Изменения
Нет описания правки
{{Задача
|definition = <b><tex>\mathrm {XORSAT}</tex></b> (англ. ''XOR-satisfiability'') выполнимость функции — задача распределения аргументов в булевой [[КНФ|КНФ]] функции, записанной в виде XOR-КНФ, таким образом, чтобы результат данной функции был равен <tex> 1 </tex>.
}}
== Описание ==
Это задача [[Класс P|<tex>\mathrm {P}</tex>-класса]], так как <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex> формулу можно рассматривать как систему линейных уравнений по модулю <tex>2</tex>, которая, в свою очередь, может быть решена за <tex>O(n^3)</tex> методом Гаусса <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0 Метод Гаусса]</ref>.Такое представление возможно на основе связи между Булевой алгеброй и Булевым [[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец|кольцом]] <ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra_(structure)#Boolean_rings Связь между Булевой алгеброй и Булевым кольцом]</ref> и том факте, что арифметика по модулю <tex>2</tex> образует конечное поле <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5 Конечное поле ]</ref>.
==Пример решения XORSAT==
===Пример===
<font color='red'>Красные пункты</font> могут быть добавлены для возможности представления КНФ-функции в виде <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>.
{| class="wikitable"
!<tex>(a \oplus b \oplus c) \land (b \oplus \neg c \oplus d) \land (a \oplus b \oplus \neg d) \land (a \oplus \neg b \oplus \neg c)</tex>
! style="background: #ffdddd;" |<tex> \land (\neg a \oplus b \oplus c) </tex>
|}
{| class="wikitable"
|+
!colspan="2"|Решение XOR-SAT задачи методом Гаусса
|-align="center"
!
<center>
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|+
!colspan="2"|Система уравнений
|-align="center"
!Переменные
|! width="20%" | Значение
|-align="center"
! <tex> a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> c </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> d </tex>
|<tex>=1</tex>
|-align="center"
! <tex> b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex>\neg c </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> d </tex>
|<tex>=1</tex>
|-align="center"
! <tex> a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex>\neg d </tex>
|<tex>=1</tex>
|-align="center"
! <tex> \neg a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> \neg b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex>\neg c </tex>
|<tex>=1</tex>
|-align="center"
! style="background: #ffdddd;" |<tex> \neg a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> c </tex>
! style="background: #ffdddd;" |<tex> =1 </tex>
|}
</center>
!(«<tex>1</tex>» означает «<tex> \mathtt {true}</tex>», «<tex>0</tex>» означает «<tex> \mathtt {false}</tex>»)
Каждый конъюнкт ведет к одному уравнению.
|-align="center"
!
<center>
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|+
!colspan="2"|Нормированная система уравнений
|-align="center"
!Переменные
|! width="20%" | Значение
|-align="center"
! <tex> a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> c </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> d </tex>
|<tex>=1</tex>
|-align="center"
! <tex> b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> c </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> d </tex>
|<tex>=0</tex>
|-align="center"
! <tex> a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> d </tex>
|<tex>=0</tex>
|-align="center"
! <tex> a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> c </tex>
|<tex>=1</tex>
|-align="center"
! style="background: #ffdddd;" |<tex> a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> c </tex>
! style="background: #ffdddd;" |<tex> =0 </tex>
|}
</center>
!Используя свойства Булевых [[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец|колец]]
(<tex>\neg x=1 \oplus x</tex>, <tex>x \oplus x=1</tex>),<br>
избавимся от отрицаний в нашей системе
|-align="center"
!
<center>
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|+
!colspan="6"|Матрица соответствующих коэффициентов
|-align="center"
!class="dark"| <tex>a</tex>
!class="dark"| <tex>b</tex>
!class="dark"| <tex>c</tex>
!class="dark"| <tex>d</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"|
|Строка
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>A</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
| <tex>B</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
| <tex>C</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>D</tex>
|}
</center>
!Составим матрицу по следующему правилу:
Если переменная присутствовала в данном конъюнкте<br>
ставим в ячейку <tex>1</tex>, иначе <tex>0</tex>
|-align="center"
!
<center>
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|+
!colspan="6"|Преобразования, чтобы сформировать
верхнюю треугольную матрицу
|-align="center"
!class="dark"| <tex>a</tex>
!class="dark"| <tex>b</tex>
!class="dark"| <tex>c</tex>
!class="dark"| <tex>d</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"|
|Операция
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>A</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
| <tex>C</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>D</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
| <tex>B</tex>
|}
</center>
!Поменяем местами строки <tex>B,\ C,\ D</tex>,<br>
чтобы упростить получение верхней треугольной матрицы.
|-align="center"
!
