Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Z-функция

12 723 байта добавлено, 23:14, 15 ноября 2017
Описание алгоритма
{{Определение
|definition = '''Z-функция''' (англ. ''Z-function'') от строки <tex>S</tex> и позиции <tex>x</tex> — это длина максимального префикса подстроки, начинающейся с позиции <tex>x</tex> в строке <tex>S</tex>, который одновременно является и префиксом всей строки <tex>S</tex>. Более формально, <tex>Z[i](s) = \max k \mid s[i\, \ldots \, i + k] = s[0 \ldots k]</tex>. <!-- проинлайнил \twodots из clrscode --> Значение Z-функции от первой позиции не определено, поэтому его обычно приравнивают к нулю или к длине строки.[[Файл:Zfunc-examp.png|500px]]
}}
'''Примечание:''' далее в конспекте символы строки нумеруются с нуля.
 
[[Файл:Zfunc-examp.png|мини|500px|Строка и её Z-функция]]
== Тривиальный алгоритм ==
=== Псевдокод ===
'''int'''[] zFunction(s : '''string''' s):
'''int'''[] zf = '''int'''[n]
'''for''' i = 1 .. '''to''' n - 1
'''while''' i + zf[i] < n '''and''' s[zf[i]] == s[i + zf[i]]
zf[i]++
Рассмотрим два случая.
1) # <tex>i > right</tex>:<br><!---->Просто пробегаемся по строке <tex>S</tex> и сравниваем символы на позициях <tex>S[i+j]</tex> и <tex>S[j]</tex>.<!---->Пусть <tex>j</tex> первая позиция в строке <tex>S</tex> для которой не выполняется равенство <tex>S[i+j] = S[j]</tex>, тогда <tex>j</tex> это и Z-функция для позиции <tex>i</tex>. Тогда <tex>left = i, right = i + j - 1</tex>. В данном случае будет определено корректное значение <tex>Z[i]</tex> в силу того, что оно определяется наивно, путем сравнения с начальными символами строки. 2) # <tex>i \leqslant right</tex>:<br><!---->Сравним <tex>Z[i - left] + i</tex> и <tex>right</tex>. Если <tex>right</tex> меньше, то надо просто наивно пробежаться по строке начиная с позиции <tex>right</tex> и вычислить значение <tex>Z[i]</tex>. Корректность в таком случае также гарантированнагарантирована.<!---->Иначе мы уже знаем верное значение <tex>Z[i]</tex>, так как оно равно значению <tex>Z[i - left]</tex>.<br>
[[Файл:z-func.png]]
=== Время работы ===
Этот алгоритм работает за <tex>O(\lvert |S\rvert|)</tex>, так как каждая позиция пробегается не более двух раз: при попадании в диапазон от <tex>left</tex> до <tex>right</tex> и при высчитывании Z-функции простым циклом.
=== Псевдокод ===
'''int'''[] zFunction(s : '''string''' s):
'''int'''[] zf = '''int'''[n]
'''int''' left = 0, right = 0
'''for''' i = 1 .. '''to''' n - 1 zf[i] = max(0, min(right - i, zf[i - left]))
'''while''' i + zf[i] < n '''and''' s[zf[i]] == s[i + zf[i]]
zf[i]++
'''if''' i + zf[i] >= right
left = i
right = i + zf[i]
== Поиск подстроки в строке с помощью Z-функции ==
<tex>n</tex> — длина текста. <tex>m</tex> — длина образца. <br>
Образуем строку <textt>s = \texttt{needle} pattern + \# + \texttt{source}text</textt>, где <textt>\#</textt> — символ, не встречающийся ни в <textt>\texttt{source}text</textt>, ни в <textt>\texttt{needle}pattern</textt>. Вычисляем Z-функцию от этой строки.В полученном массиве, в позициях в которых значение Z-функции равно <tex>|\texttt{needlepattern}|</tex>, по определению начинается подстрока, совпадающая с <textt>\texttt{needle}pattern</textt>.
=== Псевдокод ===
'''int''' substringSearch(text : '''string''' source, pattern : '''string''' needle): '''int'''[] zf = zFunction(needle pattern + '#' + sourcetext) '''for''' i = m + 1 .. '''to''' n + m1
'''if''' zf[i] == m
'''return''' i
 
 
==Построение строки по Z-функции==
{{Задача
|definition= Необходимо восстановить строку по Z-функции, считая алфавит ограниченным.
}}
===Описание алгоритма===
Пусть в массиве <tex>z</tex> хранятся значения Z-функции, в <tex>s</tex> будет записан ответ. Пойдем по массиву <tex>z</tex> слева направо.
 
