Изменения
→41. Критерий Лебега интегрируемости по Риману
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
=1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> X </tex> — некоторое множество, <tex> \mathcal R </tex> — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара <tex> (X, \mathcal R) </tex> называется '''полукольцом'''множеств из <tex>X</tex>, если:
# <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex>
# <tex> A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R </tex> (замкнутость относительно пересечения)
# <tex> \varnothing \in \mathcal A </tex>
# <tex> B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A </tex>(замкнутость относительно дополнения)# <tex> B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap cup C \in \mathcal A </tex>(замкнутость относительно объединения)
<tex> \mathcal A </tex> называется '''σ-алгеброй''' (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности <tex> \mathcal A </tex> пересечения объединения счетного числа множеств
}}
{{Определение
|definition=
Пусть <tex> (X, \mathcal R) </tex> — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:
# <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>
# Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма<tex>\sigma</tex>-аддитивность)
}}
===Два важных свойства на полукольце:===
1) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> выполняется <tex> \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>
2) Для <tex> A \in \mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность'')
''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотоностью'' меры.
1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>
2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма<tex>\sigma</tex>-полуаддитивность)
}}
Пусть заданы полукольцо <tex> (X; \mathcal R) </tex> из <tex>X</tex> и мера <tex> m </tex> на нем. Тогда для любого множества <tex> A \subset X </tex>:
1) Полагаем <tex> \mu^*(A) = + \infty </tex>, если <tex> A </tex> нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.
=5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы=
{{TODOТеорема|t author= дописатьКаратеодори|statement=Пусть построения <tex>(X, \mathcal{R}, m) \to (X, 2^X, \mu^*) \to (X, \mathcal{A}, \mu)</tex> были выполнены так, как описывалось в предыдущих параграфах. Тогда: чего-нить по теме# <tex>\mathcal{R} \subset \mathcal{A}</tex># <tex>\mu|_\mathcal{R} = m</tex>}}
=6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори=
//а единственность у нас вообще была? 0_о Если да, то {{TODO|t = добавить}}.
: А в каком смысле единственность? Очевидно же, что если функциональная последовательность сходится почти всюду к <tex> f </tex>, то она будет сходиться почти всюду и к любой функции <tex>g</tex> такой, что <tex>g \sim f</tex>. А значит, будет сходиться к ней и по мере.
=18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере=
{{Теорема
|author=Лебег
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измеримы на <tex>E</tex>, <tex>|f| \le M, |f_n(x)| \le M\ \forall n</tex> на <tex>E</tex>. Если <tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>, тогда <tex>\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f</tex>.
}}
{{Определение
|definition=
<tex> f </tex> '''суммируема''' на <tex> E </tex>, если на нём суммируемы <tex> f_\sup\int\limits_{e}fd\mu < + \infty</tex> и , где <tex> f_e</tex> - '''хорошее множество''', то есть <tex>e \subset E</tex>.В этом случае, <tex> \intmu e < +\limits_E infty</tex>, <tex>f \underset{\mathrm{def}}= \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_</tex> - ограничена на <tex>e</tex>.
}}
=30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций=
(Конечно долго, но кто хочет - исправьте)<tex>\sigma</tex>-аддитивность позволяет переносить на любые <tex>f \ge 0</tex> стандартные свойства интеграла Лебега, например, линейность.Действительно, <tex> \int \limits_{E}(f + g) = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E} g</tex> для <tex>f, g \ge 0</tex>: Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем <tex>E</tex> на измеримые, дизъюнктные множества. <tex>E = \bigcup \limits_{n = 1}^{TODO|t \infty} E_{f_n}(n - 1 \le f < n)</tex>. Аналогично, <tex>E = дописать\bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} E_{g_n}(n - 1 \le g < n)</tex>. После этого, <tex>E = \bigcup \limits_{m,n = 1}^{\infty}(E_{f_n} \cap E_{g_m}) = \bigcup \limits_{p=1}^{\infty} B_p</tex>. За счет <tex>\sigma</tex>-конечности меры, можно считать, что <tex>\forall p: чего\mu B_p < +\infty</tex>. За счет <tex>\sigma</tex>-нить по темеаддитивности интеграла от неотрицательной функции: <tex>\int \limits_{E} (f+g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} (f + g) = \sum \limits_{p} (\int \limits_{B_p}f + \int \limits_{B_p} g) = \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p}f + \sum \limits_{p} \int \limits_{B_p} g = \int \limits_{E} f + \int \limits_{E}g</tex>. Получили линейность.
=31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака=
о мажорируемой сходимости
|statement=
Пусть на <tex> E \subset X </tex> задана последовательность измеримых функций <tex> f_n </tex>, таких, что <tex> |f_n(x)| \le \varphi(x) </tex> почти всюду, где <tex> \varphi </tex> — измеримаясуммируемая.
Пусть <tex> f_n \underset{E}{\Rightarrow} f </tex> (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:
=37. Всюду плотность множества С в пространствах=
{{TODOТеорема|t statement= дописать: чего-нить по темеИзмеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>|proof=}} {{Теорема|statement=Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>|proof=}}
=38. Мера цилиндра=
Тогда для почти всех <tex> x_1 \in \mathbb R, f(x_1, \cdot) </tex> будет суммируемой на <tex> E(x_1) </tex> и <tex> \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 </tex> (формула повторного интегрирования)
}}
=42. Восстановление первообразной по ограниченной производной=
{{Теорема
|statement=
Пусть задана дифференциируемая функция <tex>F(x)</tex> на интервале <tex>[a,b)</tex>, производная которой ограничена на этом интервале. Тогда эта производная <tex>f(x) = F'(x)</tex> - измерима на <tex>[a;b)</tex> и выполняется равенство <tex>F(x) = F(a) + \int \limits_{[a,x]} f(t) dt</tex>
}}
=43. Критерий Лебега интегрируемости по Риману=
{{Теорема
|author=
Лебег
|statement=
<tex>f\in \mathfrak{R}(a,b) \Leftrightarrow f </tex> почти всюду непрерывна на <tex>(a,b)</tex>
}}
