Отношение связности, компоненты связности

Материал из Викиконспекты
Версия от 15:09, 10 сентября 2012; 109.205.252.183 (обсуждение) (Случай неориентированного графа)
Перейти к: навигация, поиск

Случай неориентированного графа

Определение:
Две вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] называются связными, если в графе [math]G[/math] существует путь из [math]u[/math] в [math]v[/math] (обозначение: [math]u \rightsquigarrow v [/math]).


Теорема:
Связность - отношение эквивалентности.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рефлексивность: [math]\forall a \in V a \rightsquigarrow a[/math] (очевидно).

Симметричность: [math]a\rightsquigarrow b \Rightarrow b\rightsquigarrow a[/math] (в силу неориентированности графа).

Транзитивность: [math]a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c \Rightarrow a\rightsquigarrow c[/math]. Действительно, сначала пройдем от [math]a[/math] до [math]b[/math], затем от [math]b[/math] до [math]c[/math], что и означает существования пути [math]a \rightsquigarrow c[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Компонентой связности называется класс эквивалентности относительно связности.


Определение:
Граф [math]G=(V, E)[/math] называется связным, если он состоит из одной компоненты связности. В противном случае граф называется несвязным.


Случай ориентированного графа

В общем случае для ориентированного графа существование пути — не симметричное отношение, поэтому вместо понятия связности различают понятие слабой и сильной связности.

Слабая связность

<wikitex>

Определение:
Отношение $R(v, u)$ называется отношением слабой связности, если вершины $u$ и $v$ связаны в неориентированном графе $G'$, полученном из графа $G$ удалением с ребер ориентации.


Теорема:
Слабая связность является отношением эквивалентности.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Аналогично доказательству соответствующей теоремы для неориентированного графа.
[math]\triangleleft[/math]
Пример ориентированного графа с тремя компонентами слабой связности.


</wikitex>

Сильная связность

Определение:
Отношение [math]R(v, u) = v \rightsquigarrow u \land u \rightsquigarrow v[/math] на вершинах графа называется отношением сильной связности.


Теорема:
Сильная связность — отношение эквивалентности.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рефлексивность и симметричность очевидны. Рассмотрим транзитивность:

[math](a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \land (b\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow b)\Leftrightarrow (a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c) \land (c\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow a) \Leftrightarrow a\rightsquigarrow c \land c\rightsquigarrow a[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Пусть [math]G = (V, E)[/math] — ориентированный граф. Компонентой сильной связности называется класс эквивалентности множества вершин этого графа относительно сильной связности.
Пример ориентированного графа с тремя компонентами сильной связности.
Определение:
Ориентированный граф [math]G = (V, E)[/math] называется сильно связным, если он состоит из одной компоненты сильной связности.



Источники