Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Теорема Хватала

5511 байт добавлено, 19:33, 15 января 2016
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Пусть [[Основные_определения_теории_графов#.D0.9D.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D1.8B|неориентированный граф]] <tex> G </tex> имеет <tex> n </tex> вершин: <tex> v_1, v_2, \ldots, v_n </tex>. Пусть <tex> d_i = \deg v_i \mbox{ } (i = \overline{1, n}) </tex> и вершины графа упорядочены таким образом, что <tex> d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_n </tex>. Последовательность <tex> d_1, d_2, \ldots, d_n </tex> называют '''последовательностью степеней''' графа <tex> G </tex>.
}}
 
{{Лемма
|about=
О добавлении ребра в граф
|statement=
Пусть неориентированный граф <tex> G' </tex> получен из неориентированного графа <tex> G </tex> добавлением одного нового ребра <tex> e </tex>. Тогда последовательность степеней графа <tex> G </tex> мажорируется последовательностью степеней графа <tex> G' </tex>.
|proof=
''Замечание'': Если в неубывающей последовательности <tex> d_1, d_2, \ldots, d_n </tex> увеличить на единицу число <tex> d_i </tex>, а затем привести последовательность к неубывающему виду, переставив число <tex> d_i + 1 </tex> на положенное место <tex> j </tex>, то исходная последовательность будет мажорироваться полученной. Если <tex>j = i</tex>, то утверждение леммы, очевидно, выполняется. Пусть <tex>j \neq i</tex>.
[[Файл: Hvatal_1.png|270px|thumb|center|Исходная последовательность степеней <tex> d </tex>]]
 
* Рассмотрим элементы с номерами <tex> s = \overline{1, i - 1} </tex>. Они не изменились, следовательно мажорируются собой.
* Рассмотрим элементы с номерами <tex> s = \overline{i, j - 1} </tex>. <tex> s </tex>-й элемент полученной последовательности равен <tex> s + 1 </tex>-му элементу исходной. <tex> d_s \leqslant d_{s + 1} \Rightarrow d_s \leqslant d'_s = d_{s + 1} </tex>.
* Расмотрим <tex>j</tex>-ый элемент. Имеем <tex>d'_j \ge d'_{j-1} = d_{j} </tex>.
* Рассмотрим элементы с номерами <tex> s = \overline{j + 1, n} </tex>. Они не изменились, следовательно мажорируются собой.
[[Файл: Hvatal_2.png|290px|thumb|center|Новая последовательность степеней <tex> d' </tex>]]
При добавлении в граф ребра <tex> e = uv, \mbox{ } (u \neq v) </tex>, степени вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> увеличатся на единицу. Для доказательства леммы, дважды воспользуемся замечанием.
Значит, последовательность степеней полученного графа мажорирует последовательность степеней исходного.
}}
 
{{Теорема
|about=
Хватал
|statement=
Пусть :* <tex> G </tex> — [[Отношение связностиОтношение_связности, компоненты связности_компоненты_связности#.D0.A1.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9_.D0.BD.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D0.B0|связный граф]], * <tex> n = |VG| \geq geqslant 3 </tex> — количество вершин, * <tex> d_1 \leq leqslant d_2 \leq leqslant \ldots \leq leqslant d_n </tex> — его последовательность степеней. <br>Если Тогда если <tex> \forall k \in \mathbb N </tex> верна импликация: <br><center><tex> d_k \leq leqslant k < n/2 \rightarrow Rightarrow d_{n - k} \geq geqslant n - k, (*)</tex></center><br>то граф <tex> G </tex> [[Гамильтоновы графыГамильтоновы_графы#.D0.9E.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B2.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F|гамильтонов]].
|proof=
Для доказательства теоремы, докажем 3 леммы.
1
|statement=
<tex> d_k \leq leqslant k \Leftrightarrow |\{ v \in VG : \mid d_v \leq leqslant k \}| \geq geqslant k. </tex>
|proof=
* "<tex> \Rightarrow </tex>" Пусть :* <tex> d_1 \leq leqslant d_2 \leq leqslant \ldots \leq leqslant d_k</tex>, * <tex> d_k \leq leqslant k</tex>, * <tex> |\{ d_1, d_2, \ldots, d_k \}| = k </tex>. <br><tex> \{ d_1, d_2, \ldots, d_k \} \subset subseteq \{ v \in VG : \mid d_v \leq leqslant k \} \Rightarrow |\{ v \in VG : \mid d_v \leq leqslant k \}| \geq geqslant k </tex>, q.e.d.
* "<tex> \Leftarrow </tex>" Пусть Из условия:* <tex> |\{ v \in VG : \mid d_v \leq leqslant k \}| = k + p</tex>, * <tex> p \geq geqslant 0 </tex>. Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней. <br><tex> d_1 \leq leqslant d_2 \leq leqslant \ldots \leq leqslant d_k \leq leqslant \ldots \leq leqslant d_{k + p} \leq leqslant k \Rightarrow d_k \leq leqslant k </tex>, q.e.d.
}}
 
