Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм A*

6456 байт добавлено, 22:59, 6 мая 2019
Реализация
Алгоритм '''А*'''("англ. ''A star", "А звёздочка"'') {{---}} алгоритм поиска, который находит во взвешенном графе маршрут наименьшей стоимости от начальной вершины до выбранной конечной.
==Описание==
[[Файл:Astar_progress_animation.gif|right|frame|Пример работы А*. Пустые кружки принадлежат к открытому списку, а окрашенные к закрытому.]]
В процессе работы алгоритма для вершин рассчитывается функция <tex>f(v) = g(v) + h(v)</tex>, где
*<tex>g(v)</tex> {{---}} наименьшая стоимость пути в <tex>v</tex> из стартовой вершины,
*<tex>h(v)</tex> {{---}} эвристическое приближение стоимости пути от <tex>v</tex> до конечной цели. <tex>h(v)</tex> должна быть эвристически допустимой, то есть не должна переоценивать рассояние до цели. Например, если наш граф является некоторой картой, разбитой сеткой, то эвристику можно назначить минимальным числом перемещений из клетки в клетку. Чем меньше <tex>f(v)</tex>, тем раньше вершина будет открыта и исследована алгоритмом. Таким образом множество альтернативных путей хранится в очереди с приоритетом. А* действует подобно [[Алгоритм Дейкстры | алгоритму Дейкстры]] и просматривает среди всех маршрутов ведущих к цели сначала те, которые благодаря имеющейся информации(эвристическая функция) в данный момент являются наилучшими, причем алгоритм учитывает путь уже пройденный до текущей вершины.
==Псевдокод== [[Файл:Astar_progress_animation.gif|thumb|right|Пример работы А*. Пустые кружки принадлежат к открытому спискуФактически, а окрашенные к закрытому.]] void A*функция <tex>f(start,goalv) </tex> { closed := {---}}; // Множество вершин расстояние длина пути до которых мы уже оценили open.pushцели, которая складывается из пройденного расстояния <tex>g(startv);<// Очередь с приоритетом f[start] = g[start] + tex> и оставшегося расстояния <tex>h[start]; parent[start] = start; while (open.size(v) != 0) { x := open.pop(); if (x == goal) return succsess(x);/</ Кратчайший путь найден closedtex>.push(x); for (y : xy in E) { if (y in closed) continue; tmp := g[x] + d[xИсходя из этого,y] // Стоимость пути до y через х if (y not in open) { open.pushчем меньше значение <tex>f(yv); tentative_is_better = true; } else if (tmp < g[y]) /tex>, тем раньше мы откроем вершину <tex>v</ можно улучшить tex>, так как через неё мы предположительно достигнем расстояние до y цели быстрее всего. tentative_is_better = true else tentative_is_better = false if Открытые алгоритмом вершины можно хранить в очереди с приоритетом по значению <tex>f(tentative_is_better == truev) <// найден новый, более короткий путь до y { parenttex>. А* действует подобно [[yАлгоритм Дейкстры | алгоритму Дейкстры] = x; g[y] = tmp;и просматривает среди всех маршрутов ведущих к цели сначала те, которые благодаря имеющейся информации (эвристическая функция) в данный момент являются наилучшими. f[y] <br clear= g[y] + h[y]; } } } return failure; // Наша цель недостижима из start }"all">
==Свойства==
Чтобы A* был оптимален, выбранная функция <tex>h(v)</tex> должна быть '''допустимой''' эвристической функцией.{{Определение|definition=Говорят, что эвристическая оценка <tex>h(v)</tex> '''допустима''', если для любой вершины <tex>v</tex> значение <tex>h(v)</tex> меньше или равно весу кратчайшего пути от <tex>v</tex> до цели.}} Допустимая оценка является оптимистичной, потому что она предполагает, что стоимость решения меньше, чем оно есть на самом деле. <br>Второе, более сильное условие {{---}} функция <tex>h(v)</tex> должна быть '''монотонной'''. {{Определение|definition=Эвристическая функция <tex>h(v)</tex> называется '''монотонной''' (или '''преемственной'''), если для любой вершины <tex>v_1</tex> и ее потомка <tex>v_2</tex> разность <tex>h(v_1)</tex> и <tex>h(v_2)</tex> не превышает фактического веса ребра <tex>c(v_1, v_2)</tex> от <tex>v_1</tex> до <tex>v_2</tex>, а эвристическая оценка целевого состояния равна нулю.}} {{Теорема|statement=Корректность==Любая монотонная эвристика допустима, однако обратное неверно.|proof= Пусть <tex>k(v)</tex> {{---}} длина кратчайшего пути из вершины <tex>v</tex> до цели. Докажем индукцией по числу шагов до цели, что <tex>h(v) \leqslant k(v)</tex>.<br><br>Если до цели расстояние <tex>0</tex>, то <tex>v</tex> {{---}} цель и <tex>h(v)= 0 \leqslant k(v)</tex>.<br><br>Пусть <tex>v</tex> всегда меньше истинной стоимости находится на расстоянии <tex>i</tex> от цели. Тогда существует потомок <tex>v'</tex>, который находится на кратчайшем пути от <tex>v</tex> до целии <tex>v'</tex>лежит на расстоянии <tex>i - 1</tex> шагов до цели. Следовательно, <tex>h(v) \leqslant c(v, v') + h(v')</tex>. <br>По предположению, <tex>h(v') \leqslant k(v')</tex>. Следовательно, <tex>h(v) \leqslant c(v, v') + k(v') = k(v)</tex>. <br><br>Таким образом, монотонная эвристика <tex>h(v)</tex> допустима.