Символ Похгаммера

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
В математике убывающим факториалом (англ. falling factorial) (иногда называется нисходящим факториалом,[1] постепенно убывающим факториалом или нижним факториалом) обозначают:
[math](x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)[/math]


Определение:
Растущий факториал (англ. rising factorial) (иногда называется функцией Похгаммера, многочленом Похгаммера, восходящим факториалом,[1] постепенно растущим произведением или верхним факториалом) определяется следующей формулой:
[math]x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k). [/math]


При [math]n=0[/math] значение принимается равным [math]1[/math] (пустое произведение).

Символ Похгаммера введен Лео Августом Похгаммером в записи [math](x)^n[/math], где [math]n[/math] неотрицательное целое число. В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Поэтому при чтении любой статьи необходимо обратить внимание на то, какой именно из двух факториалов имеется в виду. Сам Похгаммер для себя использовал [math](x)^n[/math] в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента [math]\tbinom xn[/math].[2]

В этой статье [math](x)_n[/math] означает убывающий факториал и [math](x)^n[/math] - растущий факториал. Такое же обозначение используется в комбинаторике.[3]

Когда [math]x[/math] неотрицательное целое число, [math](x)_n[/math] равняется числу инъективных отображений из множества с [math]n[/math] элементами во множество из [math]x[/math] элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения [math]_x P_n[/math] и [math]P(x,n)[/math]. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где [math]x[/math] - переменная, то есть [math](x)_n[/math] есть ни что иное как многочлен степени [math]n[/math] от [math]x[/math].

Примеры

График убывающего символа Похгаммера

Несколько первых растущих факториалов:

[math]x^{(0)}=x^{\overline0}=1 [/math]
[math]x^{(1)}=x^{\overline1}=x [/math]
[math]x^{(2)}=x^{\overline2}=x(x+1)=x^2+x [/math]
[math]x^{(3)}=x^{\overline3}=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x [/math]
[math]x^{(4)}=x^{\overline4}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x [/math]

Несколько первых убывающих факториалов:

[math](x)_{0}=x^{\underline0}=1 [/math]
[math](x)_{1}=x^{\underline1}=x [/math]
[math](x)_{2}=x^{\underline2}=x(x-1)=x^2-x [/math]
[math](x)_{3}=x^{\underline3}=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x [/math]
[math](x)_{4}=x^{\underline4}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x [/math]

Коэффициенты в выражениях являются числами Стирлинга первого рода.

Свойства

Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:

[math]\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad \frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.[/math]

Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для убывающих и растущих факториалов.

Растущий факториал может быть выражен как убывающий факториал, начинающийся с другого конца,

[math]x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,[/math]

или как убывающий с противоположным аргументом,

[math]x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .[/math]

Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, [math]x[/math] может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.

Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения [math]n[/math], но с использованием Гамма функции при условии, что [math]x[/math] и [math]x+n[/math] вещественные числа, но не отрицательные целые:

[math]x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)},[/math]

то же самое и про убывающий факториал:

[math](x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}.[/math]

Если [math]D[/math] означает производную по [math]x[/math], то

[math]D^n(x^a) = (a)_n\,\, x^{a-n}.[/math]

Связывающие коэффициенты и тождества

Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом числами Лаха и суммами для интегральных степеней переменной [math]x[/math] с привлечением чисел Стирлинга второго рода в следующих формах, в которых [math]\binom{r}{k} = r^{\underline{k}} / k![/math]: [4]

[math] x^{\underline{n}} = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k [/math]

[math] = (-1)^n (-x)_n = (x-n+1)_n = \frac{1}{(x+1)^{\overline{-n}}} [/math]
[math] (x)_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (n-1)^{\underline{n-k}} \times x^{\underline{k}} [/math]
[math] = (-1)^n (-x)^{\underline{n}} = (x+n-1)^{\underline{n}} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{-n}}} [/math]
[math] = \binom{-x}{n} (-1)^n n! [/math]
[math] = \binom{x+n-1}{n} n! [/math]

[math] x^n = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} [/math]

[math] = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. [/math]

Так как убывающие факториалы - базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:

[math](x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.[/math]
Определение:
Коэффициенты [math](x)_{m+n-k}[/math] называются связывающими коэффициентами (англ. connection coefficients).

Связывающие коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию как число способов объединить [math]k[/math] элементов из множеств размера [math]m[/math] и [math]n[/math].

Отношение двух символов Похгаммера определяется как:

[math]\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geq i. [/math]

Кроме того, мы можем развернуть экспоненты и убывающие факториалы как:

[math]x^{\underline{m+n}} = x^{\underline{m}} (x-m)^{\underline{n}}[/math]
[math](x)_{m+n} = (x)_m (x+m)_n[/math]
[math](x)_{-n} = \frac{1}{(x-n)_n} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{n}}}[/math]
[math]x^{\underline{-n}} = \frac{1}{(x+1)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}[/math]

Наконец, по теореме об умножении получаем следующие выражения для растущего факториала:

[math](x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} [/math]
[math](ax+b)_n = x^n \prod_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k}{x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+} [/math]
[math](2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n. [/math]

Альтернативные формы записи

Альтернативная форма записи растущего факториала:

[math]x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0,[/math]

а убывающего факториала:

[math]x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0;[/math]

использовались А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно.[5] Грахам, Кнут и Паташник[6] предложили произносить эти записи как "[math]x[/math] растущий к [math]m[/math]" и "[math]x[/math] убывающий к [math]m[/math]" соответственно.

Другие формы записи убывающего факториала: [math]P(x,n)[/math], [math]^x P_n[/math], ,[math]P_{x,n}[/math] или [math]_x P_n[/math].

Другое обозначение растущего факториала [math]x^{(n)}[/math] реже встречается, чем [math](x)^+_n[/math]. Обозначение [math](x)^+_n[/math] используется для растущего факториала, запись [math](x)^-_n[/math] обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.[2]

Обобщения

Обобщенный символ Похгаммера называется обобщённый символ Похгаммера, используемый в многомерном математическом анализе. Также существует q-аналогq-Похгаммер символ.

Обобщение убывающего факториала, в которой функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются как:

[math][f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),[/math]

где :[math]-h[/math] декремент и :[math]k[/math] число факторов. Соответствующее обобщения растущего факториала:

[math][f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).[/math]

Эта запись объединяет растущий и убывающий факториалы, которые [x]k/1 and [x]k/−1 соответственно.

Для арифметической функции [math]f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}[/math] и параметров [math]x, t[/math] определен обобщенное факториальное произведение вида:

[math](x)_{n,f,t} := \prod_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)[/math]

См.также

Примeчания

  1. 1,0 1,1 Steffensen, J. F., Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)
  2. 2,0 2,1 Knuth, Donald E. (1992), "Two notes on notation", American Mathematical Monthly, 99 (5): 403–422, arXiv:math/9205211 Freely accessible, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.
  3. Olver, Peter J. (1999), Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55821-2, MR 1694364
  4. Wolfram Functions Site — Introduction to the factorials and binomials
  5. According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.
  6. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book Concrete Mathematics (1988), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, pp. 47,48

Источники информации