Нужно узнать значение <tex>s[i]</tex>. Для этого посмотрим на значение <tex>z[i]</tex>: если <tex>z[i] = 0</tex>, тогда в <tex>s[i]</tex> запишем ещё не использованный символ или последний использованный символ алфавита, если мы уже использовали все символы. Если <tex>z[i] \neq 0</tex>, то нам нужно записать префикс длины <tex>z[i]</tex> строки <tex>s</tex>. Но если при посимвольном записывании этого префикса в конец строки <tex>s</tex> мы нашли такой <tex>j</tex> (индекс последнего символа строки), что <tex>z[j]</tex> больше, чем длина оставшейся незаписанной части префикса, то мы перестаём писать этот префикс и пишем префикс длиной <tex>z[j]</tex> строки <tex>s</tex>.
 
Для правильной работы алгоритма будем считать значение <tex>z[0]</tex> равным нулю.
 
Заметим, что не всегда удастся восстановить строку с ограниченным алфавитом неподходящего размера. Например, для строки <tex>abacaba</tex> массив Z-функций будет <tex>[0, 0, 1, 0, 3, 0, 1]</tex>. Используя двоичный алфавит, мы получим строку <tex>abababa</tex>, но её массив Z-функций отличается от исходного. Ошибка восстановления строки возникла, когда закончились новые символы алфавита.
 
Если строить строку по некорректному массиву значений Z-функции, то мы получим какую-то строку, но массив значений Z-функций от неё будет отличаться от исходного.
 
=== Время работы ===
Этот алгоритм работает за O(|S|), так как мы один раз проходим по массиву Z-функций.
=== Реализация ===
'''string''' buildFromZ(z : '''int'''[], alphabet : '''char'''[]):
'''string''' s = ""
'''int''' prefixLength = 0 <font color=green>// длина префикса, который мы записываем</font>
'''int''' j <font color=green>// позиция символа в строке, который будем записывать</font>
'''int''' newCharacter = 0 <font color=green>// индекс нового символа</font>
'''for''' i = 0 '''to''' z.length - 1
<font color=green>// мы не пишем какой-то префикс и не будем писать новый</font>
'''if''' z[i] = 0 '''and''' prefixLength = 0
if newCharacter < alphabet.length
s += alphabet[newCharacter]
newCharacter++
else
s += alphabet[newCharacter - 1]
<font color=green>// нам нужно запомнить, что мы пишем префикс </font>
'''if''' z[i] > prefixLength
prefixLength = z[i]
j = 0
<font color=green>// пишем префикс</font>
'''if''' prefixLength > 0
s += s[j]
j++
prefixLength--
'''return''' s
 
===Доказательство корректности алгоритма===
 
Докажем, что если нам дали корректную Z-функцию, то наш алгоритм построит строку с такой же Z-функцией.
 
Пусть <tex>z</tex> — данная Z-функция, строку <tex>s</tex> построил наш алгоритм, <tex>q</tex> — массив значений Z-функции для <tex>s</tex>. Покажем, что массивы <tex>q</tex> и <tex>z</tex> будут совпадать.
 
[[Файл: Запись_префикса.png|330px|thumb|right|Записали префикс, начинающийся в <tex>i</tex>. После пишем префикс, начинающийся в <tex>j</tex>. Этот префикс не изменит символы первого префикса.]]
 
Рассмотрим похожий алгоритм, но с более худшей асимптотикой. Отличие будет в том, что при <tex>z[i] > 0</tex> мы будем писать префикс полностью и возвращаться в позицию <tex>i + 1</tex>. Рассмотрим каждый шаг этого алгоритма. Если <tex>z[i] = 0</tex>, то мы пишем символ, отличный от первого символа строки, поэтому <tex>q[i] = 0</tex>, а значит <tex>q[i] = z[i]</tex>. Если <tex>z[i] > 0</tex>, то при записи <tex>s[i]</tex> мы будем получать <tex>q[i] = z[i]</tex>, потому что мы переписали префикс строки. Но далее мы можем переписать этот префикс другим префиксом. Заметим, что новый префикс будет содержаться и в префиксе самой строки, поэтому пересечение двух префиксов будет состоять из одинаковых символов. Значит, префикс не будет изменяться, как и значение <tex>q[i]</tex>. Тогда массив <tex>q</tex> совпадает с <tex>z</tex>.
 
Покажем, что этот алгоритм эквивалентен нашему алгоритму. Когда мы пишем разные префиксы, то возможны три варианта: они не пересекаются (начало и конец одного префикса не принадлежат другому), один лежит внутри другого (начало и конец префикса принадлежит другому), они пересекаются (начало одного префикса пренадлежит другому, но конец не принадлежит).
* Если префиксы не пересекаются, то в алгоритме они не влияют друг на друга.
[[Файл: Префиксы1.png|400px]]
* Если префикс лежит внутри другого префикса, то записав большой префикс мы запишем и малый, поэтому не нужно возвращаться к началу малого префикса.
[[Файл: Префиксы2.png|400px]]
* Если префиксы пересекаются, то нам нужно переписать часть префикса, который начинается раньше, и начать писать другой префикс (начало этого префикса запишет конец префикса, начинающегося раньше). Если полностью переписать префикс, начинающийся раньше, то мы не сможем восстановить префикс, который начинался раньше конца первого префикса.
[[Файл: Префиксы3.png|400px]]
 
Таким образом, алгоритмы эквивалентны и наш алгоритм тоже корректен.
 