}} {{Утверждение|statement=Если <tex>h(v)</tex> монотонна, то Апоследовательность значений <tex>f(v)</tex> на любом пути неубывает.|proof=Доказательство следует из определения монотонности.<br>Пусть <tex>v'</tex> {{---}} потомок <tex>v</tex>, тогда <tex>g(v') = g(v) + c(v, v')</tex>. <br>Следовательно, <tex>f(v') = g(v') + h(v') = g(v) + c(v, v') + h(v') \geqslant g(v) + h(v) = f(v)</tex>.}} {{Утверждение|statement=Алгоритм A* гарантированно найдет кратчайший путьявляется оптимальным, если функция <tex>h(v)</tex> монотонна.|proof=Последовательность вершин "развёрнутых" во время работы алгоритма находится в неубывающем порядке значений <tex>f</tex>. Поэтому очередная выбираемая вершина должна представлять собой оптимальное решение, поскольку все дальнейшие узлы будут, причем чем меньше разница между эвристикой и истинной стоимостьюпо меньшей мере, тем меньше вершин рассмотрит алгоритмстоль же дорогостоящими.}} ==Примеры эвристик=Оптимальность=Поведение алгоритма сильно зависит от того, какая эвристика используется. В свою очередь, выбор эвристики зависит[[Файл:Diagonal.png|thumb|right|Пример А* на сетке с возможностью ходить в восьми напрвлениях]] от постановки задачи. Часто А* используется для моделирования перемещения по поверхности, покрытой координатной сеткой. * Если мы можем перемещаться в четырех направлениях, то в качестве эвристики стоит выбрать манхэттенское расстояние<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Manhattan_distance Wikipedia {{---}} Manhattan distance]</ref><br> <tex>h(v) =|{v.x-goal.x}| + |{v.y-goal.y}|</tex>.  * Расстояние Чебышева<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Расстояние_Чебышева Википедия {{---}} Расстояние Чебышева]</ref> применяется, когда к четырем направлениям добавляются диагонали:<br> <tex>h(v) =\max{(|{v.x-goal.x}|, |{v.y-goal.y}|)}</tex>. Любой другой алгоритм* Если передвижение не ограничено сеткой, использующий ту же эвристическую функцию то можно использовать евклидово расстояние по прямой:<br> <tex>h(v) = \sqrt{(v.x-goal.x)^2 + (v.y-goal.y)^2}</tex>. Также стоит обратить внимание на то как соотносятся <tex>f(v)</tex> и <tex>h(v)</tex>. Если они измеряются в разных величинах (например, <tex>g(v)</tex> {{---}} это расстояние в километрах, а <tex>h(v)</tex>{{---}} оценка времени пути в часах) А* может выдать некорректный результат. ==Реализация==В приведённой реализации:* <tex>Q</tex> {{---}} множество вершин, рассмотрит не меньше которые требуется рассмотреть,* <tex>U</tex> {{---}} множество рассмотренных вершин, чем А* <tex>f[x]</tex> {{---}} значение эвристической функции "расстояние + стоимость" для вершины <tex>x</tex>,* <tex>g[x]</tex> {{---}} стоимость пути от начальной вершины до <tex>x</tex>,* <tex>h(x)</tex> {{---}} эвристическая оценка расстояния от вершины <tex>x</tex> до конечной вершины.На каждом этапе работы алгоритма из множества <tex>Q</tex> выбирается вершина с наименьшим значением эвристической функции и просматриваются её соседи. Для каждого из соседей обновляется расстояние, значение эвристической функции и он добавляется в множество <tex>Q</tex>.<br>Псевдокод: '''bool''' A*(start, goal)''':''' U = <tex> \varnothing </tex> Q = <tex> \varnothing </tex> Q.push(start) g[start] = 0 f[start] = g[start] + h(start) '''while''' Q. size() != 0 current =вершина из <tex>Q</tex> с минимальным значением <tex>f</tex> '''if''' current =Ссылки= goal '''return''' ''true'' <font color="green">// нашли путь до нужной вершины</font> Q.remove(current) U.push(current) '''for''' v : смежные с current вершины tentativeScore = g[current] + d(current, v) <font color="green">// d(current, v) {{---}} стоимость пути между current и v</font> '''if''' <tex>v \in U</tex> '''and''' tentativeScore >= g[v] '''continue''' '''if''' <tex>v \notin U</tex> '''or''' tentativeScore < g[v] parent[v] = current g[v] = tentativeScore f[v] = g[v] + h(v) '''if''' <tex>v \notin Q</tex> Q.push(v) '''return''' ''false'' ==См. также==*[http[Эвристики для поиска кратчайших путей]]* [[Алгоритм Флойда]]* [[Алгоритм Дейкстры]]* [[Алгоритм Форда-Беллмана]] ==Примечания==<references/> ==Источники информации==* С. Рассел, П. Норвиг {{---}} Искусственный интеллект. Современный подход, 2е издание* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_поиска_A* Алгоритм_поиска_AВикипедия {{---}} Алгоритм поиска A* Википедия]*[httphttps://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm Wikipedia {{---}} A*_search_algorithm Wikipediasearch algorithm]*[http://theory.stanford.edu/~amitp/GameProgramming/ Статья о поиске кратчайших путей и различных оптимизациях А* в частности]*[http://dl.acm.org/citation.cfm?id=3830&coll=portal&dl=ACM Статья на ACM Digital Library, в которой подробно написано обоснование корректности алгоритмаGeneralized best-first search strategies and the optimality of A*]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Кратчайшие пути в графах ]]
Анонимный участник

Навигация