узлу узла в <tex> \mathrm{LAV}</tex> и предыдущей для конца противолежащего ребра. Аналогично для вершины <tex> V_2 </tex>. Этот шаг в действительно разбивает полигон на две части,
::* удалим из ассоциативного массива пару вершин ребра <tex> e_i </tex> и поместим две новых пары, в одной из которых будет вершина <tex> V_1 </tex> и конец ребра <tex> e_i </tex>, а в другом {{---}} начало <tex> e_i </tex> и вершина <tex> V_2 </tex>,
::* Добавим добавим указатели на соответствующие рёбра вершинам <tex> V_1 </tex> и <tex> V_2 </tex> на соответствующие рёбра.
:<tex>(f)</tex> Для обеих вершин <tex> V_1 </tex> и <tex> V_2 </tex>:
::* найдём биссектрисы между рёбрами, на которые эти вершины слинковались указывают в шаге <tex>2e</tex>,::* найдём точки все события точек пересечения лучей с биссектрисами соседних вершин как в шаге <tex> 1c </tex> (тут могут получиться точки пересечения события обоих типов),::* сохраним ближайшие точки пересечения , отвечающие найденным событиям, в приоритетной очереди.
Обработка событий обоих типов <tex> edge\ event'</tex>ов выполняется с такой же асимптотикой, что как и в алгоритме для выпуклых полигонов. Основной вклад Но из-за того, что в очередь кладутся всевозможные точки, в асимптотику вносит вычисление которых произошли <tex> split\ event'</tex>ы, в ней может оказаться <tex>\mathcal{O}(n^2)</tex> элементов. Хотя обработка <tex> split\ event'</tex>а может занять линейное время от числа вершин (если новая вершина в точке пересечения осталась невыпуклой), это произойдёт только для <tex> split\ event'</tex>ов, когда нам нужно пробежаться которые создают новые вершины <tex> S(P) </tex>, а их <tex>\mathcal{O}(n)</tex> по всем рёбрам и найти противолежащеедоказанной [[#lemma1 | лемме]]. Отсюда и получается Остальные <tex> split\ event'</tex>ы обработаются за <tex>\mathcal{O}(1)</tex> в шаге <tex> 2b </tex>, поэтому итоговая асимптотика составит <tex> \mathcal{O}(n^2\log n) </tex>.
==== Случай полигонов с дырками ====
[[Файл:skeleton_simple_event_example.jpg]]
Но на практике может возникнуть что-то менее тривиальное (картинка ниже): совпадение многих <tex> edge\ event'</tex>ов в одной точке, многих <tex> split\ event'</tex>ов, или даже в одной точке могут одновременно быть произойти события двух типов, а также многократное наложение параллельных рёбер друг на друга.
[[Файл:skeleton_complex_event_example.jpg]]
===== Параллельные противоположные рёбра =====
С точками <tex> c </tex> и <tex> d </tex> необходимо разбираться необходимо следующим образом: как только параллельные рёбра становятся соседними перед событием, нужно проверить, что после произошедшего события они соединятся потом в одно ребро после произошедшего события. Если в <tex> \mathrm{LAV} </tex> осталось только два параллельных ребра, то мы удаляем их из <tex> \mathrm{SLAV} </tex>.
Ещё примеры не для слабонервных.
Другой интересный случай возникает, когда несоседние параллельные рёбра становятся соседними после исчезания рёбер между ними. Такая проблема называется <tex> \mathrm{PCE} </tex> (''parallel consecutive edge problem''). В таком случае можно поступать по-разному.
* На левом рисунке используется <tex>separate\ rule</tex> {{---}} правило, когда согласно этому правилу два ребра рассматриваются отдельно. Тогда верно утверждение, что каждому ребру соответствует ровно одна грань. И в этом случае можно считать, что новая вершина на стыке двух рёбер движется перпендикулярно рёбрам.
* На среднем рисунке используется <tex>merge\ rule</tex> {{---}} рёбра в таком случае объединяются в одно новое ребро.
===== Множественные события в одной точке =====
Первая проблема, возникающая в этом случае {{---}} точное определение того, что несколько событий произошли в одной точке. Для определения совпадения нескольких событий в одной точке можно поступать приближённо {{---}} : вводить с каждой точкой <tex>\varepsilon</tex>-окрестность и смотреть, не попали ли другие точки в эту окрестноитьокрестность, {{---}} или использовать более точную арифметику<ref>[http://www.mpfr.org/ The GNU MPFR Library]</ref>. В данном случае недостаточно использовать [[Интервальная арифметика | интервальную арифметику]] или даже рациональную арифметику. Потому что даже если координаты точек задаются абсолютно точно, то для посчёта подсчёта радиуса вписанной окружности необходимо уметь извлекать корни (напомним, что радиус вписанной окружности равен площади, поделённой на полупериметр, а длины сторон треугольников {{---}} корни из [[Гильбертовы пространства | скалярного произведения]] векторов разницы точек на самих себя).
Чтобы научиться разбираться с такими случаями в алгоритме, когда мы уже поняли, что в одной точке будет несколько событий, введём понятие '''обобщённого события пересечения''' (англ. ''GIE'', ''generalized intersection event'').
[[Файл:skeleton_chain1.jpg]]
Для начала введём понятие цепочек рёбер, которые вовлечены в событие. То есть {{---}} такие рёбра, которые сталкиваются в данном событии. Эти цепи упорядочим согласно направлению рёбер (см. рисунок выше).
