Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
типа это одно и то же

Задача: есть конечное множество полуплоскотей, найти фигуру их пересечения или сообщить что оно пусто.

Для начала заметим, что если пересечение не пусто, то оно выпукло. (Доказательство — Пересечение выпуклых фигур выпукло, а полуплоскоть выпукла)

Рассмотри отображение [math] D [/math] между точками и прямыми, такое что:

[math] D(P(k, b)) = (Y = kX - b) [/math]

[math] D(Y = kX + b) = P(k, -b) [/math]

Обозначим [math] L = {l_1, l_2, ... , l_n} [/math] — множество прямых.

Пример отображения

Замечания:

  • [math] D(D(P)) = P [/math]
  • Точка [math] p [/math] лежит на прямой [math] l_i [/math] тогда и только тогда, когда [math] D(l_i) [/math] лежит на прямой [math] D(p) [/math];
  • Прямая [math] l_i [/math] лежит на границе пересечения тогда и только тогда, когда [math] D(l_i) [/math] — экстремальная точка [math] D(L) [/math];
  • Точка [math] l_i [/math] вершина пересечения прямых [math] l_i [/math] и [math] l_j [/math] тогда и только тогда, когда [math] l(D(l_i), D(l_j)) [/math] —опорное ребро конвекс халла [math] CH(D(L)) [/math];
  • Точка [math] l_i [/math] — не экстемальная точка [math] D(L) [/math] тогда и только тогда, когда удаление [math] h_i [/math] не повлияет на пересечение.

Источники