Получение следующего объекта

Материал из Викиконспекты
Версия от 23:35, 8 января 2024; Admin (обсуждение | вклад) (Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм

Определение:
Получение следующего объекта — это нахождение объекта, следующего за данным в лексикографическом порядке.

Объект [math]Q[/math] называется следующим за [math]P[/math], если [math]P \lt Q[/math] и не найдется такого [math]R[/math], что [math]P \lt R \lt Q[/math].

Отсюда понятен алгоритм:

  • находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта [math]P[/math],
  • к оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило [math]P \lt Q[/math]),
  • дописываем минимальный возможный хвост.

По построению получаем, что [math]Q[/math] — минимально возможный.

Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора

  • Находим минимальный суффикс, в котором есть [math]0[/math], его можно увеличить, не меняя оставшейся части
  • Вместо [math]0[/math] записываем [math]1[/math]
  • Дописываем минимально возможный хвост из нулей
int[] nextVector(int[] a): // [math]n[/math] — длина вектора
  while (n >= 0) and (a[n] != 0)
      a[n] = 0
      n--
  if n == -1
    return null
  a[n] = 1
  return a

Приведённый алгоритм эквивалентен прибавлению единицы к битовому вектору.

Пример работы

0 1 0 1 1 исходный битовый вектор
^ начинаем идти с конца
0 1 0 0 0 пока элементы равны 1, заменяем их на 0
0 1 1 0 0 меняем первый не удовлетворяющий условию цикла элемент на 1
0 1 1 0 0 следующий битовый вектор

Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки

  • Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
  • Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
  • Перевернем правую часть
int[] nextPermutation(int[] a): // [math]n[/math] — длина перестановки
  for i = n - 2 downto 0
    if a[i] < a[i + 1]
      min = i + 1;
      for j = i + 1 to n - 1
        if (a[j] < a[min]) and (a[j] > a[i])
          min = j
      swap(a[i], a[min])
      reverse(a, i + 1, n - 1)
      return a
  return null 

Пример работы

1 3 2 5 4 исходная перестановка
^ находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
^ минимальный элемент больше нашего
1 3 4 5 2 меняем их местами
1 3 4 2 5 разворачивам правую часть
1 3 4 2 5 следующая перестановка

Специализация алгоритма для генерации следующей мультиперестановки

  • Двигаясь справа налево, находим элемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример).
  • Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее.
  • Переворачиваем правую часть.
int[] nextMultiperm(int[] b):  // [math]n[/math] — длина мультиперестановки
    i = n - 2
    while (i >= 0) and (b[i] >= b[i + 1]) 
      i--
    if i >= 0 
      j = i + 1
      while (j < n - 1) and (b[j + 1] > b[i]) 
        j++
      swap(b[i] , b[j])
      reverse(b, i + 1, n - 1)
      return b
    else
      return null

Пример работы

1 2 3 1 2 3 Исходная перестановка.
^ Находим элемент, нарушающий убывающую последовательность.
^ Минимальный элемент больше нашего.
1 2 3 1 3 2 Меняем их местами.
1 2 3 1 3 2 Следующая мультиперестановка.

Специализация алгоритма для генерации следующего сочетания

  • Добавим в конец массива с сочетанием [math]N+1[/math] – максимальный элемент.
  • Пойдём справа налево. Будем искать номер элемента, который отличается от предыдущего на [math]2[/math] и больше.
  • Увеличим найденный элемент на [math]1[/math], и допишем в конец минимально возможный хвост, если такого элемента нет – на вход было дано последнее сочетание.
int[] nextChoose(int[] a, int n, int k): // [math]n,k [/math] — параметры сочетания
  for i = 0 to k - 1 
    b[i] = a[i]
  b[k] = n + 1
  i = k - 1
  while (i >= 0) and (b[i + 1] - b[i] < 2) 
    i--
  if i >= 0 
     b[i]++
     for j = i + 1 to k - 1 
       b[j] = b[j - 1] + 1
     for i = 0 to k - 1 
       a[i] = b[i]
     return a
  else
    return null

Пример работы

1 2 5 6 7 Дописываем 7 в конец сочетания.
1 2 5 6 7
^ Находим элемент i, a[i + 1] - a[ i ] >= 2
1 3 5 6 7 Увеличиваем его на 1.
1 3 4 5 6 Дописываем минимальный хвост.
1 3 4 5 Следующее сочетание.

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на слагаемые

Рассматриваемый алгоритм находит следующее разбиение на слагаемые, при этом разбиение упорядоченно по возрастанию.

  • Увеличим предпоследнее слагаемое на [math]1[/math], уменьшим последнее слагаемое на [math]1[/math].
    • Если предпоследнее слагаемое стало больше последнего, то увеличиваем предпоследнее слагаемое на величину последнего.
    • Если предпоследнее слагаемое умноженное на 2 меньше последнего, то разбиваем последнее слагаемое [math]s[/math] на два слагаемых [math]a[/math] и [math]b[/math] таких, что [math]a[/math] равно предпоследнему слагаемому, а [math]b = s - a[/math]. Повторяем этот процесс, пока разбиение остается корректным, то есть предпоследнее слагаемое хотя бы в два раза меньше последнего.

// [math]b[/math] — список, содержащий разбиение данного числа [math]b.size[/math]— его размер 
list<int>  nextPartition(list<int> b): 
   b[b.size - 1]--
   b[b.size - 2]++
   if b[b.size - 2] > b[b.size - 1] 
      b[b.size - 2] += b[b.size - 1]
      b.remove(b.size - 1)
   else
     while b[b.size - 2] * 2 <= b[b.size - 1] 
       b.add(b[b.size - 1] - b[b.size - 2])
       b[b.size - 2] = b[b.size - 3]
   return b

Пример работы

1 1 7 Прибавим 1 + 1, вычтем 7 - 1.
1 2 6 Проверяем: 2 < 6, значит разбиваем 6 пока оно не станет меньше 4
1 2 2 4
1 2 2 2 2
1 2 2 2 2 Следующее разбиение на слагаемые числа 9.
1 4 5 Прибавим 4 + 1, вычтем 5 - 1.
1 5 4 Проверяем: 5 > 4, значит прибавим к 5 + 4.
1 9 4 Удалим последний элемент.
1 9 Следующее разбиение на слагаемые числа 10.

См.также

Источники информации