L_p
| Определение: |
| [math] L_p, (p \ge 1) [/math] — совокупность [math] 2\pi [/math]-периодических функций, суммируемых с [math] p [/math]-й степенью на промежутке [math] Q = [-\pi, \pi] [/math].
То есть,
[math]L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p \lt +\infty \} [/math]. |
| Определение: |
| Систему функций [math] 1,\ \cos x,\ \sin x,\ \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)[/math] называют тригонометрической системой функций. |
Каждая из этих функций ограниченная, [math] 2\pi [/math]-периодическая, следовательно, все функции принадлежат [math]L_p[/math].
Заметим, что, из-за [math] 2\pi [/math]-периодичности, [math] \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 [/math].
| Утверждение: |
При [math] n \ne m [/math] :
[math] \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0[/math],
[math] \int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi [/math]. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Первые три равенства получаются двухкратным интегрированием по частям интеграла в левой части. Четвертое равенство очевидно, последние два получаются из предыдущих, так как [math] \cos^2 nx = \frac12 (1 + \cos 2nx),\ \sin^2 nx = \frac12 (1 - \cos 2nx) [/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Определение: |
| Тригонометрическим рядом называется ряд:
[math]\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)[/math].
Если, начиная с какого-то места, [math] c_n = d_n = 0 [/math], то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом. |
Замечание (предел в пространстве [math]L_1[/math]): если [math]f_n, f \in L_1[/math], то
[math]
f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n
\iff
\int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
[/math].