{{Лемма
|about=
2
|statement=
<tex>\ d_{n - k} \geq geqslant n - k \Leftrightarrow |\{ v \in VG : \mid d_v \geq geqslant n - k \}| \geq geqslant k + 1. </tex>
|proof=
* "<tex> \Rightarrow </tex>" Пусть :* <tex> d_{n - k} \geq geqslant n - k</tex>, * <tex> d_{n - k} \leq leqslant d_{n - k + 1} \leq leqslant \ldots \leq leqslant d_n</tex>, * <tex> |\{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \}| = k + 1 </tex><br>.<tex> \{ d_{n - k}, d_{n - k + 1}, \ldots , d_n \} \subset subseteq \{ v \in VG : \mid d_v \geq geqslant n - k \} \Rightarrow \{ v \in VG : \mid d_v \geq geqslant n - k \} \geq geqslant k + 1 </tex>, q.e.d.
* "<tex> \Leftarrow </tex>" Пусть :* <tex> |\{ v \in VG : \mid d_v \geq geqslant n - k \}| = k + 1 + p, (p \geq geqslant 0 )</tex>. ,Расположим вершины в неубывающем порядке их степеней. <br><tex> d_n \geq geqslant d_{n - 1} \ldots \geq geqslant d_{n - k} \geq geqslant \ldots \geq geqslant d_{n - k - p} \geq geqslant n - k \Rightarrow d_{n - k} \geq geqslant n - k </tex>, q.e.d.
}}
 
