Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Класс P

3041 байт добавлено, 16:02, 14 ноября 2018
Нет описания правки
# если на вход машине <tex>m</tex> подать слово <tex>l \in L</tex>, то она допустит его;
# если на вход машине <tex>m</tex> подать слово <tex>l \not\in L</tex>, то она не допустит его.
 
== Устойчивость класса P к изменению модели вычислений ==
Машина Тьюринга может симулировать другие модели вычислений (например, языки программирования) с не более чем полиномиальным замедлением. Благодаря этому, класс <tex>\mathrm{P}</tex> на этих моделях не становится шире.
 
Согласно [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%81_%D0%A7%D1%91%D1%80%D1%87%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0 тезису Чёрча-Тьюринга], любой физически реализуемый алгоритм можно реализовать на машине Тьюринга. Так что класс <tex>\mathrm{P}</tex> устойчив и в обратном преобразовании модели вычислений.
== Свойства класса P ==
# Замкнутость {{Теорема|statement =Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно [[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи|сведения по Карпу]]. <tex> L \in \mathrm{P} , M \le L \Rightarrow M \in \mathrm{P}</tex>.# Замкнутость относительно [[Сведение по Куку|сведения по Куку]]. proof =Пусть <tex>p</tex>\mathrm{L} \subset \mathrm{P---} \Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{P^разрешитель <tex>L}</tex>, работающий за полиномиальное время.# Замкнутость объединения, пересечения, конкатенации, замыкания Клини и дополнения. Если <tex>L_1, L_2 (M \leq L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\iff} ( \exists f \in \mathrm{\widetilde{P}} : w \in M \Leftrightarrow f(w) \in L ) </tex>, то: .Построим разрешитель <tex>L_1 \cup L_2 \in \mathrm{P}q</tex>, для языка <tex>L_1 \cap L_2 \in \mathrm{P}M</tex>, . <tex>L_1 L_2 \in \mathrm{P}q(w):</tex>, if (<tex>L_1^* \in \mathrm{P}p(f(w))</tex> и ) return true return falseРазрешитель <tex>\overline{L_1} \in \mathrm{P}q</tex>работает за полиномиальное время, так как композиция полиномов есть полином. Рассмотрим доказательство замкнутости замыкания Клини (остальные доказательства строятся аналогично).}}
 {{ЛеммаТеорема
|statement =
Если <tex>L D \in subseteq \mathrm{P}\Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{P}^D</tex>. В частности, то из этого следует, что <tex>L^* \in mathrm{P}=\mathrm{P^P}</tex>.
|proof =
Понятно, что <tex>\mathrm{P} \subset \mathrm{P}^D</tex>. Докажем, что <tex>\mathrm{P}^D \subset \mathrm{P}</tex>. <tex>L \in \mathrm{P}^D \Rightarrow \exists A \in D: L \in \mathrm{P}^A</tex>. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>f(n)</tex> и использующий оракул языка <tex>A</tex>.Пусть <tex>q</tex> {{---}} разрешитель <tex>A</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>g(n)</tex>.Представим себе разрешитель <tex>L</tex>, работающий как <tex>p</tex>, но использующий <tex>q</tex> вместо оракула <tex>A</tex>. Его время работы ограничено сверху значением <tex>f(n) + \sum\limits_{i=1}^{f(n)} g(f(n)) = f(n) + f(n) g(f(n))</tex>, что является полиномом (обращений к <tex>q</tex> максимум <tex>f(n)</tex>; на вход для <tex>q</tex> можем подать максимум <tex>f(n)</tex> данных, так как больше сгенерировать бы не успели). Значит, <tex>L \in \mathrm{P}</tex>.}}  {{Теорема|statement =Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно операций объединения, пересечения, конкатенации, замыкания Клини и дополнения. Если <tex>L_1, L_2 \in \mathrm{P}</tex>, то: <tex>L_1 \cup L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 \cap L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex> и <tex>\overline{L_1} \in \mathrm{P}</tex>.|proof =Докажем замкнутость замыкания Клини. Остальные доказательства строятся аналогично. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L_1</tex>, работающий за полиномиальное время. Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>LL_1^*</tex>.
<tex>q(w):</tex>
<tex>n = |w|</tex>
