XOR-SAT — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Описание)
(Описание)
Строка 9: Строка 9:
  
  
Это задача [[Класс P|Р-класса]],так как <b><tex>\mathrm {XOR}</tex></b>-<b><tex>\mathrm {SAT}</tex></b> формулу можно рассматривать как систему линейных уравнений по модулю 2,которая ,в свою очередь, может быть решена за <tex>O(n^3)</tex> методом Гаусса <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0 Метод Гаусса]</ref>.Такое представление возможно на основе связи между Булевой алгеброй и Булевым кольцом <ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra_(structure)#Boolean_rings</ref> и том факте,что арифметика по модулю 2 образует конечное поле <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5 Конечное поле ]</ref>.
+
Это задача [[Класс P|Р-класса]],так как <b><tex>\mathrm {XOR}</tex></b>-<b><tex>\mathrm {SAT}</tex></b> формулу можно рассматривать как систему линейных уравнений по модулю 2,которая ,в свою очередь, может быть решена за <tex>O(n^3)</tex> методом Гаусса <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0 Метод Гаусса]</ref>.Такое представление возможно на основе связи между Булевой алгеброй и Булевым кольцом <ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra_(structure)#Boolean_rings Связь между Булевой алгеброй и Булевым кольцом]</ref> и том факте,что арифметика по модулю 2 образует конечное поле <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5 Конечное поле ]</ref>.
  
 
==Решение XOR-SAT задачи методом Гаусса==
 
==Решение XOR-SAT задачи методом Гаусса==

Версия 00:11, 5 января 2017

Задача:
[math]\mathrm {XORSAT}[/math] (XOR-satisfiability) выполнимость функции — задача распределения аргументов в булевой КНФ функции, записанной в виде XOR-КНФ, таким образом, чтобы результат данной функции был равен [math] 1 [/math].


Описание

Одним из особых случаев [math]\mathrm {SAT}[/math] является класс задач, где каждый конъюнкт содержит операции [math]\oplus[/math] (т. е. исключающее или), а не (обычные) [math]\lor[/math] операторы.(Формально, обобщенная КНФ с тернарным булевым оператором R работает только если 1 или 3 переменные дают [math]\mathrm {TRUE}[/math] в своих аргументах. Конъюнкты,имеющие более 3 переменных могут быть преобразованы в сочетании с формулой преобразования с сохранением выполнимости булевой функции(ссылка на книгу ниже), т. е. [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] может быть снижена до [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]\mathrm {3}[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math])[1]


Это задача Р-класса,так как [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] формулу можно рассматривать как систему линейных уравнений по модулю 2,которая ,в свою очередь, может быть решена за [math]O(n^3)[/math] методом Гаусса [2].Такое представление возможно на основе связи между Булевой алгеброй и Булевым кольцом [3] и том факте,что арифметика по модулю 2 образует конечное поле [4].

Решение XOR-SAT задачи методом Гаусса

Система уравнений
("[math]1[/math]" означает «истинно», "[math]0[/math]" означает «ложно»)

Каждый конъюнкт ведет к одному уравнению.

Переменные Значения
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math]\oplus[/math] [math] d [/math] [math]=1[/math]
[math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math]\neg c [/math] [math]\oplus[/math] [math] d [/math] [math]=1[/math]
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math]\neg d [/math] [math]=1[/math]
[math] \neg a [/math] [math]\oplus[/math] [math] \neg b [/math] [math]\oplus[/math] [math]\neg c [/math] [math]=1[/math]
[math] \neg a [/math] [math]\oplus[/math] [math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math] \cong 1 [/math]

Вычислительная сложность

Формула с 2-мя дизъюнктами может быть неудовлетворена(красный),[math]\mathrm {3-SAT}[/math](зелёный),[math]\mathrm {XOR-3-SAT}[/math](синий) ,ИЛИ/И [math]\mathrm {1-in-3-SAT}[/math], в зависимости от количества переменных со значением TRUE в 1-м (горизонтальном) и втором (вертикальном) конъюнкте.

Поскольку [math]\mathrm {a}[/math] [math]\mathrm {XOR}[/math] [math]\mathrm {b}[/math] [math]\mathrm {XOR}[/math] [math]\mathrm {c}[/math] принимает значение [math]\mathrm {TRUE}[/math],если и только если 1 из 3 переменных {a,b,c} принимает значение [math]\mathrm {TRUE}[/math] ,каждое решение в [math]\mathrm {1-in-3-SAT}[/math] задачи для данной КНФ-формулы является также решением [math]\mathrm {XOR-3-SAT}[/math] задачи, и ,в свою очередь,обратное также верно. Как следствие, для каждой КНФ-формулы, можно решить [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]\mathrm {3}[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] -задачу и на основании результатов сделать вывод, что либо [math]\mathrm {3-SAT-задача}[/math] решаема или, что [math]\mathrm {1-in-3-SAT-задача}[/math] нерешаема. При условии ,что P- и NP-классы не равны,ни 2-,ни Хорн-,ни [math]\mathrm {XOR-SAT}[/math] не являются задачи NP-класса,в отличии от SAT.

См. также

Примечания

  1. Alfred V. Aho; John E. Hopcroft; Jeffrey D. UllmanThe Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley.; здесь: Thm.10.4,1974.
  2. Метод Гаусса
  3. Связь между Булевой алгеброй и Булевым кольцом
  4. Конечное поле

Источники информации