Связь между максимизацией гиперобъема и аппроксимацией Парето-фронта
Основные определения
| Определение: |
| Множество называется Парето оптимальным, если:
, где ( доминирует ) - множество оптимальных по Парето решений, его также называют Парето-фронтом. Парето-фронт не может быть вычислен за полиномиальное время. |
| Определение: |
| Множество решений называется -аппроксимацией функции , если:
Коэффицент аппроксимации функции на равен: аппроксимация Оптимальный коэффицент аппроксимации |
Свзяь между максимизацией гиперобъема и аппроксимацией Парето-фронта
Рассмотрим функции вида: , где убывает и . Коэффициент апроксимации монотонно убывающих функций не зависит от масштабов отрезков и . Так как для фиксированных констант функция и имеет тот же коэффициент аппроксимации. Однако, коэффициент аппроксимации зависит от значений и .
Множество всех таких функций обозначим через . Далее будем рассматривать только монотонно убывающие, полунепрерывные Парето-фронты. Условие полунепрерывности необходимо для того, чтобы существовало множество решение, максимизирующее индикатор гиперобъема.
Рассмотрим оптимальный коэффициент апроксимации для данного Парето-фронта из n () и верхнюю границу коэффициента аппроксимации для множества из n точек, максимизирующего значение индикатора гиперобъема () и докажем, что для количества точек они одинаковы, а именно .
Индикатор гиперобъема
| Определение: |
| Пусть дано множество решения . Пусть также множество всех решений усечено некоторой точкой . Тогда:
, где через обозначена мера множества по Лебегу. Гиперобъем является единственным унарным индикатором эластичным по Парето(Pareto-compliant). |
| Утверждение: |
Пусть .
Тогда существует, не обязятельно единственное, множество решения , которое максимизирует значение на |
| См. [Гиперобъем] |
Нахождение лучшего коэффициента аппроксимации
[Доказательство] ограничивает значение оптимального коэффицента апроксимации сверху: = .
Нахождение коэффициента аппроксимации множества решения максимизируюшего гиперобъем
| Утверждение: |
Пусть и .
Тогда [MINCON] данного множество решения: |
|
Исходя из определения минимальный вклад в гиперобъем множества равен минимуму из всевозможных площадей прямоугольников, образующихся между соседними точками множества решения и их значениями. Пусть - длины сторон соответствующего прямоугольника, тогда: , для любого Это означает:
и поэтому: Так как среднее гармоническое не больше среднего арифметического: Преобразуя, получаем искомое. |
Далее необходимо посчитать коэффициент аппроксимации для "внутренних" () и "внешних" точек ( или ).
| Теорема (1): |
Пусть . Любое множество решение достигает мультипликативной аппроксимации всех внутренних точек. |
| Доказательство: |
| Доказательство производится от противного, принимая предположение, что существует такой , для которого бы не выполнялось условие аппроксимации при данном коэффициенте. |
| Теорема (2): |
Пусть . И является точкой отсчета. Каждое множество решение достигает мультипликативной аппроксимации всех точек с , и достигает мультипликативной аппроксимации всех точек с . |
| Доказательство: |
| Доказательство производится c использованием ранее доказанного утверждения о MINCON. |
Совместно теоремы 1 и 2 приводят к следующим следствиям:
Следствие 1:
Пусть , и является точкой отсчета. Тогда:
Следствие 2:
Пусть . И является точкой отсчета. Тогда если
или
, выполняется следующее неравенство
= ,
то есть
= ,
что и требовалось доказать.
Примечание
Конечно, зависимость от и в аппроксимационном коэффициенте оптимального множества решения меньше чем в аппроксимационном коэффициенте для множества, максимизирующего гиперобъем. Однако, полученная граница для коэффициента аппроксимации является верхней. На рисунке ниже можно увидеть пример поведения данных значений для определенного класса функций.