<tex>endPoses = \{0\}</tex> //позиции, где могут заканчиваться слова, принадлежащие <tex>LL_1</tex>
for (<tex>i = 1 \ldots n</tex>)
for (<tex>j \in endPoses</tex>)
}
return false
Худшая оценка времени работы разрешителя <tex>q</tex> равна <tex>n^2 O(p(w))</tex>, так как в множестве <tex>endPoses</tex> может быть максимум <tex>n</tex> элементов, значит итерироваться по множеству можно за <tex>n</tex>, если реализовать его на основе битового массива, например; при этом операция добавления элемента в множество будет работать за <tex>O(1)</tex>. Итого, разрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время (так как произведение полиномов есть полином). Значит <tex>LL_1^* \in \mathrm{P}</tex>.
}}
== Соотношение классов Reg Примеры задач и языков из P ==Класс задач, разрешимых за полиномиальное время достаточно широк, вот несколько его представителей:* определение связности графов;* вычисление наибольшего общего делителя;* задача линейного программирования;* проверка простоты числа.<ref>[http://www.cse.iitk.ac.in/~manindra/algebra/primality_v6.pdf M.Argawal, N.Kayal, N.Saxena, "Primes is in P"]</ref> Но существуют задачи не из <tex>\mathrm{P}</tex>, так как из [[теорема о временной иерархии|теоремы о временной иерархии]] следует, что <tex>\exists L \in \mathrm{EXP}\setminus\mathrm{P}</tex>.  
{{Теорема
|statement =
Класс [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярных языков]] входит в класс <tex>\mathrm{P}</tex>, то есть: <tex>\mathrm{Reg } \subset \mathrm{P}</tex>.
|proof =
<tex>\mathrm{Reg } \subset \mathrm{TS}(n, 1) \subset \mathrm{P}</tex>''Замечание.'' <tex>TS</tex> {{---}} ограничение и по времени, и по памяти.
}}
== Соотношение классов CFL и P ==
{{Теорема
|statement =
Класс [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободных языков]] входит в класс <tex>\mathrm{P}</tex>, то есть: <tex>\mathrm{CFL } \subset P</tex>.
|proof =
<tex>\mathrm{CFL } \subset \mathrm{TS}(n^3, n^2) \subset \mathrm{P}</tex>
Первое включение выполняется благодаря существованию [[Алгоритм Эрли|алгоритма Эрли]].
}}
== Примеры задач и языков из P -полные задачи ==Класс Говоря про <tex>\mathrm{P}</tex>-[[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи#Определения трудных и полных задач|полноту]], мы, разрешимых за полиномиальное время достаточно широккак правило, вот несколько его представителей:* определение связности графов;* вычисление наибольшего общего делителя;* задача линейного программирования;* проверка простоты числаподразумеваем <tex>\mathrm{P}</tex>-полноту относительно <tex>\widetilde{\mathrm{L}}</tex>-сведения.<ref>[http://www.cse.iitk.ac.in/~manindra/algebra/primality_v6.pdf M.Argawal[Классы L, N.KayalNL, NcoNL.Saxena, "Primes is in P"NL-полнота задачи о достижимости]]</ref> 
По [[теорема о временной иерархии{{Определение|теореме о временной иерархии]] существуют задачи и не из definition=<tex>PCIRCVAL = \{\langle C, x_1,\ldots,x_n\rangle \bigm| C(x_1,\ldots,x_n) = 1\}</tex>, где <tex>C</tex>это логическая схема.}}
== Задача равенства P и NP ={{Теорема|statement =Одним из центральных вопросов теории сложности является вопрос о равенстве классов <tex>PCIRCVAL</tex> и {{---}} <tex>NP\mathrm{P}</tex><ref>[[Недетерминированные вычисления-полная задача. Классы NP и Σ₁]]</ref>, не разрешенный по сей день.  Легко показать, что, по определению <tex>P</tex>, <tex> P \subset NP</tex>, так как для любой задачи класса <tex>P</tex> существует соответствующая [http://ruwww.wikipediamath.orgsc.edu/~cooper/wikimath778C/%D0%9C%D0%B0%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%A2%D1%8C%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B0 ДМТ]abct.pdf S.Arora, которая является частным случаем [[Недетерминированные вычисленияB. Классы NP и Σ₁|НМТ]Barak, "Computational Complexity: A Modern Approach"], а значит задача, по определению, будет входить в класс <tex>NP</texref>.}}
== Ссылки ==
<references/>
[[Категория: Теория Классы сложности]]
202
правки

Навигация