{{Лемма
|about=
|statement=
Если импликация <tex> (*) </tex> верна для некоторой последовательности степеней <tex> d </tex>, то она верна и для неубывающей последовательности <tex> d' </tex>, мажорирующей <tex> d </tex>.
|proof=
# Если <tex> d'_k > k </tex>, то первый аргумент импликации всегда ложен, следовательно импликация верна вне зависимости от второго аргумента. Значит, в этом случае импликация <tex> (*) </tex> верна для последовательности <tex> d' </tex>.
# Если <tex> d'_k \leqslant k, \mbox{ } d'_{n - k} \geqslant d_{n - k} \geqslant n - k </tex>, то оба аргумента импликации всегда истинны. Значит, и в этом случае импликация <tex> (*) </tex> верна для последовательности <tex> d' </tex>.
Значит, импликация <tex> (*) </tex> выполняется и для последовательности <tex> d' </tex>.
}}
Приведем доказательство от противного.
 Пусть теорема Хватала не верна, то есть существует граф с числом вершин <tex>\ n \ge geqslant 3 </tex>, удовлетворяющий <tex>\ (*) </tex>, но негамильтонов.Будем добавлять в него [[Основные определения теории графов|рёбра]] ребра до тех пор, пока не получим максимально возможный негамильтонов граф <tex> G </tex> (то есть добавление еще одного ребра сделает граф <tex> G </tex> гамильтоновым). Важно то, что добавление рёбер не нарушает По лемме о добавлении ребра и лемме №3 импликация <tex>\ (*) </tex> остается верной для графа <tex> G </tex>.Очевидно, что граф <tex>\ K_n </tex> гамильтонов для при <tex>\ k \ge geqslant 3 </tex>.Будем считать <tex> G </tex> максимальным негамильтоновым остовным подграфом графа <tex>\ K_n </tex>. Выберем две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex> графа <tex> G </tex> с условием: , такие что <tex> \deg u + \deg v </tex> — максимально.Будем считать, что <tex>\deg u \le leqslant \deg v </tex>.Добавив к <tex> G </tex> новое ребро <tex> e = uv </tex>, получим гамильтонов граф <tex> G + e</tex>.Рассмотрим [[Гамильтоновы графы|гамильтонов цикл]] графа <tex> G + e</tex>: в нём обязательно присутствует ребро <tex> e </tex>. <br>Отбрасывая ребро <tex> e </tex>, получим гамильтонову (<tex>(u</tex>, <tex>v) </tex>)-цепь в графе <tex> G </tex>: <tex> u = u_1 - \rightarrow u_2 - ... - \rightarrow \ldots \rightarrow u_n = v </tex>. <br> Пусть <tex>\ S = \{i|\mid e_i = u_1 u_{i+1} \in E(G)EG\} </tex>. <br>Пусть <tex>\ , T = \{i|\mid f_i = u_i u_n \in E(G)EG\} </tex>. <br> [[Файл: Hvatal_3.png|330px|thumb|center|Множество <tex>\ S \cap T = \varnothing </tex>обозначено красным цветом, иначе в графе множество <tex> G </tex> есть гамильтонов цикл: пусть z <tex> \in S \cap T </tex>. Тогда получим гамильтонов цикл графа <tex> G </tex>: <tex>\ u_1 - u_обозначено синим цветом]] {z+1} - u_{z+2} - ... - u_n - u_z - u_{z-1} - ... - u_1 </tex>.УтверждениеИз определений <tex>\ S </tex> и <tex>\ T </tex> следует, что <tex>\ S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} </tex>, поэтому <tex> 2\deg u \le \deg u + \deg v = |S| + |T| statement= |S \cup T| < n </tex>, то есть <tex>\deg u < n/2 </tex>. <br>Так как <tex>\ S \cap T = \varnothing </tex>, ни одна вершина <tex>\ u_j </tex> не смежна с <tex>\ v = u_n </tex> (для <tex>\ j \in S </tex>). В силу выбора <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, получим, что <tex>\deg u_j \le \deg u </tex>. Положим, что <tex>\ k = \deg u emptyset </tex>.Тогда имеется по крайней мере <tex>\ |S| proof= \deg u = k </tex> вершин, степень которых не превосходит k. <br>В силу первой леммыПредположим, выполняется: что <tex>j \ d_k in S \le k < n/2 cap T </tex>. <br>Исходя из Тогда получим гамильтонов цикл графа <tex>\ (*) G </tex>, получаем: <tex>u_1 \ d_xrightarrow{n-ke_j} \ge n-k </tex>. <br>В силу второй леммы, имеется по крайней мере <tex>\ ku_{j +1 </tex> вершин, степень которых не меньше <tex>\ n-k </tex>. <br>Так как <tex>} \ k = rightarrow \deg u </tex>, то вершина <tex>ldots \ u </tex> может быть смежна максимум с <tex>rightarrow u_n \ k </tex> из этих <tex>xrightarrow{f_j} u_j \ k+rightarrow u_{j - 1 </tex> вершин. Значит, существует вершина <tex>} \ w </tex>, не являющаяся смежной с <tex>rightarrow \ u </tex> и для которой <tex>ldots \deg w \ge n-k rightarrow u_1 </tex>. Тогда получим, что <tex>\deg u + \deg w \ge k + (n - k) = n > \deg u + \deg v </tex>противоречит условию, что граф негамильтонов.[[Файл: Hvatal_4.png|270px|thumb|center|]]Значит, но это противоречит выбору <tex>S \ u </tex> и <tex>\ v cap T </tex>. <br>
}}
Из определений <tex> S </tex> и <tex> T </tex> следует, что <tex> S \cup T \subseteq \{1, 2, ..., n - 1 \} \Rightarrow 2 \deg u \leqslant \deg u + \deg v =|S| + |T| =Литература|S \cup T| < n </tex>. Значит, <tex> \deg u < n/2 </tex>. Так как <tex> S \cap T = \emptyset </tex>, ни одна вершина <tex> u_j </tex> не смежна с <tex> v = u_n </tex> (для <tex> j \in S </tex>). В силу выбора <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, получим, что <tex> \deg u_j \leqslant \deg u </tex>. Пусть <tex> k = \deg u = |S| </tex>. Значит, <tex> \exists k </tex> вершин, степень которых не превосходит <tex> k </tex>. По лемме №1: <tex> d_k \leqslant k < n/2 </tex>. В силу импликации <tex> (*) </tex>: <tex> d_{n - k} \geqslant n - k </tex>. По лемме №2, <tex> \exists k + 1 </tex> вершин, степень которых не меньше <tex> n - k </tex>. Так как <tex> k = \deg u </tex>, то вершина <tex> u </tex> может быть смежна максимум с <tex> k </tex> из этих <tex> k+1 </tex> вершин. Значит, существует вершина <tex> w </tex>, не являющаяся смежной с <tex> u </tex> и для которой <tex> \deg w \geqslant n - k </tex>. Тогда получим, что <tex> \deg u + \deg w \geqslant k + (n - k) = n > \deg u + \deg v </tex>, что противоречит выбору <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Значит, предположение неверно.}} ==См. также==* [[Гамильтоновы графы]]* [[Теорема Дирака]]* [[Теорема Оре]] == Источники информации ==
* Асанов М., Баранский В., Расин В.: ''Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы''
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обходы графов]]
[[Категория: Гамильтоновы графы]]
Анонимный участник

Навигация