Компактный оператор

Материал из Викиконспекты
Версия от 16:41, 7 июня 2013; Dgerasimov (обсуждение | вклад) (Произведение компактных операторов)
Перейти к: навигация, поиск

Напоминание: все рассматриваемые пространства считаем Банаховыми.

Определение:
Множество называется относительно компактным (предкомпактным), если его замыкание компактно


Определение:
Линейный ограниченный оператор [math] A : X \to Y [/math] называется компактным, если [math] A [/math] переводит любое ограниченное множество из [math] X [/math] в относительно компактное множество из [math] Y [/math].


Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.

Пример

Рассмотрим пространство [math] C[0,1] [/math]. Пусть [math] K(u, v) [/math] — непрерывно на [math] [0,1]\times[0,1] [/math] и ограничено: [math] | K(t,s) | \leq M [/math].

[math] A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds [/math], где [math] x(s) \in C[0,1] [/math].

[math] A(x,t) \in C[0,1] [/math]. Зададим норму [math] \| x \| = \max\limits_{s \in [0,1]} | x(s) | \implies |x(s)| \leq \| x \| [/math]

[math] | A(x,t) | \leq M \cdot \| x \| [/math]

[math] \| A x \| \leq M \cdot \| x \| [/math]

[math] T \subset C[0,1] [/math] — относительно компактное [math]\iff[/math]

  1. [math] \forall x \in T : \|x\| \leq M [/math]
  2. [math] \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 : | t'' - t' | \lt \delta \implies \forall x \in T : | x(t') - x(t'') | \lt \varepsilon [/math]равностепенная непрерывность.


TODO: дальше какой-то треш, хотим показать, что A компактный, кажется

Критерий проверки компактности

Замечание: в бесконечномерном пространстве шар не будет компактом (следствие из теоремы Рисса о почти перпендикуляре), следовательно, [math]\mathcal{I}x = x[/math] — не компактен. TODO: чо?

Для определения компактности используется критерий Хаусдорфа: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограниченно, то есть у него существует конечная [math]\varepsilon[/math]-сеть.

Произведение компактных операторов

Утверждение:
[math] A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) [/math], [math] C = B \cdot A [/math] (произведение, суперпозиция). Тогда:
  1. Если [math] B [/math] ­— ограниченный, [math] A [/math] ­— компактный, то [math] C [/math] ­— компактный.
  2. Если [math] B [/math] ­— компактный, [math] A [/math] ­— ограниченный, то [math] C [/math] ­— компактный.
[math]\triangleright[/math]

<wikitex>Докажем первый случай, второй доказывается аналогично.

Рассмотрим единичный шар $V = \{ x \mid \
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (следствие):
Если [math] B [/math] — компактный оператор, то он не может быть непрерывно обратимым.
[math]\triangleright[/math]
От противного: пусть [math] \exists B^{-1} \implies I = B \cdot B^{-1} [/math] — компактный по доказанному утверждению, что невозможно в бесконечномерном случае.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
[math] A [/math] ­— компактный [math] \implies R(A) [/math] — сепарабельно, то есть в [math] R(A) [/math] существует всюду плотное подмножество.
[math]\triangleright[/math]

[math] X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} V_n, \quad V_n = \{ x \mid \| x \| \lt n \} [/math] — счетное объединение шаров.

[math] R(A) = A (X) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A(V_n) [/math]

[math] A(V_n) [/math] — относительно компактно.

Используя теорему Хаусдорфа можно показать, что любое относительно компактное множество сепарабельно: объединение [math]\varepsilon_{\frac{1}{n}}[/math]-сетей для [math]n[/math] от [math]1[/math] до [math]\infty[/math] счетно и оно будет всюду плотным в этом множестве.

Счетное объединение сепарабельных множеств ­— сепарабельно, значит [math] R(A) [/math] — сепарабельно.
[math]\triangleleft[/math]