==Построение Z-функции по префикс-функции==
 
{{Задача
|definition= Дан массив с корректной [[Префикс-функция | префикс-функцией]] для строки <tex>s</tex>. Требуется получить массив с Z-функцией для строки <tex>s</tex>.
}}[[Файл:Case one.png|300px|thumb|right|'''Случай первый''']]
[[Файл:Case two.png|300px|thumb|right|'''Случай второй''']]
[[Файл:Case three.png|300px|thumb|right|'''Случай третий''']]
 
<br>
 
===Описание алгоритма===
<br>
Пусть префикс функция хранится в массиве <tex>P[0 \ldots n - 1]</tex>. Z-функцию будем записывать в массив <tex>Z[0 \ldots n-1]</tex>. Заметим, что если <tex>P[i]>0</tex>, то мы можем заявить, что <tex>Z[i-P[i]+1]</tex> будет не меньше, чем <tex>P[i]</tex>.
<br>
<br>
Так же заметим, что после такого прохода в <tex>Z[1]</tex> будет максимальное возможное значение. Далее будем поддерживать инвариант: в <tex>Z[i]</tex> будет максимальное возможное значение.
<br>
<br>
Пусть в <tex>Z[i] = z > 0</tex>, рассмотрю <tex>j<z</tex>, <tex>Z[j]=k</tex> и <tex>Z[i+j]=k_1</tex>. Пусть <tex>b_1=s[0 \ldots k-1]</tex>, <tex>b_2=s[j \ldots j+k-1]</tex>, <tex>b_3=s[0 \ldots z-1]</tex>. Тогда заметим, что <tex>b_3 = s[i \ldots i+z-1]</tex> и тогда возможны три случая:
 
# <tex>k<k_1</tex>.
#: Тогда <tex>b_1 \subset s[0 \ldots k_1-1]=s[i+j \ldots i+j+k_1-1]</tex> и тогда очевидно, что мы не можем увеличить значение <tex>Z[i+j]</tex> и надо рассматривать уже <tex>i=i+j</tex>.
# <tex>k<z-j</tex> и <tex>k>k_1</tex>.
#: Тогда <tex>b_1 = b_2 \subset b_3 = s[i \ldots i+z-1] \Rightarrow b_1 = s[i+j \ldots i+j+k-1]</tex> и тогда очевидно, что <tex>Z[i+j]</tex> можно увеличить до <tex>k</tex>.
# <tex>k>z-j</tex> и <tex>k>k_1</tex>.
#: Тогда <tex>b_1 = b_2 </tex>, но <tex>b_2</tex> не является подстрокой строки <tex>b_3</tex> (так как<tex>j+k-1 > z</tex>). Так как известно, что <tex>s[z] \ne s[i+z]</tex>, то <tex>s[0 \ldots z-j] = s[i+j \ldots i+z-1]</tex> и тогда понятно, что <tex>Z[i+j]=z-j</tex>.
 
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
 
===Псевдокод===
'''int[]''' buildZFunctionFromPrefixFunction(P : '''int'''[n])
'''int'''[] Z = '''int'''[n]
'''for''' i = 1 '''to''' n - 1
'''if''' P[i] > 0
Z[i - P[i] + 1] = P[i]
Z[0] = n
'''int''' i = 1
'''while''' i < n
'''int''' t = i
'''if''' Z[i] > 0
'''for''' j = 1 '''to''' Z[i] - 1
'''if''' Z[i + j] > Z[j]
'''break'''
Z[i + j] = min(Z[j], Z[i] - j)
t = i + j
i = t + 1
'''return''' Z
 
===Время работы===
Внешний цикл <tex>\mathrm{while}</tex> отработает за <tex>O(n)</tex> итераций, так как внутри него <tex>i</tex> увеличивается не менее чем на <tex>1</tex>. А внутренний цикл выполнит суммарно не более <tex>O(n)</tex> итераций, так как после него <tex>i</tex> увеличится на количество итераций внутреннего цикла, но <tex>i</tex> не может увеличиться более чем на <tex>n</tex>, так как каждое значение <tex>Z[i]</tex> не может превзойти <tex>n</tex>.
 
== См. также ==
* [[Префикс-функция]]
* [[Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта]]
== Источники информации ==
* [http://habrahabr.ru/post/113266/ Поиск подстроки и смежные вопросы — Хабр]<br>
* [[wikipedia:ru:Z-функция | Википедия — Z-функция]]<br>* [http://codeforces.ru/blog/entry/9612/ Codeforces — Переход между Z- и префикс- функциями]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Поиск подстроки в строке]]
[[Категория:Точный поиск]]
Анонимный участник

Навигация