<center>
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|+
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>A</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>E=C \oplus A</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
| <tex>F=D \oplus A</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
| <tex>B</tex>
|}
</center>
!Т.к. операция <tex>\oplus</tex> даёт <tex>0</tex> при одинаковых аргументах,
применим её для строк <tex>A,\ C=E</tex> и <tex>A,\ D=F</tex>,<br>
чтобы получить <tex>0</tex> в <tex>1</tex>-м столбце.
|-align="center"
!
<center>
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|+
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>A</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>E</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>G=F \oplus E</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>H=B \oplus E</tex>
|}
</center>
!Теперь применим <tex>\oplus</tex> для строк <tex>E,\ F=G</tex> и <tex>B,\ E=H</tex>,<br>
чтобы получить <tex>0</tex> в <tex>2</tex>-м и <tex>3</tex>-м столбцах.
|-align="center"
!
<center>
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|+
!colspan="6"|Преобразования, чтобы сформировать
диагональную матрицу
|-align="center"
!class="dark"| <tex>a</tex>
!class="dark"| <tex>b</tex>
!class="dark"| <tex>c</tex>
!class="dark"| <tex>d</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"|
|Операция
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
| <tex>I=A \oplus H</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>E</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
| <tex>J=G \oplus H</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>H</tex>
|}
</center>
!Чтобы получить основную диагональную матрицу,<br>
сделаем <tex>\oplus</tex> <tex>A,\ H=I</tex> и <tex>G,\ H=J</tex>,<br>
чтобы получить <tex>0</tex> в <tex>4</tex>-м столбце выше диагонали.
|-align="center"
!
<center>
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
|+
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
| <tex>K=I \oplus J</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>L=E \oplus J</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
| <tex>J</tex>
|-align="center"
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
| <tex>H</tex>
|}
!Осталось сделать <tex>\oplus</tex> <tex>I,\ J=K</tex> и <tex>E,\ J=L</tex>,<br>
потому что они отличаются в <tex>1</tex>-м и <tex>2</tex>-м столбцах.
|-align="center"
</center>
|}
===Решение===
Если <font color='red'>красный пункт</font> присутствует:<i> Решений нет</i><br>
Иначе:<br>
<tex>a=0=\mathtt {false}</tex><br>
<tex>b=1=\mathtt {true}</tex><br>
<tex>c=0=\mathtt {false}</tex><br>
<tex>d=1=\mathtt {true}</tex><br>
==Вычислительная сложность==
[[Файл:Булева выполнимость.png|400px|thumb|down|Формула с <tex>2</tex>-мя дизъюнктами может быть неудовлетворена(красный), <tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>(зелёный), <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>(синий), или/и <tex>1</tex>-<tex>\mathrm {in}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>, в зависимости от количества переменных со значением <tex> \mathtt {true}</tex> в <tex>1</tex>-м (горизонтальном) и втором (вертикальном) конъюнкте.]]
Поскольку <tex>a \oplus b \oplus c</tex> принимает значение <tex> \mathtt {true}</tex>, если и только если <tex>1</tex> из <tex>3</tex> переменных <tex>\{a,\ b,\ c\}</tex> принимает значение <tex> \mathtt {true}</tex>, каждое решение в <tex>1</tex>-<tex>\mathrm {in}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex> задачи для данной КНФ-формулы является также решением <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex> задачи, и, в свою очередь, обратное также верно.<br>
Как следствие, для каждой КНФ-формулы, можно решить <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>-задачу и на основании результатов сделать вывод, что либо <tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex> задача решаема или, что <tex>1</tex>-<tex>\mathrm {in}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>-задача нерешаема.<br>
При условии, что <tex>\mathrm {P}</tex>- и <tex>\mathrm {NP}</tex>-классы не равны, ни <tex>2</tex>-, ни Хорн-, ни <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex> не являются задачи [[Класс NP|<tex>\mathrm {NP}</tex>-класса]], в отличии от <tex>\mathrm {SAT}</tex>.
== См. также ==
*[[Специальные формы КНФ]]
*[[2SAT]]
*[[3CNFSAT | NP-полнота задачи о выполнимости булевой формулы в форме 3-КНФ]]
== Примечания ==
<references/>
== Источники информации ==
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_satisfiability_problem Википедия — Boolean satisfiability problem]
* ''Cook, Stephen A.''Proceedings of the 3rd Annual ACM Symposium on Theory of Computing: 151–158, 1971.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Булевы функции]]
