Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Определение поля и подполя, изоморфизмы полей

1 байт добавлено, 20:06, 13 сентября 2010
Нет описания правки
<tex>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(x)</tex> - подполе <tex>\Rightarrow \mathbb{Q}(x)</tex> - не простое поле.
== {{Определение =|definition= Два поля называются одинаковыми, если существует биекция из одного поля в другое, сохраняющая операции сложения и <br /> умножения. <br /> <tex>K \cong F \Leftrightarrow \exists \varphi \colon K \to F; \varphi (a + b) = \varphi (a) + \varphi (b); \varphi (a b) = \varphi (a) \cdot \varphi (b) </tex>}}
{{Утверждение
|statement=<br />
# <tex>char\; F = 0 \Rightarrow F \cong \mathbb{Q}</tex><br />F - простое
# <tex>char\; F \ne 0 \Rightarrow F \cong \mathbb{Z}_P</tex><br />F - простое
 <tex>\triangleright|proof=<br /tex>
# <tex> char \; F = 0 \Rightarrow </tex> суммы все различны; <tex>n \cdot 1 \ne 0, n \ne 0</tex><br /><tex>\frac{n}{m}\cdot1=\frac{n\cdot1}{m\cdot1}</tex><br /><tex>\frac{kn \cdot 1}{km \cdot 1} = \frac{(k \cdot 1) \cdot (n \cdot 1)}{(k \cdot 1) \cdot (m \cdot 1)} = \frac{n \cdot 1}{m \cdot 1}</tex><br /><tex>q \cdot 1 \ne 0, q \ne 0 \Rightarrow </tex>построенное поле <tex>\cong \mathbb{Q}</tex>
# <tex> char \; F = p \qquad n \cdot 1 = m \cdot 1 \Leftrightarrow n \equiv m (mod \;p) </tex>. Замкнуто относительно сложения и умножения <tex> \Rightarrow </tex> подполе <tex> \cong \mathbb{Z}_p </tex><br /><tex> K \subset F </tex>, F - вектор-пространство надо полем K. (F - вектора, K - скалярные величины). <br /> <tex> V_1 + V_2 \in F; K \cdot V_1 \in F \Rightarrow </tex> получаем векторное пространство. <br /><tex>[F:K]</tex> - размерность поля F над полем K.
<tex> \triangleleft </tex>}}
121
правка

Навигация