Мера на полукольце множеств

Материал из Викиконспекты
Версия от 00:35, 27 сентября 2011; 192.168.0.2 (обсуждение) (Кажется, никто все-таки не потерял чувства реальности, и не пришлось прибегать к репрессивным мерам. Да, Дима Баев?)
Перейти к: навигация, поиск

<< >>


Определение:
Пусть [math] (X, \mathcal R) [/math] - полукольцо. [math] m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R_{+}}[/math] называется мерой на нем, если:

1) [math] m(\varnothing) = 0 [/math]

2) Для дизъюнктных [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R [/math] и [math] A \in \mathcal R [/math], такого, что [math] A = \bigcup\limits_{n} A_n [/math], [math] m(A) = \sum\limits_n m(A_n) [/math] (сигма-аддитивность)


Примеры мер:

  • [math] \mathcal R = 2^X, m(\varnothing) = 0, m(A) = +\infty [/math];
  • [math] X = \mathbb N, \mathcal R = 2^X, m(X) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} P_k [/math] - сходящийся положительный ряд, [math] m(\varnothing) = 0 [/math], для [math] A = \{i_1, i_2, \ldots, i_n\} [/math] полагаем [math] m(A) = \sum\limits_{k \in A} P_k [/math];
  • Для полукольца ячеек примером меры является [math] m(A) = b - a [/math], где [math] A = [a; b) [/math] - длина ячейки;

То, что длина ячейки является корректно определенной мерой — нетривиальный факт, который будет доказан нами позднее.

Выведем 2 важных свойства меры на полукольце:

Лемма:
Пусть [math] m [/math] — мера на полукольце [math] \mathcal R [/math], тогда:

1) Для [math] A \in \mathbb R [/math] и дизъюнктных [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R, \bigcup\limits_{n} A_n \subset A [/math] выполняется [math] \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) [/math]

2) Для [math] A \in \mathbb R [/math] и [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R, A \subset \bigcup\limits_{n} A_n [/math] выполняется [math] m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) [/math] (сигма-полуаддитивность)
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1)

Пусть [math] A \setminus\bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n = \bigcup\limits_{p} D_p [/math], тогда [math] A = \bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n \cup \bigcup\limits_{p} D_p [/math].

По сигма-аддитивности меры, [math] m(A) = \sum\limits_{n = 1}^{N} A_n + \sum\limits_{p} D_p [/math].

Так как второе слагаемое неотрицательно, то [math] m(A) \ge \sum\limits_{n = 1}^{N} A_n [/math]. Устремляя [math] n [/math] к бесконечности, получаем требуемое.

2)

Можно представить [math] A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) [/math], каждое из пересечений принадлежит [math] \mathcal R [/math], поэтому [math] A = \bigcup\limits_{p} B_p [/math], отсюда [math] m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) [/math].

Разобьем множества [math] B_p [/math] на группы, так чтобы в группе с номером [math] n [/math] были дизъюнктные множества, объединение которых является подмножеством [math] A_n [/math]. Для каждой такой группы, мера объединения ограничена по пункту 1) мерой [math] A_n [/math], поэтому получаем [math] m(A) \le \sum\limits_{p} m(A_p) [/math].
[math]\triangleleft[/math]

<< >>