[[Файл:skeleton_chain2.jpg]]
Мы можем также упорядочить сами цепи вокруг точки события, объединив эти цепи в один циклический список. Таким образом Следовательно, событие получается как бы окружено списком рёбер, которые участвуют в нём, при этом событии, и никакие другие рёбра не участвуют. Можно заметить (рисунки <tex> c,\ d,\ e</tex> выше), что соседние рёбра в списке из изначально разных цепей становятся потом соседними в <tex>\mathrm{LAV}</tex>. И эти цепочки рёбер на самом деле не хранятся отдельными цепочками. Эти цепи и есть <tex>\mathrm{LAV}</tex>.
Алгоритм обработки GIE следующий:
* '''Шаг внутри цепи:''' в каждой цепи удаляем внутренние рёбра (кроме первого и последнего) {{---}} это соответствует тому, что исчезает несколько рёбер, участвующих в одном <tex>edge\ event'</tex>е. Таким образом После этого шага остаются цепи только длин <tex>1</tex> или <tex>2</tex>.
* '''Шаг цепи из одного звена:''' цепи длины <tex>1</tex> разбиваются в точке события (это соответствует простому <tex>split\ event'</tex>у). Теперь все цепи имеют длину ровно <tex>2</tex>.
* '''Шаг межцепной:''' соединяем объединяем соседние цепи (соответствующие одному событию) в циклический список, то есть соединяя конец одной цепи с началом следующей и так далее. То есть мы разбиваем кажду Поэтому каждая цепь разбивается в середине , и получаем образуются новые списки длины <tex>2</tex>.
* '''Шаг циклы из двух рёбер:''' списки <tex>\mathrm{LAV}</tex> длины <tex>2</tex> состоящие из двух параллельных рёбер, то есть ограничивающие полигон нулевой площади, удаляются из <tex>\mathrm{SLAV}</tex>.
* '''Шаг PCE:''' разбираемся с <tex> \mathrm{PCE} </tex> согласно принятому нами правилу решения {{---}} правила правилу слияния или правила правилу разделения. В реализации это будет выглядеть следующим образом: можно посмотреть, что сейчас лежит в голове приоритетной очереди, и доставать события, пока они происходят в одной точке, а потом разбить эти события на цепочки и выполнять шаги из алгоритма выше.
== Алгоритм построения с помощью Motorcycle graph == Открытые реализации ====Рассмотрим Приведённый здесь алгоритм был реализован Fernando Cacciola<ref>[https://www.cgal.org/UserWorkshop/2004/straight_skeleton.pdf Fernando Cacciola, "A CGAL implementation of the Straight Skeleton of a Simple 2D Polygon with Holes "]</ref>, который исправил все ошибки в статье P. Felkel. И этот алгоритм используется в открытой библиотеке вычислительной геометрии CGAL<ref>[http://doc.cgal.org/latest/Straight_skeleton_2/index.html CGAL 4.5 {{---}} 2D Straight Skeleton and Polygon Offsetting]</ref>. Более того, он является одной из немногих открытых реализаций построения <tex> \mathrm{straigtstraight}\ \mathrm{skeleton}</tex> на основе [[Motorcycle graph | мотографов]].{{TODO | t = Алгоритм на мотографах}}Но данный алгоритм достаточно медленный для решения практических задач. В реальной жизни используют его модификации или более сложные алгоритмы.
== Другие алгоритмы ==
Существует простой в понимании и реализации алгоритм для построения <tex> \mathrm{straigt}\ \mathrm{skeleton}</tex> на основе [[Триангуляция полигонов (ушная + монотонная)|триангуляции]], который работает за время <tex> \mathcal{O}(n^3 \log n)</tex><ref>[http://www.sthu.org/research/publications/files/eurocg2010-slides.pdf Stefan Huber, Martin Held, "Straight Skeletons and their Relation to Triangulations"]</ref>. Aichholzer смог обобщить этот алгоритм для построения <tex> \mathrm{straigt}\ \mathrm{skeleton}</tex> произвольного планарного графа<ref>[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.33.2586 Oswin Aichholzer, Franz Aurenhammera, "Straight Skeletons for General Polygonal Figures in the Plane"]</ref>. Также автором в его оригинальной статье был представлен алгоритм построения данной структуры, базирующийся на понятии '''волнового фронта''' (англ. ''wavefront''). Этот алгоритм может быть реализован за время <tex> \mathcal{O}(n^3)</tex> с использованием <tex> \mathcal{O}(n)</tex> памяти либо с использованием [[Двоичная куча | приоритетной очереди]] за время <tex> \mathcal{O}(n^2 \log n)</tex> и <tex> \mathcal{O}(n^2)</tex> памяти<ref>[http://www.jucs.org/jucs_1_12/a_novel_type_of/Aichholzer_O.pdf Oswin Aichholzer, Franz Aurenhammera, "A Novel Type of Skeleton for Polygons"]</ref>. Известен алгоритм построения <tex> \mathrm{straight}\ \mathrm{skeleton} </tex> для [[Триангуляция полигонов (ушная + монотонная)#def_monotone_polygon|монотонных полигонов]] за время <tex> \mathcal{O}(n \log n)</tex> с использованием <tex> \mathcal{O}(n)</tex> памяти<ref>[http://www.cs.bgu.ac.il/~eurocg14/papers/paper_9.pdf Therese Biedl, Martin Held, Stefan Huber, Dominik Kaaser, Peter Palfrader, "Straight Skeletons of Monotone Polygons"]</ref>.
== См. также ==
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
[[Категория: Скалярное произведение Триангуляция Делоне и мерадиаграмма Вороного]]
[[Категория: Структуры данных]]
